有限差分時域法の導出
1. はじめに
このページでは、時間領域におけるマクスウェル方程式を解くために用いられる主要な有限差分時域法（FDTD）更新式の詳細な数学的導出過程を説明する。本ページの目的は、一般的な理論説明ページとは異なり、連続的な回転演算子方程式がいかにしてコンピュータ上で処理可能な離散的な代数表現へと変換されるかを明確に示すことにある。また、この部分こそがコード実装において最も誤りが生じやすい箇所でもある。符号の誤りやインデックスの配置ミス、時間更新の不整合などが生じると、直ちに数値計算が不安定になったり物理的に不適切な結果が得られたりする。
そこでまず、微分形式で表されたアンペールの法則およびファラデーの法則を取り上げ、それらを直交座標系における各成分に展開した上で、二次元の光学問題に適用する。空間微分は台形則に基づく有限差分法で置き換え、時間微分は標準的な交互更新方式を用いて離散化する。こうして得られた式を整理することで、電界および磁界の各成分を更新するための明確な数式が導出される。
導出過程を分かりやすくするため、ここでは方程式を二次元の場合に限定し、\(\partial/\partial y = 0\)および磁気伝導率をゼロとする\(\sigma_m = 0\)。これにより計算がはるかに容易になり、実際に次元削減がどのように行われるかも明確に示される。ただし、実際のOghmaNano FDTDソルバーでは電磁方程式は三次元で解かれる。したがってここで示す二次元での導出は、あくまで本手法の具体的な例示を目的としたものであり、ソルバー自体が2次元に限定されていることを意味するものではない。
本ページにおいては、電界成分は整数時間ステップ\(n\Delta t\)において評価され、磁界成分は半整数時間ステップ\(\left(n+\tfrac{1}{2}\right)\Delta t\)において評価される。これが有限差分時域法において用いられる標準的なイー格子に基づく交互更新方式である。より簡潔な概要ページとは異なり、ここではインデックスの取り扱いをより明確に記述している。これにより、本導出内容が数学的説明としてだけでなく、実際の実装ガイドとしても利用可能となる。
2. 出発点となる方程式
まず、電気導電率\(\sigma\)、誘電率\(\epsilon\)、透磁率\(\mu\)、そして一般性を高めるために磁気伝導率\(\sigma_m\)を有する線形媒質におけるマクスウェルの回転演算子方程式から始める：
\[ \nabla \times \boldsymbol{H} = \sigma \boldsymbol{E} + \epsilon \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}, \qquad \nabla \times \boldsymbol{E} = - \sigma_m \boldsymbol{H} - \mu \frac{\partial \boldsymbol{H}}{\partial t}. \]
行列式の形式において、回転演算子は以下のように表される
\[ \nabla \times \boldsymbol{H} = \begin{vmatrix} \hat{\boldsymbol{x}} & \hat{\boldsymbol{y}} & \hat{\boldsymbol{z}} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ H_x & H_y & H_z \end{vmatrix}, \qquad \nabla \times \boldsymbol{E} = \begin{vmatrix} \hat{\boldsymbol{x}} & \hat{\boldsymbol{y}} & \hat{\boldsymbol{z}} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ E_x & E_y & E_z \end{vmatrix}. \]
これらは連続時間・連続空間における方程式である。このページの残りの部分では、これらを時間的に逐次更新可能な明示的な有限差分法の形式へと変換することを目的とする。
3. 回転演算子方程式の成分形表現
アンペールの法則を直交座標系の各成分に展開すると以下のようになる
\[ \sigma E_x + \epsilon \frac{\partial E_x}{\partial t} = \frac{\partial H_z}{\partial y} - \frac{\partial H_y}{\partial z}, \]
\[ \sigma E_y + \epsilon \frac{\partial E_y}{\partial t} = \frac{\partial H_x}{\partial z} - \frac{\partial H_z}{\partial x}, \]
\[ \sigma E_z + \epsilon \frac{\partial E_z}{\partial t} = \frac{\partial H_y}{\partial x} - \frac{\partial H_x}{\partial y}. \]
ファラデーの法則を展開すると以下のようになる
\[ -\sigma_m H_x - \mu \frac{\partial H_x}{\partial t} = \frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z}, \]
\[ -\sigma_m H_y - \mu \frac{\partial H_y}{\partial t} = \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x}, \]
\[ -\sigma_m H_z - \mu \frac{\partial H_z}{\partial t} = \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y}. \]
現段階では、次元に関するいかなる仮定もなされていません。上記の式は単に完全な三次元の回転演算子方程式の成分形に過ぎません。
4. 二次元への簡略化
導出を容易にするため、ここでは\(y\)方向に変化がないと仮定することで問題を二次元に還元する。つまり\(\partial / \partial y = 0\)となる。この処理は単に代数計算を簡略化し、更新方程式の構造をより理解しやすくするためのものである。同様の手順は三次元へも直接拡張可能であり、実際にOghmaNanoではマクスウェル方程式の完全な三次元形が解かれている。
この仮定の下では、電界に関する方程式は次のように簡略化される。
\[ \sigma E_x + \epsilon \frac{\partial E_x}{\partial t} = - \frac{\partial H_y}{\partial z}, \]
\[ \sigma E_y + \epsilon \frac{\partial E_y}{\partial t} = - \frac{\partial H_z}{\partial x} + \frac{\partial H_x}{\partial z}, \]
\[ \sigma E_z + \epsilon \frac{\partial E_z}{\partial t} = \frac{\partial H_y}{\partial x}. \]
磁気伝導率をゼロに設定した場合、\(\sigma_m = 0\)、磁界に関する方程式は次のようになる。
\[ \mu \frac{\partial H_x}{\partial t} = \frac{\partial E_y}{\partial z}, \]
\[ \mu \frac{\partial H_y}{\partial t} = \frac{\partial E_z}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial z}, \]
\[ \mu \frac{\partial H_z}{\partial t} = - \frac{\partial E_y}{\partial x}. \]
これらが、これから離散化される連続型の方程式群である。ここで明確に述べておくべきは、これが完全な3次元問題の2次元近似版であるという点だ。すべての有限差分時域法が本質的に2次元的であると主張するためではなく、特定の方向が無視できる一般的なケースにおいて明瞭な更新式を導出することが目的である。
5. イー格子、インデックス付け、および記法
上記の方程式を数値的に解くため、空間および時間の両方を離散化する。\(x\)方向および\(z\)方向における計算格子間隔をそれぞれ\(\Delta x\)および\(\Delta z\)とし、時間刻み幅を\(\Delta t\)とする。ここで、\(x\)方向および\(z\)方向には整数インデックス\(i\)および\(k\)を用いる。
\[ x_i = i \Delta x, \qquad z_k = k \Delta z. \]
時間の指標として整数 \(n\) が用いられ、これにより
\[ t^n = n \Delta t. \]
イー格子構造においては、電界および磁界は空間的にも時間的にも同一の位置に格納されることはなく、互いにずらされて配置される。電界成分は整数時間レベルで評価されるのに対し\(n\Delta t\)、磁界成分は半整数時間レベルで評価される\(\left(n+\tfrac{1}{2}\right)\Delta t\)。これが有限差分時域法における交互更新方式の起源となる。
空間的にも各場の成分は適切にオフセットされており、これにより各中心有限差分による回転演算が隣接する格子点間で自然に定義される。完全なコード実装においては、各場の成分にはそれぞれ固有の空間インデックスが付与されており、例えば \(E_x^n(i,k)\)、\(H_y^{n+\frac{1}{2}}(i+\tfrac{1}{2},k+\tfrac{1}{2})\) といった具合である。式の可読性を保つため、以下の手順では繰り返し現れる「観測用」インデックスが必ずしも明示的には記載されない場合があるが、その解釈は常に同一である。
- \(i\)は\(x\)方向を指し示す。
- \(k\)は\(z\)方向を指し示す。
- \(n\) 整数値の電界時間レベルを指示する。
- \(n+\tfrac{1}{2}\)は磁界の半ステップ時間レベルを示すためのインデックスである。
例えば、\(\partial H_y / \partial z\)に対する中心有限差分近似式は次の通りである。
\[ \frac{\partial H_y}{\partial z} \approx \frac{ H_y^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i,k+\frac{1}{2}\right) - H_y^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i,k-\frac{1}{2}\right) }{\Delta z}, \]
同様に、\(\partial H_z / \partial x\)に対する中心差分近似は次のようになる。
\[ \frac{\partial H_z}{\partial x} \approx \frac{ H_z^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i+\frac{1}{2},k\right) - H_z^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i-\frac{1}{2},k\right) }{\Delta x}. \]
この記法を明確に定義することで、以下の導出過程をイー格子における正しい更新方式として曖昧さなく解釈することが可能となる。
6. 電界更新方程式の導出
電界の値は整数時間ステップにおいて算出される \(n\Delta t\)一方、磁界は半整数時間ステップにおいて評価される \(\left(n+\tfrac{1}{2}\right)\Delta t\)電界更新方程式を導出するにあたり、時間微分項は中心差分法によって近似され、導電率項の評価には新旧の電界値の平均値が用いられる。これにより、導電率の取り扱いが数値的に安定した台形則に基づく形となる。
この平均化処理は極めて重要である。もし導電率項の取り扱いに不整合が生じた場合、更新係数はもはや標準的な減衰形をとらなくなり、通常の有限差分時域法方程式との対応関係も失われてしまう。
6.1 \(E_x\)の更新方程式
まずは以下から始める
\[ \sigma E_x + \epsilon \frac{\partial E_x}{\partial t} = - \frac{\partial H_y}{\partial z}. \]
\(E_x^{n+1}\)と\(E_x^n\)の平均値を用いて導電率項を算出し、中心差分法により時間微分項も求める。
\[ \sigma \frac{E_x^{n+1}(i,k) + E_x^n(i,k)}{2} + \epsilon \frac{E_x^{n+1}(i,k) - E_x^n(i,k)}{\Delta t} = - \frac{ H_y^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i,k+\frac{1}{2}\right) - H_y^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i,k-\frac{1}{2}\right) }{\Delta z}. \]
左辺に \(E_x^{n+1}\) の項をまとめる：
\[ \left( \frac{\sigma}{2} + \frac{\epsilon}{\Delta t} \right) E_x^{n+1}(i,k) = - \frac{ H_y^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i,k+\frac{1}{2}\right) - H_y^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i,k-\frac{1}{2}\right) }{\Delta z} + \left( \frac{\epsilon}{\Delta t} - \frac{\sigma}{2} \right) E_x^n(i,k). \]
したがって
\[ E_x^{n+1}(i,k) = \frac{ \left( \dfrac{\epsilon}{\Delta t} - \dfrac{\sigma}{2} \right) E_x^n(i,k) - \dfrac{ H_y^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i,k+\frac{1}{2}\right) - H_y^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i,k-\frac{1}{2}\right) }{\Delta z} }{ \dfrac{\epsilon}{\Delta t} + \dfrac{\sigma}{2} }. \]
分子と分母に \(2\Delta t\) を掛けることで、よく知られた係数形式が得られる：
\[ E_x^{n+1}(i,k) = \frac{ 2\epsilon - \sigma \Delta t }{ 2\epsilon + \sigma \Delta t } E_x^n(i,k) - \frac{ 2 \Delta t }{ 2\epsilon + \sigma \Delta t } \frac{ H_y^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i,k+\frac{1}{2}\right) - H_y^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i,k-\frac{1}{2}\right) }{\Delta z}. \]
6.2 \(E_y\)の更新方程式
まずは以下から始める
\[ \sigma E_y + \epsilon \frac{\partial E_y}{\partial t} = - \frac{\partial H_z}{\partial x} + \frac{\partial H_x}{\partial z}. \]
イー格子上で両方の微分項を離散化する：
\[ \sigma \frac{E_y^{n+1}(i,k) + E_y^n(i,k)}{2} + \epsilon \frac{E_y^{n+1}(i,k) - E_y^n(i,k)}{\Delta t} = - \frac{ H_z^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i+\frac{1}{2},k\right) - H_z^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i-\frac{1}{2},k\right) }{\Delta x} + \frac{ H_x^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i,k+\frac{1}{2}\right) - H_x^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i,k-\frac{1}{2}\right) }{\Delta z}. \]
式を整理すると
\[ E_y^{n+1}(i,k) = \frac{ 2\epsilon - \sigma \Delta t }{ 2\epsilon + \sigma \Delta t } E_y^n(i,k) + \frac{ 2 \Delta t }{ 2\epsilon + \sigma \Delta t } \left[ - \frac{ H_z^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i+\frac{1}{2},k\right) - H_z^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i-\frac{1}{2},k\right) }{\Delta x} + \frac{ H_x^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i,k+\frac{1}{2}\right) - H_x^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i,k-\frac{1}{2}\right) }{\Delta z} \right]. \]
これが2次元近似において存在する唯一の電界成分であり、2つの異なる磁界微分値からの寄与を受けているため、プログラム上で誤りが生じやすい部分でもある。特に、\(x\)および\(z\)の各微分項間の符号関係は回転演算子方程式から直接導かれるものであり、変更してはならない。
6.3 \(E_z\)の更新式
まずは以下から始める
\[ \sigma E_z + \epsilon \frac{\partial E_z}{\partial t} = \frac{\partial H_y}{\partial x}. \]
離散化処理により以下の式が得られる
\[ \sigma \frac{E_z^{n+1}(i,k) + E_z^n(i,k)}{2} + \epsilon \frac{E_z^{n+1}(i,k) - E_z^n(i,k)}{\Delta t} = \frac{ H_y^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i+\frac{1}{2},k\right) - H_y^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i-\frac{1}{2},k\right) }{\Delta x}. \]
したがって
\[ E_z^{n+1}(i,k) = \frac{ 2\epsilon - \sigma \Delta t }{ 2\epsilon + \sigma \Delta t } E_z^n(i,k) + \frac{ 2 \Delta t }{ 2\epsilon + \sigma \Delta t } \frac{ H_y^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i+\frac{1}{2},k\right) - H_y^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i-\frac{1}{2},k\right) }{\Delta x}. \]
ここまでで、離散化された電界更新方程式の標準的な減衰形が導出された。次の段階として、半整数時間レベルで更新される磁界方程式を導出する。
7. 磁界更新方程式の導出
磁界の更新処理は半整数時間ステップにおいて行われる。\(\sigma_m = 0\)の設定下では、磁界に関する方程式には減衰項が含まれないため、更新式はより単純な前進形式となる。この導出過程は、台形則に基づく導電率項が介在しないため、電界の場合と比べて代数的に簡潔である。
7.1 \(H_x\)の更新式
まずは以下から始める。
\[ \mu \frac{\partial H_x}{\partial t} = \frac{\partial E_y}{\partial z}. \]
半時間ステップ間での時間離散化 \(n-\tfrac{1}{2}\) そして \(n+\tfrac{1}{2}\)空間においては、中心差分を用いて計算する \(z\)方向において、以下の式が得られる
\[ \mu \frac{ H_x^{n+\frac{1}{2}}(i,k+\frac{1}{2}) - H_x^{n-\frac{1}{2}}(i,k+\frac{1}{2}) }{\Delta t} = \frac{ E_y^n(i,k+1) - E_y^n(i,k) }{\Delta z}. \]
導出過程でよく用いられる簡略化された半インデックス表記法を用いれば、同じ結果を次のように記述できる
\[ \mu \frac{ H_x^{n+\frac{1}{2}} - H_x^{n-\frac{1}{2}} }{\Delta t} = \frac{ E_y^n\!\left(k+\frac{1}{2}\right) - E_y^n\!\left(k-\frac{1}{2}\right) }{\Delta z}. \]
したがって
\[ H_x^{n+\frac{1}{2}} = H_x^{n-\frac{1}{2}} + \frac{\Delta t}{\mu} \frac{ E_y^n\!\left(k+\frac{1}{2}\right) - E_y^n\!\left(k-\frac{1}{2}\right) }{\Delta z}. \]
7.2 \(H_y\)の更新方程式
まずは以下から始める
\[ \mu \frac{\partial H_y}{\partial t} = \frac{\partial E_z}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial z}. \]
離散化処理により次式が得られる
\[ \mu \frac{ H_y^{n+\frac{1}{2}}(i+\frac{1}{2},k+\frac{1}{2}) - H_y^{n-\frac{1}{2}}(i+\frac{1}{2},k+\frac{1}{2}) }{\Delta t} = \frac{ E_z^n(i+1,k+\frac{1}{2}) - E_z^n(i,k+\frac{1}{2}) }{\Delta x} - \frac{ E_x^n(i+\frac{1}{2},k+1) - E_x^n(i+\frac{1}{2},k) }{\Delta z}. \]
改めて、簡略化された半インデックス表記においては
\[ \mu \frac{ H_y^{n+\frac{1}{2}} - H_y^{n-\frac{1}{2}} }{\Delta t} = \frac{ E_z^n\!\left(i+\frac{1}{2}\right) - E_z^n\!\left(i-\frac{1}{2}\right) }{\Delta x} - \frac{ E_x^n\!\left(k+\frac{1}{2}\right) - E_x^n\!\left(k-\frac{1}{2}\right) }{\Delta z}. \]
したがって
\[ H_y^{n+\frac{1}{2}} = H_y^{n-\frac{1}{2}} + \frac{\Delta t}{\mu} \left[ \frac{ E_z^n\!\left(i+\frac{1}{2}\right) - E_z^n\!\left(i-\frac{1}{2}\right) }{\Delta x} - \frac{ E_x^n\!\left(k+\frac{1}{2}\right) - E_x^n\!\left(k-\frac{1}{2}\right) }{\Delta z} \right]. \]
7.3 \(H_z\)の更新式
まずは以下から始める
\[ \mu \frac{\partial H_z}{\partial t} = - \frac{\partial E_y}{\partial x}. \]
離散化を行うと以下のようになる
\[ \mu \frac{ H_z^{n+\frac{1}{2}}(i+\frac{1}{2},k) - H_z^{n-\frac{1}{2}}(i+\frac{1}{2},k) }{\Delta t} = - \frac{ E_y^n(i+1,k) - E_y^n(i,k) }{\Delta x}. \]
同様に、簡潔な記法を用いると、
\[ \mu \frac{ H_z^{n+\frac{1}{2}} - H_z^{n-\frac{1}{2}} }{\Delta t} = - \frac{ E_y^n\!\left(i+\frac{1}{2}\right) - E_y^n\!\left(i-\frac{1}{2}\right) }{\Delta x}. \]
したがって
\[ H_z^{n+\frac{1}{2}} = H_z^{n-\frac{1}{2}} - \frac{\Delta t}{\mu} \frac{ E_y^n\!\left(i+\frac{1}{2}\right) - E_y^n\!\left(i-\frac{1}{2}\right) }{\Delta x}. \]
これらの置換が完了すれば、標準的な交互更新方式に基づく有限差分時域法の更新式が直ちに得られる。
8. 最終的な更新方程式
得られた結果をまとめると、二次元における有限差分時域法の更新式は以下の通りである
\[ E_x^{n+1}(i,k) = \frac{ 2\epsilon - \sigma \Delta t }{ 2\epsilon + \sigma \Delta t } E_x^n(i,k) - \frac{ 2 \Delta t }{ 2\epsilon + \sigma \Delta t } \frac{ H_y^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i,k+\frac{1}{2}\right) - H_y^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i,k-\frac{1}{2}\right) }{\Delta z}, \]
\[ E_y^{n+1}(i,k) = \frac{ 2\epsilon - \sigma \Delta t }{ 2\epsilon + \sigma \Delta t } E_y^n(i,k) + \frac{ 2 \Delta t }{ 2\epsilon + \sigma \Delta t } \left[ - \frac{ H_z^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i+\frac{1}{2},k\right) - H_z^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i-\frac{1}{2},k\right) }{\Delta x} + \frac{ H_x^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i,k+\frac{1}{2}\right) - H_x^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i,k-\frac{1}{2}\right) }{\Delta z} \right], \]
\[ E_z^{n+1}(i,k) = \frac{ 2\epsilon - \sigma \Delta t }{ 2\epsilon + \sigma \Delta t } E_z^n(i,k) + \frac{ 2 \Delta t }{ 2\epsilon + \sigma \Delta t } \frac{ H_y^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i+\frac{1}{2},k\right) - H_y^{n+\frac{1}{2}}\!\left(i-\frac{1}{2},k\right) }{\Delta x}, \]
\[ H_x^{n+\frac{1}{2}}(i,k+\tfrac{1}{2}) = H_x^{n-\frac{1}{2}}(i,k+\tfrac{1}{2}) + \frac{\Delta t}{\mu} \frac{ E_y^n(i,k+1) - E_y^n(i,k) }{\Delta z}, \]
\[ H_y^{n+\frac{1}{2}}(i+\tfrac{1}{2},k+\tfrac{1}{2}) = H_y^{n-\frac{1}{2}}(i+\tfrac{1}{2},k+\tfrac{1}{2}) + \frac{\Delta t}{\mu} \left[ \frac{ E_z^n(i+1,k+\tfrac{1}{2}) - E_z^n(i,k+\tfrac{1}{2}) }{\Delta x} - \frac{ E_x^n(i+\tfrac{1}{2},k+1) - E_x^n(i+\tfrac{1}{2},k) }{\Delta z} \right], \]
\[ H_z^{n+\frac{1}{2}}(i+\tfrac{1}{2},k) = H_z^{n-\frac{1}{2}}(i+\tfrac{1}{2},k) - \frac{\Delta t}{\mu} \frac{ E_y^n(i+1,k) - E_y^n(i,k) }{\Delta x}. \]
このような記述形式を用いることで、交互更新方式の仕組みが明確になる。時間レベル\(n+1\)における電界は時間レベル\(n+\tfrac{1}{2}\)における磁界から求められ、一方で時間レベル\(n+\tfrac{1}{2}\)における磁界は時間レベル\(n\)における電界から求められる。このようにして電界および磁界は時間軸上で交互に更新されていくのである。
9. 実装に関する注意点
実際のコードでは、過去の電界値や回転演算子項に掛けられる係数は事前に計算して保存しておくことが多い。特に \(\epsilon\)、\(\mu\)、\(\sigma\) がセルごとに変化する場合にはそうである。例えば、電界値の更新式は通常次のような形を取る。
\[ E^{n+1} = C_a E^n + C_b (\nabla \times H), \]
ここで、局所係数\(C_a\)および\(C_b\)は材料パラメータと時間ステップの値を表しています。これにより実装が簡潔になり、各時間ステップごとに同じ係数を再計算する手間が不要になります。
なお、上述の導出ではFDTD法における基本的な更新式のみが示されている点を強調しておく必要がある。実際に利用可能なシミュレーションには、光源、境界条件、完全整合層（PML）のような吸収層、およびクーラントの安定性条件を満たす時間刻み幅も必要となる。これらの要素はここで導出された交互更新方式の基本構造自体を変更するものではないが、各格子点上での更新式の適用方法には影響を与える。
最後に、上述の記述は実装に役立つよう注意深く記されているものの、各要素の正確な空間的配置はコード内で用いられる格子規則に依存します。重要なのは記述の形式そのものではなく一貫性です。つまり、回転演算、空間的・時間的な配置のずらし方、および符号の取り扱いが、全て同一のイーセル構造に適合している必要があるのです。