基底状態、エンベロープ関数、および多バンドハミルトニアン

バルクのk·pハミルトニアンを量子井戸問題へと変換するには、空間的に変化する構造をバルクの行列で記述可能にするエンベロープ関数近似と、その行列を記述するための一貫した基底が必要となる。本ページではこれら両方をまとめ、OghmaNanoが使用する正確な基底の順序を記録している。これにより、各モデル専用のページでも単一の定義を参照できるようになっている。

1. 3種類の関数

混同しやすい3つの概念を区別しておくことは重要である。 ブロッホ関数 \(\psi_{n\mathbf{k}} = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} u_{n\mathbf{k}}\) これが正確な結晶の固有状態である。 セル周期関数 \(u_{n0}\) ブリルアンゾーンの中心においては、固定された基底関数の一つが存在する。これは伝導帯用のs様関数であり、またp様関数でもある。\(X,Y,Z\)価電子帯用である。 エンベロープ関数 \(F_n(z)\) これは各基底関数に掛けられ、閉じ込め効果を表す緩やかに変化する振幅である。ヘテロ構造においては、全状態は基底関数の和として表される。

\[ \Psi(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}_\parallel\cdot\boldsymbol{\rho}} \sum_n F_n(z)\, u_{n0}(\mathbf{r}), \]

そしてこれがエンベロープ関数の集合である \(\{F_n(z)\}\) ソルバーが計算する結果である。

2. エンベロープ関数近似

エンベロープ関数近似では二つの仮定が置かれる。すなわち、同じゾーン中心の基底関数が存在することである \(u_{n0}\) どの層においても使用可能であり、材料パラメータ（バンドギャップ、有効質量、ケインパラメータおよびルッティンガーパラメータ）は格子定数よりもはるかに大きなスケールで位置に依存して変化する。このため、バルク領域におけるk·p行列はエンベロープ関数に作用する微分演算子となり、その係数も位置に依存する形となる。本質的な置換とは、成長方向の波数ベクトルが微分演算子へと置き換えられることである。

\[ k_z \;\longrightarrow\; -i\,\frac{d}{dz}, \]

面内の波数ベクトルは \(k_x, k_y\) 構造が平面内で並進対称性を有するため、これらは良好な量子数のままである。すべての \(k_z\) バルクハミルトニアン内の \(k_z\) はこの演算子に置き換えられ、すべての項も同様となる \(k_z^2\) 前ページで示した対称な二階微分によって表される。 \(k_z\) のような積も同様に処理される。 \(k_x k_z\) 変換される \(k_x(-i\,d/dz)\)係数が変化しても演算子がエルミート性を保つよう対称化される。その結果、包絡関数に関する行列微分方程式が得られ、これが前述の方法に従って離散化される。 有限差分法に関するページ.

3. ブロック構造を持つハミルトニアンの読み方

多バンドハミルトニアンを扱う際には、個々の要素を調べる前にまず少数のブロックに分けて考えるのが最適である。最も大まかな分割方法としては、伝導帯的状態と価電子帯的状態を分離する方法がある。

\[ H = \begin{pmatrix} H_{cc} & H_{cv} \\[2pt] H_{vc} & H_{vv} \end{pmatrix}, \]

ここで\(H_{cc}\)はS様の伝導状態を表し、\(H_{vv}\)はP様の価電子状態を表し、\(H_{cv}=H_{vc}^\dagger\)は両者間のケイン運動量結合を表している。伝導ブロックは本質的には（非放物線型の）有効質量演算子であり、価電子ブロックには重ホール、軽ホールおよびスプリットオフ状態の物理が含まれる。また結合ブロックこそがこのモデルを厳密な意味での「多バンドモデル」たらしめる要素であり、伝導帯の非放物線性と価電子帯構造とを結びつけている。ひずみやスピン軌道相互作用の項もそれぞれ該当するブロックに加えられる。

4. OghmaNanoで使用される基底の順序

ハミルトニアンの各要素の数値は、基底状態が記載される順序に依存する。OghmaNanoでは亜鉛鉱およびウルツ鉱モデルにおいては固定された直交座標系の軌道基底が用いられ、Luttinger–Kohnモデルでは全角運動量基底が使用される。その順序は以下の通りである：

• 8バンド亜鉛鉱構造モデルおよび8バンドウルツ鉱構造モデル：\(\{\,|S\!\uparrow\rangle,\ |S\!\downarrow\rangle,\ |X\!\uparrow\rangle,\ |Y\!\uparrow\rangle,\ |Z\!\uparrow\rangle,\ |X\!\downarrow\rangle,\ |Y\!\downarrow\rangle,\ |Z\!\downarrow\rangle\,\}\)
• 10バンド亜鉛鉱構造モデル：上記の8つの状態に加え、2つの局在化した窒素状態が存在する \(\{\,|N\!\uparrow\rangle,\ |N\!\downarrow\rangle\,\}\)。
• 6バンドルッティンガー＝コーン法：\(\{\,\text{HH}\!\uparrow,\ \text{LH}\!\uparrow,\ \text{LH}\!\downarrow,\ \text{HH}\!\downarrow,\ \text{SO}\!\uparrow,\ \text{SO}\!\downarrow\,\}\)
• シリコンのΔバレー：各バレーにつきスカラー量として表される単一のバンドが存在し、6方向のバレーそれぞれに対して個別に計算される。

直交座標系における\(|X\rangle,|Y\rangle,|Z\rangle\)軌道を全角運動量に基づく\(|J,m_j\rangle\)組み合わせに代えて用いることで、運動量およびひずみに起因する結合項は実数値となり容易に構築できるが、その代わりにスピン軌道結合は明示的な非対角項として残る。一方、Luttinger–Kohnモデルでは\(|J,m_j\rangle\)基底が用いられ、この場合スピン軌道結合は対角項となるものの運動項は典型的な\(P,Q,R,S\)形式をとる。いずれの選択も物理的には等価であり、それぞれが異なるモデルに適している。両者に関する説明はそれぞれのページで記載されている。