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OghmaNanoには、二次元の量子井戸およびバルク半導体における電子状態を計算するための、半導体バンド構造・量子井戸・k・p法用ソルバー群が備わっている。これらのモデルは、閉じ込められた電子および正孔の状態、電子バンド分散、波動関数、バンド混合、光学行列要素を算出でき、さらに光吸収、自然放出、誘導放出、利得、キャリア散乱、移動度の計算とも連携可能である。
さまざまな半導体材料や結晶構造に対応する多数のバンド構造モデルが用意されている：
これらのモデルを組み合わせることで、OghmaNanoは二次元の量子井戸におけるサブバンド構造および三次元のバルク半導体のバンド構造の両方を計算することが可能となる。量子井戸内では、キャリアは成長方向に沿って閉じ込められる一方で、層面に平行な方向には自由に移動できる。多バンドk・p計算においては、成長方向の波数ベクトルがエンベロープ関数演算子に置き換えられる。
\[ k_z \longrightarrow -i\frac{d}{dz}, \]
得られた連立方程式が半導体ヘテロ構造全体にわたって解かれる。面内波数ベクトルの関数としてこの計算を繰り返すことで、二次元サブバンドの分散関係が求められる。一方、ペロブスカイト用ソルバーなどのバルクモデルでは、三次元波数ベクトルの関数としてハミルトニアンを直接解く。 \(\mathbf{k}=(k_x,k_y,k_z)\).
算出された固有値および固有ベクトルは単なるバンド構造図にとどまらず、光学的遷移、吸収、自然放出、誘導放出、光増幅のシミュレーションの出発点となる。また、対応する場合にはキャリアの散乱現象、緩和時間、移動度の計算にも利用される。こうした機能により、本バンド構造計算モジュールは半導体レーザー、LED、光検出器、量子井戸ヘテロ構造、高移動度半導体チャネル、シリコン／SiGeデバイス、さらには金属ハライドペロブスカイト系の太陽電池や発光材料のモデリングにも適用可能となる。
基本的な物理原理については、量子井戸とキャリアの閉じ込めおよびk・p理論入門をご参照ください。
電子バンド構造の計算は、シミュレーションの第一段階に過ぎません。電子状態のエネルギーおよび波動関数が求められた後、OghmaNanoはそれらを用いて各種の光学的特性や電荷輸送特性を算出することができる。具体的には光吸収、自然放出および誘導放出、光増幅効果、フォノン散乱率、キャリア緩和時間、そしてキャリア移動度などが含まれる。
これらの計算の多くは同じ基本的な考え方に基づいている。すなわち、キャリアが初期電子状態から最終状態へ遷移する際、その遷移確率は両状態間の結合の強さによって決定される。相互作用が弱い場合、この現象はフェルミの黄金律によって記述される。
\[ W_{i\rightarrow f} = \frac{2\pi}{\hbar} \left|\langle f|\hat H_{\mathrm{int}}|i\rangle\right|^2 \delta(E_f-E_i). \]
相互作用ハミルトニアン \(\hat H_{\mathrm{int}}\) は、考慮される物理過程に応じてその内容が変化する。光遷移の場合、これは電子状態と電磁場との相互作用を記述する。一方、キャリア散乱の場合には、音響フォノンや縦光学フォノンを含む格子振動との相互作用を表すことになる。こうして算出されたバンド構造は、光学的特性および輸送特性の両方を導出するための共通の電子的基盤を提供するのである。
光学的計算において、OghmaNanoは算出された伝導帯および価電子帯の状態と、それらに対応する光学行列要素ならびにキャリア占有状態を組み合わせる。その後、占有状態と非占有状態間の遷移を算出されたバンド構造全体にわたって合計することで、吸収、誘導放出、純粋な光利得、および自然放出の値を求めることができる。
複数バンドからなるk・pモデルの固有ベクトルには、各状態の軌道およびスピン特性に関する情報が保持されているため、光学計算においては単にエネルギー準位を照合するだけにとどまらない処理が可能となる。バンド混合の影響により遷移行列要素が変化するため、光学応答の強度も変動する。ウルツ鉱型半導体のような異方性を持つ系においては、これによりTE偏光およびTM偏光に依存する光学遷移を個別に取り扱うことも可能となる。
電子状態の情報を用いることで、キャリアがバンド構造内のある位置から別の位置へ散乱される確率も算出可能である。材料やモデルに応じて、OghmaNanoでは以下のような散乱メカニズムも考慮することができる 音響フォノン散乱 および フレーリッヒ極性光学フォノン散乱 これらの過程がキャリアの寿命や運動量緩和を決定し、最終的にはキャリア移動度に影響を与える。
フレーリッヒ散乱は、GaAs、InP、GaN、および金属ハライドペロブスカイトといった極性半導体において特に重要である。縦光学フォノンは振動する分極場を生成し、これが電子または正孔と相互作用する。この相互作用の強さはフレーリッヒ行列要素によって記述される。
\[ M(q) = -\frac{i}{q} \left[ \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \right]^{1/2}. \]
ここで\(q\)はフォノンの波数ベクトルであり、\(\omega_{LO}\)は縦光学フォノンの角振動数です。\(\varepsilon_\infty\)および\(\varepsilon_s\)はそれぞれ物質の電子誘電率および静的誘電率を表します。\(1/q\)の依存性は、極性相互作用が長距離に及ぶ性質を反映しています。
フェルミの黄金律を適用し、可能な終状態について積分することでキャリアの散乱率が求められる。例えば、縦光学フォノンの吸収の場合がこれに該当する。
\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(\mathbf{k})} ={}& \frac{2\pi}{\hbar} \frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3q\; \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \frac{N_{LO}}{q^2} \\[4pt] &\times \delta\left( E(\mathbf{k}+\mathbf{q})- E(\mathbf{k})- \hbar\omega_{LO} \right). \end{aligned} \]
ディラックのデルタ関数はエネルギー保存則を保証しており、\(\mathbf{q}\)上での積分は初期状態および終状態の電子状態を結びつけうるフォノンの波数ベクトルをすべて足し合わせる役割を果たす。縦光学フォノンの放出も同様の方法で計算されるが、この場合キャリアはエネルギー\(\hbar\omega_{LO}\)を失うことになる。一方、音響フォノン散乱は結晶の弾性変形に起因する低エネルギーな格子振動との相互作用を記述するものである。
散乱現象が必ずしもキャリアの運動量を完全に失わせるわけではない。例えば前方散乱ではキャリアの進行方向がごくわずみしか変わらないのに対し、後方散乱では電流の方向に強く逆らうことになる。このため輸送計算においてOghmaNanoでは単に全散乱率の逆数を用いるのではなく、運動量緩和率を利用することが可能である。
電子のバンド構造全体において輸送緩和時間が算出された後、輸送に寄与する電子状態の速度および散乱特性を平均することで移動度が求められる。緩和時間近似の枠組みにおいては
\[ \mu_{ij} = \frac{e}{n} \sum_b \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} v_{b,i}(\mathbf{k}) v_{b,j}(\mathbf{k}) \tau_{\mathrm{tr},b}(\mathbf{k}) \left( -\frac{\partial f}{\partial E} \right)_{E_b(\mathbf{k})}. \]
キャリアの速度は、計算された電子の分散関係から直接求められる。
\[ \mathbf{v}_b(\mathbf{k}) = \frac{1}{\hbar} \nabla_{\mathbf{k}}E_b(\mathbf{k}). \]
この手法により、計算されたバンド構造が実験的に測定可能な輸送特性と直接関連付けられる。単一の一定値である有効質量や散乱率を仮定する代わりに、この計算では電子の速度や散乱現象が電子バンド全体にわたってどのように変化するかも考慮することが可能となる。
Si/SiGeの量子井戸においては、OghmaNanoを用いてシリコンのΔバレーおよびルッティンガー・コーン・モデルに基づき、音響フォノン散乱ならびに二次元電子・正孔の移動度を算出することが可能である。一方、バルク状態の金属ハライドペロブスカイト材料においては、算出された8バンドの電子構造とフレーリッヒ電子・フォノン散乱モデルを組み合わせることで、キャリアの緩和時間およびフォノンによって制限される移動度を求めることができる。
実践例は、Si/SiGe電子移動度チュートリアル、Si/SiGe正孔移動度チュートリアル、およびペロブスカイトのバンド構造と移動度チュートリアルに記載されている。
OghmaNanoに付属するサンプル例は、各種バンド構造モデルを利用するための出発点として利用できる。量子井戸における光学計算用としては、GaAs/AlGaAs用8バンドk・pチュートリアルが、電子サブバンドや吸収現象、誘導放出、光学利得、自然放出の計算方法を解説している。
バルク材料の計算においては、ペロブスカイトのバンド構造および移動度チュートリアルにて、CsPbX3およびMAPbX3材料の電子バンド構造の算出方法、ならびに得られた状態を用いてフレーリッヒ散乱やキャリア移動度を計算する手順が説明されている。
さらに詳細な理論的背景については、k・p理論ガイド、光遷移理論、およびフレーリッヒ散乱理論をご参照ください。
量子閉じ込めの概念を理解するためには、まず量子井戸およびキャリアの閉じ込めについて学ぶことをお勧めします。放物線型バンドチュートリアルでは最も単純な量子井戸モデルが紹介され、k・p理論ガイドでは複数の電子バンドが多バンドハミルトニアン内でどのように結合するかが説明されています。
実践的な入門として、GaAs/AlGaAs用8バンドk・pチュートリアルまたはバルクペロブスカイトのバンド構造および移動度チュートリアルをお試しください。
量子構造およびバンド構造モデリング用ツールをご活用ください。
まずは量子井戸入門から始め、k・p理論ガイドをお読みいただくか、GaAs/AlGaAs放物線型量子井戸チュートリアルを実行してください。