量子井戸のバンド構造と放物線バンド近似

量子井戸から電子バンドへ

私たちの量子井戸入門において、シュレーディンガー方程式を用いてポテンシャル井戸内に閉じ込められた電子の許容エネルギーと波動関数を算出した。これらの解の一例が??に示されている。

しかしながら、この計算では電子が井戸構造の幅方向にどのように振る舞うかのみが記述されているに過ぎません。半導体量子井戸は通常、非常に薄い材料層から構成され、その面積ははるかに広大です。ここで\(z\)方向を半導体層に垂直な方向と定義すると、電子は\(z\)方向に閉じ込められるものの、層に平行な\(x\)方向および\(y\)方向には自由に移動できます。

つまり、電子は1次元方向には閉じ込められているものの、残りの2次元方向には自由に運動できるのである。このため、量子井戸は一般的に二次元電子系として記述されるのである。

この現象がもたらす影響を理解するためには、シュレーディンガー方程式から得られる離散的なエネルギー準位と半導体の電子バンド構造とを関連付ける必要がある。

閉じ込められたエネルギー準位から放物線バンドへ

??に示す量子井戸を考えてみましょう。この井戸内でシュレーディンガー方程式を解くと、閉じ込められた電子状態が複数得られ、それらのエネルギー値はそれぞれ\(E_1\)、\(E_2\)、\(E_3\)となります。

これらのエネルギー値は、電子が量子井戸内で受ける閉じ込め状態を表している。 \(z\) 電子はこの方向にも移動可能だが、層に平行な方向、すなわち面内方向にも移動できる。 \(x\) そして \(y\) 面内方向である。電子がこの面内で運動量を得ると、その全エネルギーも増加する。

この運動を記述するため、面内波数という概念を導入する。これを \(k_{\parallel}\) と表記する。その大きさは、量子閉じ込めが生じていない二方向における波数成分と関連している。

\[ k_{\parallel}^{2}=k_x^2+k_y^2. \]

放物線形状の電子バンドを持つ単純な半導体において、面内運動に伴って生じる付加的なエネルギーは次式で表される：

\[ E_{\mathrm{parallel}}= \frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2m^{*}}, \]

ここで\(m^{*}\)は電子の有効質量を表す。この有効質量は、結晶内における電子が外力にどのように反応するかを示す値であり、半導体の電子構造がもたらす影響も考慮されている。

さて、量子閉じ込めによって生じるエネルギーと、層に平行な方向の運動に伴うエネルギーを合算することができる。

\[ \boxed{ E_n(k_{\parallel})= E_n+\frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2m^{*}} } \]

この式から、各閉じ込めエネルギー準位が放物線の始点となることがわかる。右側の??図に示されている通り、こうした放物線が電子サブバンドと呼ばれるものである。

面内波数がゼロの場合、各放物線の底部は量子井戸内でシュレーディンガー方程式を解くことによって得られるエネルギー値と完全に一致する。面内波数が増加するにつれて、電子は同一の閉じ込め状態を維持したまま放物線上を上昇しエネルギーを得る。この様子は\(z\)に示されている。

こうして我々は、離散的な量子井戸エネルギー準位群を、連続的な二次元電子サブバンド群へと変換することができたのである。

なぜ放物線バンドモデルを用いるのか？

なぜ半導体のバンド構造がしばしば放物線で表されるのかを理解するため、より身近な例を考えてみましょう。クリケットボールを投げる場合です。ボールの運動エネルギーはその質量と速度に依存します。

\[ E_{\mathrm{kinetic}}=\frac{1}{2}mv^2. \]

これより、ボールを2倍の速さで投げた場合、その運動エネルギーは4倍になることがわかる。運動量は\(p=mv\)によって与えられるため、この関係式を次のようにも表すことができる：

\[ E_{\mathrm{kinetic}}=\frac{p^2}{2m}. \]

クリケットボールの運動エネルギーをその運動量に対してプロットすると、放物線が得られる。運動量がゼロのときに運動エネルギーは最小値となり、運動量が増加するにつれてエネルギーは二次関数的に増大する。

興味深いことに、半導体内の電子を記述する際にも極めて同様の関係式が利用できる。量子力学においては、運動量は面内波数と \(p=\hbar k\) によって関連付けられる。この関係式を先ほどの式に代入すると以下のようになる：

\[ E_{\mathrm{kinetic}}=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}. \]

しかし、半導体内の電子は真空空間を運動しているわけではない。電子は結晶の周期的なポテンシャルと相互作用し、その結果エネルギーと運動の関係が変化する。多くの伝導帯の底部付近においては、この効果を考慮するために通常の電子質量の代わりに有効質量 \(m_e^{*}\) を用いることができる。

さらに、伝導帯底部のエネルギー値である\(E_c\)も考慮する必要があり、これにより放物線バンド近似が得られる。

\[ \boxed{ E(k)=E_c+\frac{\hbar^2 k^2}{2m_e^{*}} } \]

有効質量は放物線の曲率を決定する。有効質量が小さいほどバンドはより急峻に曲がり、波数が増加するにつれて電子のエネルギーもより速く増大する。一方、有効質量が大きい場合にはバンドはより平坦になる。

この放物線バンド近似の利点は、半導体のバンド構造を記述する際にバンド端エネルギーと有効質量のみを用いればよい点である。シュレーディンガー方程式を用いて閉じ込めエネルギーを算出した後、この関係式を利用して対応する量子井戸の電子サブバンドを構築することが可能となる。この計算内容については、GaAs/AlGaAs放物線量子井戸チュートリアルにて直接確認できる。

電子と正孔の紹介

これまで伝導帯内の電子のみを扱ってきましたが、半導体には価電子帯も存在します。この価電子帯においては電子の欠如が正電荷を持つ粒子、すなわちホールとして記述されます。

伝導帯の極小点付近において、電子のエネルギーは上方に開いた放物線を用いて近似できる。

\[ E_c(k)=E_c+\frac{\hbar^2 k^2}{2m_e^{*}}. \]

同様に、価電子帯の頂点付近においては、価電子のエネルギーを下向きの放物線で近似することができる。

\[ E_v(k)=E_v-\frac{\hbar^2 k^2}{2m_h^{*}}. \]

これら2つの放物線は??に示されている。伝導帯の極小点と価電子帯の極大点は、半導体のバンドギャップ\(E_g\)によって隔てられている。

電子が伝導帯の量子井戸内に閉じ込められるのと同様に、正孔も適切な価電子帯ポテンシャルによって閉じ込められる。したがって、両キャリア種に対してシュレーディンガー方程式を解くことで2種類の閉じ込められたエネルギー準位が得られ、これらから電子および正孔のサブバンドを構築することが可能となる。

量子井戸からの光放射および吸収

量子井戸内に閉じ込められた電子に対してシュレーディンガー方程式を解くことで、一連のエネルギー準位が得られる。これらの準位は、半導体層に平行な運動が考慮されるとそれぞれ放物線形状の電子サブバンドへと変化する。

ホールに対しても全く同様の計算を行うことができる。??では、上段の図が伝導帯における電子の閉じ込め状態を示し、下段の図が価電子帯におけるホールの閉じ込め状態を示している。分かりやすさのため、価電子帯のポテンシャル井戸は反転して描かれており、ホールの閉じ込めエネルギーは価電子帯の頂点から下方へと測定されている。

両方の状態群を算出した後、量子井戸と光との相互作用について記述できるようになる。例えば、伝導帯内の電子が価電子帯内の正孔と再結合することで、光子としてエネルギーが放出される。逆に、入射した光子が吸収されることで、価電子帯から伝導帯へ電子が励起されることも起こり得る。

遷移エネルギーの計算方法

??内の赤色の矢印をご覧ください。これは面内波数がゼロの状態における、最も低エネルギーの電子サブバンドとホールサブバンド間の遷移を表しています。

この遷移に必要なエネルギーは、半導体のバンドギャップに、電子および正孔の閉じ込めエネルギーを加えた値となる。

\[ \boxed{ E_{\mathrm{photon}} = E_g+E_{e,n}+E_{h,m} } \]

ここで\(E_g\)は量子井戸材料のバンドギャップであり、\(E_{e,n}\)および\(E_{h,m}\)はそれぞれ電子および正孔の閉じ込めエネルギーで、各々のバンド端を基準として測定される値である。

図に示す例において、バンドギャップは\(1.42\,\mathrm{eV}\)、最も低い電子の閉じ込めエネルギーは\(39\,\mathrm{meV}\)、最も低い正孔の閉じ込めエネルギーは\(7\,\mathrm{meV}\)である。したがって、生じる遷移エネルギーは次の通りとなる：

\[ E_{\mathrm{photon}} = 1.42+0.039+0.007 = 1.466\,\mathrm{eV}. \]

なお、この値はバルク半導体のバンドギャップよりも若干大きくなっている点にご留意ください。量子井戸内で電子と正孔を閉じ込めることにより、光遷移に必要なエネルギーが増加するのです。この仕組みにより、量子井戸の幅を変えるだけで吸収波長や発光波長を容易に調整することが可能となるのです。

面内波数が大きくなった場合、どのような現象が起こるのか？

電子および正孔は、それぞれのサブバンドの底部に留まる必要はない。これらは半導体層に平行に移動することも可能であり、面内波数が増大するにつれてさらなるエネルギーを得るのである。

これは図中の赤色の破線矢印で示されている。直接遷移型の光学的遷移においては、光子が持つ運動量が比較的小さいため、面内の結晶波数はほぼ保存される。

私たちが用いる単純な放物線バンドモデルにおいて、遷移エネルギーは次式で表される。

\[ \boxed{ E_{\mathrm{photon}}(k_{\parallel}) = E_g+E_{e,n}+E_{h,m} + \frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2\mu} } \]

ここで\(\mu\)は電子・正孔対の換算有効質量であり、次のように定義される：

\[ \frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_e^{*}} + \frac{1}{m_h^{*}}. \]

面内波数が増大するにつれて遷移エネルギーも増加する。このことから、2つのサブバンド間の光学的遷移は単一の光子エネルギーに限定されるものではなく、放物線状の分散曲線上にある様々な占有状態が広範囲にわたる光学的遷移に寄与しうるのである。

放物線バンド近似の精度はどの程度か？

私たちが構築したモデルは意図的に単純化されており、各電子バンドは適切な有効質量を持つ放物線で表現できると仮定している。この近似は、エネルギーと面内波数の関係がほぼ二次関数的となる伝導帯の極小点付近において有用な手法である。

しかしながら、実際の半導体のバンド構造はより複雑である。その一例が??に示されており、GaAsの電子バンド構造の計算結果が示されている。

伝導帯は、ガンマ点付近においてはほぼ放物線形状をしているが、そこから離れるにつれてこの単純な形状から逸脱する。一方、価電子帯はさらに複雑であり、重ホールバンド、軽ホールバンド、およびスプリットオフバンドが存在し、これらが互いに相互作用しうる。

また、この図の横軸は逆格子空間内の経路、すなわちL点からガンマ点を経てX点へと続く軌跡であることを認識しておくことも重要である。これは半導体デバイス内の位置を示すプロットではなく、許容される電子エネルギーが結晶の波数ベクトルに応じてどのように変化するかを表している。

バンド混合、非放物線性、ひずみ、あるいは強い量子閉じ込め効果が重要となる場合、単純な有効質量近似を超えた取り扱いが必要となる。そのための一つの方法として 多バンドk·p理論これにより、複数の電子バンドを個々に独立した放物線として近似するのではなく、一緒に取り扱うことが可能となる。