양자 우물의 띠대역 구조와 포물선형 띠대역 근사

양자 우물에서 전자 띠대역으로

저희가 작성한 양자 우물 입문에서는 포텐셜 우물 내에 구속된 전자의 허용 에너지와 파동함수를 계산하기 위해 슈뢰딩거 방정식을 활용했습니다. 이러한 해법의 예시가 ??에 제시되어 있습니다.

하지만 이러한 계산은 오직 양자우물의 폭 방향에서 전자의 거동만을 설명할 뿐입니다. 일반적으로 반도체 양자우물은 훨씬 넓은 면적에 걸쳐 형성되는 매우 얇은 물질층으로 이루어집니다. \(z\) 방향을 반도체 층들에 수직인 방향으로 정의할 경우, 전자는 \(z\) 방향으로는 구속되지만 \(x\) 및 \(y\) 방향, 즉 층들에 평행한 방향에서는 자유롭게 움직일 수 있습니다.

다시 말해, 전하 캐리어는 한 방향으로는 구속되지만 나머지 두 방향에서는 자유롭게 움직일 수 있습니다. 이러한 이유로 양자 우물은 일반적으로 2차원 전자 시스템으로 간주됩니다.

이 현상이 초래하는 결과를 이해하기 위해서는 슈뢰딩거 방정식으로부터 얻어진 이산적인 에너지 준위와 반도체의 전자 띠대역 구조 간의 연관성을 파악해야 합니다.

구속된 에너지 준위에서 포물선형 띠대역으로

??의 왼쪽에 나타난 양자 우물을 살펴보자. 이 우물에 대해 슈뢰딩거 방정식을 풀면 구속 상태들이 생성되며, 그 에너지값은 각각 \(E_1\), \(E_2\), \(E_3\)가 된다.

이러한 에너지 값들은 전자가 \(z\) 방향으로 구속되는 상태를 나타냅니다. 그러나 전자는 층들에 평행한 \(x\) 및 \(y\) 방향으로도 이동할 수 있습니다. 이 평면 내에서 운동량이 증가함에 따라 전자의 총 에너지 역시 증가하게 됩니다.

이 운동을 기술하기 위해 평면 파수벡터를 도입하며, 이를 \(k_{\parallel}\)로 표기합니다. 이 파수벡터의 크기는 구속되지 않은 두 방향에 대한 파수벡터 성분들과 관련이 있습니다.

\[ k_{\parallel}^{2}=k_x^2+k_y^2. \]

포물선형 띠대역을 갖는 단순한 반도체의 경우, 면내 운동에 수반되는 추가 에너지는 다음과 같다:

\[ E_{\mathrm{parallel}}= \frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2m^{*}}, \]

여기서 \(m^{*}\)은 전자의 유효질량을 나타냅니다. 이 유효질량은 반도체의 전자 구조가 미치는 영향을 고려하여 결정체 내에서 전자가 힘에 어떻게 반응하는지를 설명합니다.

이제 양자 구속에 의해 생성된 에너지와 층면에 평행한 운동에 기인하는 추가 에너지를 결합할 수 있습니다.

\[ \boxed{ E_n(k_{\parallel})= E_n+\frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2m^{*}} } \]

이 식에 따르면 각 구속 상태의 에너지값이 포물선의 시작점이 되며, 이는 ??의 오른쪽에 도시된 바와 같습니다. 이러한 포물선들을 전자 서브밴드라고 부릅니다.

면내 파수벡터가 0일 때 각 포물선의 바닥점은 양자 우물 내에서 슈뢰딩거 방정식을 풀어 얻은 에너지값과 정확히 일치한다. 면내 파수벡터가 증가하면 전하 캐리어는 해당 포물선을 따라 위로 이동하며 에너지를 얻게 되지만 \(z\) 방향에서는 여전히 동일한 구속 상태에 머무른다.

이로써 우리는 이산적인 양자 우물 에너지 준위들을 연속적인 2차원 전자 서브밴드들로 변환하였습니다.

왜 포물선형 띠대역 근사를 사용하는가?

반도체의 띠대역이 포물선 형태로 표현되는 이유를 이해하기 위해, 우리에게 훨씬 친숙한 사례인 크리켓 공을 던지는 상황을 살펴보자. 공의 운동에너지는 그 질량과 속도에 의해 결정된다.

\[ E_{\mathrm{kinetic}}=\frac{1}{2}mv^2. \]

이 결과로부터 공을 두 배 빠른 속도로 던질 경우 운동에너지가 4배 증가한다는 것을 알 수 있습니다. 운동량은 \(p=mv\)로 표현되므로 이 관계를 다음과 같이도 기술할 수 있습니다:

\[ E_{\mathrm{kinetic}}=\frac{p^2}{2m}. \]

크리켓공의 에너지를 그 운동량에 대해 그래프로 나타내면 포물선 형태가 됩니다. 운동량이 0일 때 공의 운동에너지가 가장 낮으며, 운동량이 증가함에 따라 에너지는 제곱에 비례하여 증가합니다.

흥미롭게도 반도체 내부의 전자를 기술하는 데에도 매우 유사한 관계식을 활용할 수 있습니다. 양자역학에서는 운동량이 파수벡터와 \(p=\hbar k\)을 통해 연관됩니다. 이를 앞서 제시한 식에 대입하면 다음과 같은 결과가 도출됩니다:

\[ E_{\mathrm{kinetic}}=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}. \]

하지만 반도체 내부의 전자는 진공 공간을 이동하는 것이 아니다. 이 전자는 결정체의 주기적 퍼텐셜과 상호작용하며 이로 인해 에너지와 운동 상태 간의 관계가 변하게 된다. 대부분의 전도대 하단 부근에서는 일반적인 전자 질량 대신 유효질량을 사용함으로써 이러한 효과를 반영할 수 있으며, 이때 유효질량은 \(m_e^{*}\)로 표기된다.

또한 전도대 하단의 에너지값인 \(E_c\)도 포함시켜야 하며, 이를 통해 포물선형 띠대역 근사식을 얻게 됩니다.

\[ \boxed{ E(k)=E_c+\frac{\hbar^2 k^2}{2m_e^{*}} } \]

유효질량은 포물선형 띠대역의 곡률을 결정합니다. 유효질량이 작을수록 띠대역의 곡률이 더욱 심해지므로 파수벡터가 증가할 때 전자 에너지도 더 빠르게 상승합니다. 반면 유효질량이 클 경우 띠대역은 보다 평탄해집니다.

이 근사법의 장점은 전자 띠대역을 띠대역 가장자리 에너지와 유효질량만을 이용해 기술할 수 있다는 점입니다. 슈뢰딩거 방정식을 통해 구속에너지를 계산한 뒤, 위 관계식을 활용하여 대응하는 양자 우물의 전자 서브밴드를 구성할 수 있습니다. 이 계산 과정은 GaAs/AlGaAs 포물선형 양자우물 튜토리얼에서 직접 살펴볼 수 있습니다.

전자와 정공 소개

지금까지는 전도대에 존재하는 전자들만을 다루어왔습니다. 하지만 반도체에는 전도대 외에 정공이라고 불리는 양전하를 지닌 입자로서 전자의 부재를 설명할 수 있는 가전도대도 존재합니다.

전도대 최저점 근처에서 전자의 에너지는 위로 볼록한 포물선 형태로 근사할 수 있다:

\[ E_c(k)=E_c+\frac{\hbar^2 k^2}{2m_e^{*}}. \]

마찬가지로, 가전자대 최대값 근처에서는 가전자 에너지를 아래로 향하는 포물선 형태로 근사할 수 있습니다:

\[ E_v(k)=E_v-\frac{\hbar^2 k^2}{2m_h^{*}}. \]

이 두 포물선은 ??에 도시되어 있습니다. 전도대 최저점과 가전대 최고점은 반도체의 밴드갭에 의해 분리되며, 이 값은 \(E_g\)로 표시됩니다.

전자가 전도대 양자 우물 내에 구속될 수 있는 것과 마찬가지로, 정공 역시 적절한 가전자대 포텐셜에 의해 구속될 수 있다. 따라서 두 캐리어 유형에 대해 슈뢰딩거 방정식을 풀면 두 세트의 구속된 에너지 준위가 도출되며, 이를 바탕으로 전자 및 정공 서브밴드를 각각 구성할 수 있다.

양자 우물에서 광방출 및 흡수까지

이제 우리는 양자우물 내에 구속된 전자에 대해 슈뢰딩거 방정식을 풀면 일련의 에너지 준위가 생성되며, 반도체 층에 평행한 방향으로의 운동을 고려할 경우 각 준위가 포물선형 서브밴드로 변환된다는 점을 살펴보았습니다.

정공에 대해서도 동일한 계산을 수행할 수 있다. 이는 ??에서 보여주는데, 위쪽 다이어그램들은 전도대 내의 구속된 전자 상태들을 나타내고 아래쪽 다이어그램들은 그에 대응하는 가전대 내의 구속된 정공 상태들을 나타낸다. 명확한 이해를 위해 가전대 우물은 뒤집혀서 표현되었으며, 정공의 구속에너지들은 가전대 최대값으로부터 아래쪽 방향으로 측정된다.

양자 우물 내의 전자 및 정공 상태들을 모두 계산한 뒤에야 비로소 양자 우물과 빛의 상호작용을 설명할 수 있다. 예를 들어, 전도대에 존재하는 전자는 정공대에 있는 정공과 재결합하여 에너지를 광자 형태로 방출할 수 있다. 반대로 외부에서 들어온 광자는 흡수되어 정공대의 전자가 전도대로 여기될 수도 있다.

전이에너지 계산

??에 표시된 진한 빨간색 화살표를 살펴보세요. 이 화살표는 평면 파수벡터가 0인 상태에서 가장 낮은 에너지를 갖는 전자 및 정공 서브밴드 간의 전이 과정을 나타냅니다.

이 전이에 필요한 에너지는 반도체의 밴드갭에 전자와 정공의 구속에너지를 더한 값입니다.

\[ \boxed{ E_{\mathrm{photon}} = E_g+E_{e,n}+E_{h,m} } \]

여기서 \(E_g\)은 양자 우물 물질의 밴드갭이며, \(E_{e,n}\)와 \(E_{h,m}\)는 각각 전자 및 정공의 구속에너지로서 해당 밴드 가장자리를 기준으로 측정된 값입니다.

그림에 제시된 예시에서 밴드갭은 \(1.42\,\mathrm{eV}\)이며, 가장 낮은 에너지의 전자 구속에너지는 \(39\,\mathrm{meV}\)이고 가장 낮은 에너지의 정공 구속에너지는 \(7\,\mathrm{meV}\)입니다. 따라서 발생하는 광학 전이 에너지는 다음과 같습니다:

\[ E_{\mathrm{photon}} = 1.42+0.039+0.007 = 1.466\,\mathrm{eV}. \]

이 값은 벌크 반도체의 밴드갭보다 약간 더 크다는 점에 유의해야 합니다. 양자 우물 내에서 전자와 정공을 구속시킴으로써 광학적 전이에 필요한 에너지가 증가하게 됩니다. 이를 통해 우물의 폭을 조절하는 것만으로도 흡수 및 방출 파장을 간편하게 조정할 수 있습니다.

면내 운동량이 증가할 경우 어떤 현상이 발생하는가?

전자와 정공은 각각의 전자 서브밴드 바닥에만 국한되지 않으며, 반도체 층들에 평행하게도 이동할 수 있습니다. 이때 면내 파수벡터가 증가함에 따라 추가적인 에너지를 얻게 됩니다.

이는 그림 내 빨간색 점선 화살표로 나타나 있습니다. 직접적 광학 전이의 경우, 광자가 운반하는 운동량이 비교적 작기 때문에 평면 파수벡터는 대략 보존됩니다.

본 연구에서 사용한 포물선형 띠대역 근사 모델에 따르면, 광학적 전이에 필요한 에너지는 다음과 같이 표현됩니다:

\[ \boxed{ E_{\mathrm{photon}}(k_{\parallel}) = E_g+E_{e,n}+E_{h,m} + \frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2\mu} } \]

여기서 \(\mu\)은 전자-정공 쌍의 환산 유효질량으로, 다음과 같이 정의됩니다:

\[ \frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_e^{*}} + \frac{1}{m_h^{*}}. \]

면내 파수벡터의 값이 커질수록 전이에너지 역시 증가한다. 이는 두 전자 서브밴드 간의 광학적 전이가 단일 광자 에너지에만 국한되지 않음을 의미한다. 즉, 포물선형 띠대역 상에 존재하는 다양한 구속 상태들이 광범위한 스펙트럼의 광학적 전이에 기여할 수 있다.

포물선형 띠대역 근사의 정확도는 어느 정도인가?

저희가 개발한 모델은 의도적으로 단순화된 형태입니다. 이 모델에서는 각 전자 띠대역이 적절한 유효질량을 갖는 포물선 형태로 표현될 수 있다고 가정합니다. 이러한 가정은 전도대 최저점 근처에서 에너지와 파수벡터 간의 관계가 대략적으로 이차함수 형태를 띠기 때문에 유용한 근사법이 되기도 합니다.

하지만 실제 반도체의 띠대역 구조는 훨씬 복잡합니다. ??에서는 GaAs의 전자 띠대역 구조를 계산한 결과를 보여주고 있습니다.

감마점 근처에서는 전도대가 대략 포물선형 모양을 띠지만, 그 지점에서 멀어질수록 이러한 단순한 형태에서 벗어나게 됩니다. 정공대의 경우는 훨씬 더 복잡한 구조를 보이며, 무거운 정공띠, 가벼운 정공띠 및 분리된 정공띠들이 서로 상호작용할 수 있습니다.

또한 이 그림의 가로축은 반복 공간 내에서 L점부터 감마점을 거쳐 X점까지 이어지는 경로를 나타낸다는 점을 인지해야 합니다. 이는 반도체 소자 내부의 위치에 따른 변화를 나타낸 것이 아닙니다. 이 그래프는 허용되는 전자 에너지가 결정체의 파수벡터에 따라 어떻게 변하는지를 설명합니다.

밴드 혼합 현상, 비포물선형 특성, 응력 또는 강한 양자 구속 효과가 중요한 요소가 될 경우 단순한 유효질량 근사법만으로는 한계가 있으므로 이를 보완할 필요가 있다. 이를 위한 방법 중 하나가 다중밴드 k·p 이론이며, 이 이론을 통해 여러 전자 밴드들을 개별적으로 포물선형 띠대역으로 근사하는 대신 함께 다룰 수 있다.