8-밴드 아연석구조 k·p 모델에 대한 이해

왜 8개의 밴드가 필요한가?

저희가 작성한 포물선형 밴드 튜토리얼에서는 전도대와 정공대를 서로 독립적인 포물선 형태로 취급했습니다. 이는 유용한 출발점이 되는데, 양자우물 내에서 슈뢰딩거 방정식을 풀면 국소화된 상태들이 얻어지며 층면에 평행하게 캐리어가 이동할 경우 이러한 상태들은 전자적 서브밴드로 전환되기 때문입니다. 다만 이 모델은 각 밴드를 기술하는 데 단 하나의 유효질량만을 사용한다는 가정을 전제로 합니다.

실제 반도체의 밴드들은 서로 독립적이지 않습니다. 전자의 파벡터가 변함에 따라 서로 다른 원자 궤도에서 유래한 상태들이 상호작용하여 그 에너지와 파동함수의 형태에 변화를 일으킵니다. 이러한 효과는 특히 무거운 홀, 가벼운 홀, 스플릿-오프 밴드가 서로 가까이 위치하는 정공대에서 중요하게 작용합니다. 8-밴드 k·p 모델은 이러한 상호작용들을 하나의 유효질량에 모두 포함시키려는 시도 대신 이를 직접적으로 기술합니다.

여기서는 아연석구조를 갖는 반도체들, 즉 GaAs, InAs, InP와 같은 물질들을 다룹니다. 8-밴드 모델을 단계적으로 구축하는 것이 목표입니다. 먼저 각 상태들을 규명하고, 그 다음 이들 상태 간의 상호작용을 살펴본 뒤, 최종적으로 도출된 행렬 슈뢰딩거 방정식을 풀었을 때 양자우물에 관해 어떤 정보를 얻을 수 있는지 이해하는 것입니다.

8개의 기저 상태란 무엇인가?

브릴루앙 영역의 중심부(감마점) 근처에서는 전도대 상태를 주로 S형 대칭성을 갖는 것으로 기술하는 것이 적절합니다. 정공대 상태들은 주로 p형 대칭성을 가지며, 이들을 직교 좌표축 방향을 나타내기 위해 X, Y, Z로 명명합니다. 이들은 개별 원자 궤도가 아니라 결정 내의 상태들이지만, 이러한 궤도 명칭을 통해 서로 간의 상호작용을 이해하는 데 도움을 받을 수 있습니다.

스핀을 고려하지 않는 경우, 총 네 개의 상태가 존재한다.

\[ |S\rangle,\qquad |X\rangle,\qquad |Y\rangle,\qquad |Z\rangle. \]

각 상태는 스핀 업 또는 스핀 다운 상태로 나타날 수 있습니다. 이 직교좌표 표현에서 사용되는 실제 기저는 다음과 같습니다:

\[ \begin{gathered} |S\uparrow\rangle,\quad |S\downarrow\rangle,\\[3pt] |X\uparrow\rangle,\quad |Y\uparrow\rangle,\quad |Z\uparrow\rangle,\\[3pt] |X\downarrow\rangle,\quad |Y\downarrow\rangle,\quad |Z\downarrow\rangle. \end{gathered} \]

8-밴드 모델이라는 명칭은 4개의 궤도 함수에 2개의 스핀 성분이 결합된 데서 유래합니다. 우선은 스핀 상호작용을 무시하고 보다 단순한 4-상태 문제부터 이해해보도록 하겠습니다. 궤도 간 상호작용이 명확해진 이후에 스핀-궤도 결합에 대해 설명하겠습니다.

두 개의 밴드가 결합한다는 것은 어떤 의미인가?

감마점에서 S 상태와 X 상태의 에너지를 알고 있다고 가정해보자. 만약 이 두 상태가 서로 상호작용하지 않는다면 파벡터를 변경해도 각각의 에너지만 달라질 뿐이다. 하지만 실제 결정에서는 주기적인 포텐셜 내에서의 운동으로 인해 이들 상태가 서로 결합하게 된다. 그 결과 전자의 파동함수는 오직 한 상태에만 속하는 것이 아니라 S형 및 X형 성분이 혼합된 형태를 갖게 된다.

우리는 파동함수를 기저 상태들의 합으로 표현함으로써 이를 나타낸다. 4개의 궤도를 갖는 예시의 경우:

\[ |\Psi\rangle = c_S|S\rangle+c_X|X\rangle+c_Y|Y\rangle+c_Z|Z\rangle. \]

이 계수들은 각 기저 상태가 특정 해에 얼마나 기여하는지를 나타냅니다. 모든 오비탈에 대해 개별적으로 방정식을 풀 필요 없이, 모든 계수를 동시에 결정해주는 행렬 슈뢰딩거 방정식을 풉니다.

\[ H\,\mathbf{c}=E\,\mathbf{c},\qquad \mathbf{c}=\begin{pmatrix}c_S\\c_X\\c_Y\\c_Z\end{pmatrix}. \]

대각선상의 성분들은 각 상태의 에너지를 나타냅니다. 대각선에서 벗어난 성분들은 서로 다른 상태들 간의 상호작용을 나타냅니다. 이러한 비대각 성분들이 0인 경우 각 상태들은 서로 독립적입니다. 그러나 이 값들이 0이 아닐 경우 행렬을 풀게 되면 허용되는 에너지값과 그에 따른 파동함수의 구성도 변하게 됩니다.

케인 결합: 전도대와 정공대 간의 상호작용

k·p 이론에서 S형 전도 상태와 X, Y, Z 정공대 상태 간의 상호작용은 전자의 파벡터에 의존합니다. 이러한 상호작용은 케인 결합을 통해 기술됩니다. 예를 들어, S 상태와 X 상태는 x축 방향의 파벡터 성분에 비례하는 항에 의해 결합되며, S에서 Y 및 Z 상태로의 결합 역시 각각 y축 및 z축 방향의 파벡터 성분에 의존합니다.

케인 매개변수 P에 대해 에너지-길이 규약을 적용하면, 상기 결합들을 다음과 같이 개략적으로 표현할 수 있습니다:

\[ H_{SX}\propto iPk_x,\qquad H_{SY}\propto iPk_y,\qquad H_{SZ}\propto iPk_z. \]

여기서 P는 상호작용의 세기를 제어합니다. 그 크기는 일반적으로 케인 에너지를 통해 표현되며 \(E_p\) 참조:

\[ P=\sqrt{A_0E_p},\qquad A_0=\frac{\hbar^2}{2m_0}, \]

여기서 \(m_0\)은 자유전자 질량입니다. 케인 파라미터의 값이 클수록 파벡터가 감마점에서 멀어질 때 전도대와 정공대 상태 간의 혼합 현상이 더욱 강해집니다. 전체 행렬 슈뢰딩거 방정식 내의 허수 인자와 부호는 선택된 기저 규약에 따라 달라지지만, 물리적으로 중요한 점은 비대각 성분들이 각 밴드들을 서로 연결한다는 사실입니다.

두 상태 모델 예시

여덟 개의 상태를 모두 고려하기에 앞서 가장 단순한 예시를 살펴보는 것이 유용하다. 전도대 상태 하나와 정공대 상태 하나만을 유지한다고 가정해보자. 이들 상태의 결합되지 않은 에너지값이 각각 \(E_c\) 및 \(E_v\)일 때, 편리한 헤르미트 모델은 다음과 같다:

\[ H=\begin{pmatrix} E_c & Pk\\ Pk & E_v \end{pmatrix}. \]

이 예시적인 2상태 모델에서는 결합항이 실수가 되도록 기저함수들의 위상을 설정하였습니다. 행렬을 풀면 두 개의 에너지값이 도출됩니다.

\[ E_{\pm}(k)=\frac{E_c+E_v}{2} \pm\sqrt{\left(\frac{E_c-E_v}{2}\right)^2+P^2k^2}. \]

파벡터가 0일 때는 결합 효과가 사라져 원래의 밴드 가장자리가 그대로 나타난다. 파벡터가 0이 아닐 경우에는 위쪽 및 아래쪽 해가 서로 멀어지게 된다. 이러한 분리 정도는 결합 강도 P에 의해 결정되며, 이에 대응하는 파동함수 역시 두 개의 원래 기저 상태가 혼합된 형태가 된다. 이 간단한 예시는 전체 8-밴드 계산에서 핵심이 되는 원리를 잘 보여준다. 즉, 결합 현상은 기존의 포물선형 밴드 분산을 단순히 이동시키는 것이 아니라 그 분산 자체를 변화시키는 것이다.

왜 결합 현상이 유효질량에 영향을 미치는가?

이전 튜토리얼에서 다룬 포물선형 밴드 방정식을 상기해보자. 전도대 최저점 근처에서는 에너지가 파벡터의 제곱에 대략적으로 비례하며, 유효질량은 이 곡률을 결정한다. 앞서 설명한 2상태 모델은 다른 밴드들이 어떻게 유효질량에 영향을 미칠 수 있는지를 설명한다.

만약 결합 \(Pk\)이 밴드 갭 \(E_g=E_c-E_v\)에 비해 작다면, 위쪽 해는 \(k=0\) 근처에서 전개될 수 있다.

\[ E_+(k)\simeq E_c+\frac{P^2}{E_g}k^2. \]

추가된 항이 \(k^2\)에 비례한다는 점에 유의하시기 바랍니다. k에 대해 선형적인 형태의 결합을 도입했음에도 불구하고, 밴드 가장자리 근처에서 에너지에 미치는 영향은 이차함수 형태로 나타납니다. 이로 인해 전도대의 곡률이 변화하며, 결과적으로 전자의 유효질량도 변하게 됩니다.

실제 모델에서는 운동에너지에 대한 직접적인 기여항과 스핀-궤도 결합에 의한 분리된 정공대 상태들을 포함한 여러 정공 상태들과의 결합도 존재합니다. 이러한 기여항들을 종합해야만 실제로 관측되는 밴드 가장자리에서의 유효질량을 재현할 수 있습니다. 바로 이런 이유로 유효질량은 자유전자의 질량을 임의로 대체하는 값이 아닙니다. 유효질량은 특정 밴드 가장자리 근처에서 전자의 운동에 미치는 주변 결정체 밴드들의 영향을 종합적으로 나타내는 지표입니다.

왜 세 개의 정공대 오비탈이 존재하는가?

전도대 상태 자체는 비교적 단순합니다. 반면 정공대의 경우는 보다 세심한 고려가 필요한데, 이는 X형, Y형, Z형과 같은 상태들이 서로 상호작용할 수 있기 때문입니다. 이러한 상태들의 거동은 파벡터의 크기뿐만 아니라 방향에도 의존합니다. 따라서 아래로 볼록한 형태의 단일 포물선 모델로는 정공대 구조의 중요한 특성들을 온전히 설명할 수 없습니다.

직교좌표계 표현법에 따라 각 궤도에 대응하는 대각 성분과 이들 간의 결합을 기술하는 비대각 성분들을 포함하여 정공대 블록을 구성합니다. 계수 L, M, N을 활용하면 일반적인 궤도 블록은 다음과 같은 형태를 갖게 됩니다:

\[ H_{vv}^{\mathrm{orb}}= \begin{pmatrix} D_X & Nk_xk_y & Nk_xk_z\\ Nk_xk_y & D_Y & Nk_yk_z\\ Nk_xk_z & Nk_yk_z & D_Z \end{pmatrix}, \]

여기서 대각 성분들은 다음과 같은 형태를 갖는다:

\[ \begin{aligned} D_X&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+Lk_x^2+M(k_y^2+k_z^2),\\[3pt] D_Y&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+Lk_y^2+M(k_x^2+k_z^2),\\[3pt] D_Z&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+Lk_z^2+M(k_x^2+k_y^2). \end{aligned} \]

이 행렬을 외울 필요는 없으며 그 목적만 이해하면 충분합니다. L과 M은 각 궤도 성분들의 에너지가 방향에 따라 어떻게 변화하는지를 결정하며, N은 서로 다른 궤도 성분들 간의 결합 정도를 조절합니다. 전체 8-밴드 계산 과정에서는 두 스핀 성분에 대해 이 정공대 블록이 포함되며 전도대 상태들과도 결합하게 됩니다.

무거운 홀과 가벼운 홀, 그리고 스플릿-오프 밴드는 어디서 생겨나는가?

지금까지 우리는 S, X, Y, Z를 각각 궤도 상태로 설명해왔습니다. 전자는 스핀도 가지고 있어서 각 궤도마다 업스핀 및 다운스핀 성분이 존재합니다. 만약 스핀이 궤도 운동과 상호작용하지 않는다면 기저를 단순히 두 배로 늘리는 것만으로도 충분할 것입니다. 하지만 반도체에서는 스핀-궤도 결합이라는 추가적인 상호작용이 존재합니다.

정공대에서는 스핀-궤도 결합이 궤도 성분과 스핀 성분을 서로 혼합시킵니다. 변형이 없는 아연석구조 결정의 감마점에서는 6개의 p형 스핀-궤도 상태가 무거운 홀 및 가벼운 홀 상태를 포함하는 4중 그룹과 ‘스플릿-오프 밴드’라 불리는 2중 그룹으로 나뉘게 됩니다. 이들 그룹 간의 에너지 차이는 \(\Delta_{\mathrm{so}}\)으로 표시됩니다.

‘무거운 홀’과 ‘가벼운 홀’이라는 명칭은 감마점 근처에서 각각의 밴드가 지니는 곡률 차이, 즉 서로 다른 유효질량을 나타냅니다. 파벡터가 변하게 되면 이러한 밴드들이 반드시 독립적으로 유지되는 것은 아닙니다. 양자우물 내에서는 공간적 구속 효과와 변형력이 이들 밴드를 더욱 혼합시키는데, 이것이 바로 전체 다중밴드 모델을 사용해야 하는 주된 이유 중 하나입니다.

정공대 최대값을 기준 에너지로 설정할 경우, 직교좌표계에서의 평균적인 비교란 정공 에너지는 다음과 같이 표현됩니다:

\[ E_{v,\mathrm{av}}=E_v-\frac{\Delta_{\mathrm{so}}}{3}. \]

스핀-궤도 결합 행렬은 감마점에서 상위 정공 상태들과 스플릿-오프 상태들을 분리하여 각각의 에너지값을 정확히 산출합니다. OghmaNano는 모든 정공대를 단일한 유효질량으로 모델링하려는 시도 대신 이러한 결합을 명시적으로 유지합니다.

8-밴드 해밀토니안의 구성 방법

이제 각 구성 요소들이 어떻게 결합하는지 살펴볼 수 있습니다. S형 전도대 상태는 두 개가 존재하며(각각 스핀에 대응함), p형 정공대 상태는 여섯 개가 있습니다. 해밀토니안은 네 개의 블록으로 나뉩니다:

\[ \boxed{ H=\begin{pmatrix} H_{cc} & H_{cv}\\[3pt] H_{cv}^{\dagger} & H_{vv} \end{pmatrix} } \]

전도대 블록 \(H_{cc}\)에는 전도대 가장자리 에너지와 그에 따른 운동 에너지가 포함됩니다. 정공대 블록 \(H_{vv}\)에는 X/Y/Z 궤도 항들과 스핀-궤도 결합이 포함됩니다. 결합 블록 \(H_{cv}\)에는 전도대와 정공대 상태들을 연결하는 케인 상호작용이 포함됩니다. 기호 \(\dagger\)는 해밀토니안이 필요한 헤르미트 구조를 갖도록 보장하는 헤르미트 켤레를 나타냅니다.

균일한 벌크 물질에서 특정 파벡터에 대해 전체 행렬은 8개의 행과 8개의 열을 갖지만, 각 행렬 성분의 의미는 이제 명확해졌습니다. 각 성분은 기저 상태에 에너지를 할당하거나 두 상태 간의 상호작용을 기술합니다. 우리는 행렬 고유값 문제를 해결함으로써 허용되는 밴드 에너지와 그에 대응하는 파동함수의 구성 요소를 구하게 됩니다.

모델 매개변수는 어디서 얻어지는가?

실험적 및 이론적 반도체 데이터는 일반적으로 밴드 갭\(E_g\), 전도대의 유효질량, 케인 에너지\(E_p\), 스핀-궤도 분열\(\Delta_{\mathrm{so}}\), 그리고 루팅거 파라미터\(\gamma_1\)\(\gamma_2\)\(\gamma_3\)를 기준으로 표현됩니다. 이러한 값들은 모델의 대각 밴드 분산 및 상태 간 상호작용의 강도를 결정합니다.

중요한 계산상의 문제가 존재합니다. 포물선 모델에서는 측정된 유효질량에 이미 인접한 밴드들의 영향이 포함되어 있습니다. 그러나 8-밴드 모델에서는 그러한 인접 밴드들 중 일부가 케인 결합을 통해 명시적으로 포함되게 됩니다. 따라서 동일한 물리적 상호작용이 중복해서 계산되지 않도록 남아있는 운동에너지 계수들을 조정해주어야 합니다.

OghmaNano의 파라미터화 체계에서 전도대 원격대 계수는 \(A_c\)로 표기되며, 정공대 궤도 계수들은 L, M, N로 표기됩니다. 측정된 물질 파라미터로부터의 변환 과정은 모델 정의의 일부이며, 산출된 계수들은 서로 독립적인 포물선형 대역들의 유효질량과 혼동되어서는 안 됩니다.

전도대 보정

전도대에 대한 원격밴드 기여도를 계산하는 데 사용되는 식은 다음과 같습니다:

\[ A_c=A_0\left( \frac{m_0}{m_e^{*}} -\frac{2E_p}{3E_g} -\frac{E_p}{3(E_g+\Delta_{\mathrm{so}})} \right), \]

\(A_0=\hbar^2/(2m_0)\)을 이용하여 계산한다. 첫 번째 항은 측정된 밴드 가장자리의 곡률을 설정하며, \(E_p\)가 포함된 두 항은 이제 명시적으로 결합된 정공대 상태들에 의해 발생하는 곡률 성분을 제거한다. 여기서 \(m_e^{*}\)는 SI 단위계를 따르는 질량값이다. 만약 재료 데이터베이스에 상대적 질량값인 \(m_e^{*}/m_0\)가 저장되어 있다면 그 역수가 대신 사용된다.

루팅거 파라미터를 통해 L, M, N에도 유사한 보정값이 적용됩니다. 사용된 기저와 해밀토니안에 맞게 파라미터 규칙을 일관되게 유지해야 합니다. 서로 다른 규칙에서 도출된 혼합 계수들은 행렬 차원이 올바르게 설정되어 있더라도 부정확한 밴드 곡률 결과를 초래할 수 있습니다.

양자우물 내에서 이 모델을 적용할 경우 어떤 변화가 발생하는가?

지금까지 설명한 내용은 특정 3차원 결정 파벡터를 갖는 반도체에 관한 것이었습니다. 양자우물의 경우에도 역시 층면에 수직인 방향으로는 \(z\)을 선택하고 층면에 평행한 방향으로는 \(x\)와 \(y\)를 선택합니다. 전하 캐리어들은 층면을 따라 자유롭게 이동할 수 있으므로 \(k_x\)와 \(k_y\)는 평면상의 일반적인 파벡터 성분으로 간주됩니다.

그러나 층들 사이에서는 국한된 파동함수들을 구해야만 한다. 따라서 z 성분은 미분 연산자로 표현된다.

\[ \boxed{k_z\longrightarrow -i\frac{d}{dz}} \]

이는 이전 페이지들에서 소개된 슈뢰딩거 방정식 기반 접근법의 다중밴드 확장판입니다. 단일 스칼라 형태의 포락함수만을 구하는 대신, 우리는 서로 결합된 8개의 포락함수 성분들을 계산하게 됩니다.

\[ \boldsymbol{\Psi}(z)= \begin{pmatrix} \psi_{S\uparrow}(z)\\ \psi_{S\downarrow}(z)\\ \psi_{X\uparrow}(z)\\ \psi_{Y\uparrow}(z)\\ \psi_{Z\uparrow}(z)\\ \psi_{X\downarrow}(z)\\ \psi_{Y\downarrow}(z)\\ \psi_{Z\downarrow}(z) \end{pmatrix}. \]

양자우물 내 각 수치 격자점에는 8개의 연계된 값이 존재합니다. 공간상의 격자점의 개수가 N일 경우, 이산화된 해밀토니안의 차원은 \(8N\)이 됩니다. 이 방정식을 풀면 각 하위 밴드에 대한 에너지 값과 더불어 파동함수의 궤도 및 스핀 구성도 산출됩니다. 이러한 계산 과정의 전체 예시는 GaAs/AlGaAs 아연석구조 8-밴드 k·p 양자우물 튜토리얼에서 확인할 수 있습니다.

물질의 물성값은 인터페이스를 따라서도 변화할 수 있다. 미분 연산자에 곱해지는 계수들의 배열 순서는 헤르미트성을 유지하고 인터페이스에서의 물리적 거동이 올바르게 나타나도록 신중히 결정되어야 한다. 예를 들어, 공간적으로 변화하는 케인 계수의 경우 일반적으로 미분 연산 외부에서 상수로 취급하는 대신 대칭화된 연산자를 통해 도입된다.

응력은 어디에서 작용하는가?

서로 다른 격자 상수를 갖는 반도체 층들 위에 새로운 층을 성장시키면 해당 층은 압축되거나 인장될 수 있다. 이로 인해 발생하는 응력은 전도대와 정공대의 상대적 에너지 준위를 변화시킨다.

전도대는 등방성 에너지 변화를 겪는 반면, 정공대들은 서로에 대해 이동하면서 서로 섞이게 됩니다. 아연석구조 반도체 모델에서는 이러한 효과들이 일반적으로 Bir–Pikus 변형 해밀토니안을 통해 표현됩니다. 이 항을 8-밴드 해밀토니안에 추가함으로써 양자우물 내에서의 전하 캐리어 제한 효과와 변형 효과가 어떻게 상호작용하는지 계산할 수 있으며, 이는 양자우물 해석 이후에 각각의 밴드 효과를 개별적으로 보정하는 방식보다 더 효율적입니다.

왜 이 내용이 광학 계산에 중요한가?

광학적 전이 튜토리얼에서는 전자 및 정공의 서브밴드들이 가능한 광자 에너지를 어떻게 결정하는지 설명하였다. 포물선 근사법을 적용할 경우, 두 스칼라 형태의 엔벨로프 함수와 벌크 광학 행렬 요소 간의 중첩을 통해 전이 강도를 추정할 수 있다.

8-밴드 모델에서는 각 상태가 S, X, Y, Z 성분들의 혼합체로 나타납니다. 해당 상태의 광학적 반응은 이러한 성분들과 빛의 편광 방향에 의해 결정됩니다. 바로 이러한 이유로 다중밴드 계산을 통해 단일 유효질량 모델에서는 설명되지 않는 전이 강도의 변화 및 TE/TM 반응의 변화를 예측할 수 있는 것입니다.

가장 중요한 개선점은 단순히 더 많은 곡선을 계산하는 데 그치지 않습니다. 우리는 각 상태가 어떤 구성요소로 이루어져 있는지, 특히 파벡터, 구속 조건 및 변형에 따라 궤도적 특성이 어떻게 변화하는지를 계산합니다.