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OghmaNano에는 2차원 양자 우물 및 벌크 반도체 내 전자 상태를 계산하기 위한 여러 반도체 밴드 구조 및 양자 우물, k·p 해석기들이 포함되어 있습니다. 이 모델들은 국소화된 전자 및 정공 상태, 전자 밴드 분산, 파동함수, 밴드 혼합 및 광학적 행렬 요소를 산출할 수 있으며 광학적 흡수, 자발적 방사, 유도 방사, 광학적 이득, 전하 캐리어 산란 및 이동도 계산과도 연동될 수 있습니다.
다양한 반도체 재료 및 결정 구조에 적용 가능한 여러 밴드 구조 모델들이 제공됩니다:
이러한 모델들을 종합적으로 활용함으로써 OghmaNano는 2차원 양자 우물의 서브밴드와 3차원 반도체의 밴드 구조를 모두 계산할 수 있다. 양자 우물 내에서는 전하 캐리어들이 성장 방향으로는 구속되나 층면에 평행한 방향으로는 자유롭게 이동한다. 다중밴드 k·p 계산 시에는 성장 방향의 파동벡터가 엔벨로프 함수 연산자로 대체된다.
\[ k_z \longrightarrow -i\frac{d}{dz}, \]
그 결과로 도출된 연립방정식들은 반도체 이종접합 구조 전반에 걸쳐 해석된다. 평면 내 파동벡터에 따라 계산을 반복하면 2차원 서브밴드 분산 관계가 얻어진다. 한편 페로브스카이트 솔버와 같은 벌크 모델의 경우에는 3차원 파동벡터에 따라 해밀토니안을 직접 해석하게 된다 \(\mathbf{k}=(k_x,k_y,k_z)\).
계산된 고유값과 고유벡터들은 단순한 밴드 구조도 이상의 정보를 제공한다. 이들은 광학적 전이 현상, 흡수 현상, 자발적 방사, 유도 방사 및 광학적 이득을 비롯해 전하 캐리어의 산란 현상, 완화 시간 및 전하 캐리어 이동도에 대한 시뮬레이션의 출발점이 된다. 이러한 기능들 덕분에 해당 밴드 구조 해석기들은 반도체 레이저, LED, 광검출기, 양자 우물 이종접합 구조, 고이동도 반도체 채널, 실리콘/SiGe 소자 및 금속-할라이드 페로브스카이트 기반 태양전지와 발광 소재의 모델링에 활용될 수 있다.
기본적인 물리학적 개념에 대한 소개를 원하신다면 양자 우물 및 전하 캐리어의 구속과 k·p 이론 입문을 참조하시기 바랍니다.
전자 밴드 구조 계산은 시뮬레이션의 첫 단계에 불과합니다. 전자 상태의 에너지와 파동함수가 확정되면 OghmaNano는 이를 활용하여 다양한 광학적 특성 및 전하 수송 특성을 계산할 수 있습니다. 여기에는 광흡수, 자발적 및 유도 방출, 광학적 이득, 포논 산란률, 전하 캐리어 완화 시간 및 전하 캐리어 이동도 등이 포함됩니다.
많은 계산 과정들도 기본적으로 동일한 원리에 기반한다. 즉 전하 캐리어가 초기 전자 상태에서 최종 상태로 전이하는데, 이 전이 확률은 두 상태 간의 결합 정도에 의해 결정된다. 상호작용이 약한 경우 이 현상은 페르미의 황금률에 의해 설명된다.
\[ W_{i\rightarrow f} = \frac{2\pi}{\hbar} \left|\langle f|\hat H_{\mathrm{int}}|i\rangle\right|^2 \delta(E_f-E_i). \]
상호작용 해밀토니안\(\hat H_{\mathrm{int}}\)은 고려되는 물리적 과정에 따라 달라진다. 광학적 전이의 경우 이는 전자 상태와 전자기장 간의 상호작용을 기술하며, 전하 캐리어 산란의 경우에는 음향 포논이나 장파수 광음향자와 같은 격자 진동과의 상호작용을 기술할 수 있다. 따라서 계산된 밴드 구조는 광학적 특성과 전하 수송 특성 모두를 도출하는 데 사용될 수 있는 공통적인 전자적 기반이 된다.
광학 계산을 위해 OghmaNano는 계산된 전도대 및 가전대 상태들과 이에 대응하는 광학적 행렬 요소 및 전하 캐리어 분포 정보를 결합합니다. 이후 계산된 밴드 구조 전반에 걸쳐 점유 상태와 비점유 상태 간의 전이 현상을 합산함으로써 흡수 현상, 자극 방출 현상, 순 광학적 이득 및 자발 방출 현상을 산출할 수 있습니다.
다중밴드 k·p 방법에서 얻어진 고유벡터들은 각 상태의 궤도적 및 스핀적 특성에 관한 정보를 보존하므로 광학적 계산 시 단순히 에너지 준위만을 일치시키는 수준을 넘어서도 가능하다. 밴드 혼합 현상은 전이 행렬 요소의 값을 변화시키며 이에 따라 광학적 반응의 강도도 달라진다. 육방정계 구조를 갖는 반도체와 같은 이방성 시스템에서는 이러한 현상을 통해 TE 및 TM 편광 방향에 따른 광학적 전이 현상들을 개별적으로 다룰 수 있다.
전하 캐리어의 상태 정보를 활용하여 밴드 구조 내에서 캐리어가 한 상태에서 다른 상태로 산란될 확률을 계산할 수 있다. 재료 및 모델에 따라 OghmaNano는 다음과 같은 산란 메커니즘들을 고려할 수 있다. 음향광음향자 산란 그리고 프뢰블리히 극성 광음향자 산란 이러한 과정들은 전하 캐리어의 수명, 운동량 감쇠 현상 및 궁극적으로 전하 캐리어 이동도를 결정한다.
프뢰블리히 산란은 GaAs, InP, GaN 및 금속-할라이드 페로브스카이트와 같은 극성 반도체에서 특히 중요하다. 장파수 광음향자가 진동하면서 발생하는 편광장이 전자 또는 정공과 상호작용하게 되는데, 이러한 상호작용의 강도는 프뢰블리히 행렬 요소에 의해 기술된다.
\[ M(q) = -\frac{i}{q} \left[ \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \right]^{1/2}. \]
여기서 \(q\)은 광음향자의 파동벡터이며 \(\omega_{LO}\)는 장파수 광음향자의 각주파수입니다. \(\varepsilon_\infty\)과 \(\varepsilon_s\)는 각각 물질의 전자적 유전율 및 정적 유전율에 해당합니다. \(1/q\)에 대한 의존성은 극성 상호작용의 장거리 특성을 나타냅니다.
페르미의 황금법칙을 적용하고 가능한 최종 상태들에 대해 적분하면 전하 캐리어의 산란률을 구할 수 있다. 예를 들어 장파수 광음향자 흡수의 경우
\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_{\mathrm{abs}}(\mathbf{k})} ={}& \frac{2\pi}{\hbar} \frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3q\; \frac{e^2\hbar\omega_{LO}}{2V\varepsilon_0} \left( \frac{1}{\varepsilon_\infty} - \frac{1}{\varepsilon_s} \right) \frac{N_{LO}}{q^2} \\[4pt] &\times \delta\left( E(\mathbf{k}+\mathbf{q})- E(\mathbf{k})- \hbar\omega_{LO} \right). \end{aligned} \]
디랙 델타 함수는 에너지 보존 법칙을 만족시키며, \(\mathbf{q}\)에 대한 적분은 초기 및 최종 전자 상태를 연결할 수 있는 포논의 파벡터들을 모두 합산한다. 장파수 광음향자 방출 과정도 동일한 방식으로 계산되나, 이 경우 전하 캐리어가 \(\hbar\omega_{LO}\)만큼의 에너지를 잃게 된다. 반면 음향 포논 산란은 결정체의 탄성 변형에 기인한 저에너지 격자 진동과의 상호작용을 기술한다.
산란 사건이 반드시 전하 캐리어의 방향성 운동량을 모두 소멸시키는 것은 아니다. 예를 들어 전방 산란의 경우 캐리어의 방향이 미미하게만 변하지만 후방 산란은 전기적 전류의 흐름에 크게 반대되는 효과를 낳는다. 따라서 OghmaNano에서는 전하 수송 계산 시 전체 산란률의 역수를 사용하는 대신 운동량 감쇠율을 활용할 수 있다.
전자 밴드 구조 전반에 걸쳐 운송 완화 시간이 계산된 이후에는, 운송에 관여하는 전자 상태들의 속도 및 산란 특성을 평균함으로써 전하 캐리어 이동도를 산출할 수 있다. 완화시간 근사법에 따르면
\[ \mu_{ij} = \frac{e}{n} \sum_b \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} v_{b,i}(\mathbf{k}) v_{b,j}(\mathbf{k}) \tau_{\mathrm{tr},b}(\mathbf{k}) \left( -\frac{\partial f}{\partial E} \right)_{E_b(\mathbf{k})}. \]
전하 캐리어의 속도는 계산된 전자 밴드 분산으로부터 직접 구해진다.
\[ \mathbf{v}_b(\mathbf{k}) = \frac{1}{\hbar} \nabla_{\mathbf{k}}E_b(\mathbf{k}). \]
이를 통해 계산된 밴드 구조가 실험적으로 측정 가능한 전하 캐리어 이동도와 직접적으로 연관된다. 단일한 상수 값의 유효 질량 및 산란 시간을 가정하는 대신, 본 계산법은 전자 밴드 전반에 걸쳐 전하 캐리어의 속도와 산란 현상이 어떻게 변화하는지를 반영할 수 있다.
Si/SiGe 양자 우물의 경우 OghmaNano는 실리콘 Δ-밸리 모델 및 Luttinger–Kohn 모델을 활용하여 음향포논 산란 현상과 2차원 전자 또는 정공의 이동도를 계산할 수 있다. 금속할라이드 페로브스카이트 벌크 물질에서는 계산된 8-밴드 밴드 구조를 프뢰블리히 전자-포논 산란 모델과 결합함으로써 전하 캐리어의 완화 시간 및 포논에 의해 제한되는 이동도를 산출할 수 있다.
예제 설명은 Si/SiGe 전자 이동도 튜토리얼, Si/SiGe 정공 이동도 튜토리얼, 그리고 페로브스카이트 밴드 구조 및 이동도 튜토리얼에서 확인할 수 있습니다.
OghmaNano에 포함된 예제들은 각 밴드 구조 모델을 활용하기 위한 기초 자료로 제공됩니다. 양자 우물의 광학적 특성 계산을 위해서는 GaAs/AlGaAs 8-밴드 k·p 튜토리얼에서 전자 서브밴드, 흡수 현상, 자극 방출, 광학적 이득 및 자발 방출 현상의 계산 방법을 확인할 수 있습니다.
벌크 구조 계산을 위해 페로브스카이트 밴드 구조 및 이동도 튜토리얼에서는 CsPbX3 및 MAPbX3 물질의 전자 밴드 구조를 계산하는 방법과 그 결과로 얻어진 상태들을 활용하여 프뢰블리히 산란 및 전하 캐리어 이동도를 산출하는 절차를 설명합니다.
추가적인 이론적 배경은 k·p 이론 가이드, 광학적 전이 이론 및 프뢰블리히 산란 이론에서 확인할 수 있습니다.
양자 구속 현상에 대한 기초 지식을 얻으려면 양자 우물 및 전하 캐리어 구속 관련 자료부터 살펴보시기 바랍니다. 포물선형 밴드 튜토리얼에서는 가장 단순한 형태의 양자 우물 모델을 소개하며, k·p 이론 안내서에서는 여러 전자 밴드들이 어떻게 다중밴드 해밀토니안 내에서 상호작용하는지 설명합니다.
실제 적용을 위한 시작점으로 GaAs/AlGaAs 8-밴드 k·p 튜토리얼 또는 벌크 페로브스카이트 밴드 구조 및 전하 캐리어 이동도 튜토리얼을 활용해 보시기 바랍니다.
양자 및 밴드 구조 모델링 도구들을 살펴보십시오.
먼저 양자 우물 개론을 살펴보거나, k·p 이론 안내서를 읽어보시고, 또는 GaAs/AlGaAs 포물선형 양자 우물 튜토리얼을 실행해 보시기 바랍니다.