양자 우물에서의 광학적 전이: 이득 현상 및 자발적 방사

전자 상태에서 빛으로

Confined electron and hole wavefunctions in a quantum well, their parabolic subbands, and vertical optical transitions at zero and finite in-plane wavevector. — 양자우물 내 서브밴드들 간의 광학적 전이 현상. 왼쪽 도표들은 우물 내에서 슈뢰딩거 방정식을 풀어 얻은 전자 및 정공의 국소화된 상태들을 나타낸다. 오른쪽 도표들은 이에 대응하는 평면 내 서브밴드 구조를 보여준다. 빨간색 화살표들은 가장 낮은 에너지 준위에 위치한 전자 및 정공 서브밴드들 간의 전이 경로를 표시하며, 여기에는 평면 내 파동벡터가 0이 아닌 경우의 전이도 포함된다.

이전 튜토리얼에서는 포물선형 양자우물 밴드에 대해 설명하면서 슈뢰딩거 방정식을 풀어 얻은 국소화된 해들을 살펴보았으며, 반도체 층에 평행한 운동을 고려할 때 각 해가 어떻게 전자 서브밴드로 변환되는지를 보여주었습니다. 또한 전자 상태와 정공 상태를 연결하는 데 필요한 광자 에너지도 계산하였습니다.

가능한 광학적 전이가 무엇인지 아는 것은 시작에 불과합니다. 양자 우물에서 흡수되거나 방출되는 빛의 양을 계산하려면 각 전이가 얼마나 일어날 가능성이 있는지와 그에 참여할 수 있는 전자와 정공의 수가 얼마인지도 알아야 합니다. 바로 이 지점에서 페르미의 황금법칙과 광학적 행렬 요소가 계산에 활용됩니다.

우리는 계산 과정을 단계별로 수행할 것입니다. 먼저 단일 광학적 전이를 고려한 뒤 그 전이 확률을 계산하고, 모든 전자 및 정공 서브밴드에 대해 합산한 다음 로렌츠 함수를 도입하여 매끄러운 광학 스펙트럼을 얻게 됩니다.

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반도체와 빛의 세 가지 상호작용 방식

전도대 상태에 있는 전자와 원자가대에 빈 상태가 있다고 가정해보자. 이때 서로 밀접하게 관련된 세 가지 광학적 과정이 존재한다.

흡수: 입사하는 광자는 점유된 원자가대 상태에 있던 전자를 비어있는 전도대 상태로 여기시켜 추가적인 광자를 생성한다.
유도방출: 입사하는 광자가 전도대에 있는 전자를 자극하여 빈 정공 상태를 채우게 함으로써 추가적인 광자가 생성된다.
자발적 방출: 입사 광자가 존재하지 않더라도 전자가 정공과 재결합하면서 광자를 방출하는 현상입니다.

세 가지 과정 모두 초기 및 최종 전자 상태 간의 에너지 차이와 빛이 해당 상태들을 얼마나 강하게 결합시키는지에 의존합니다. 이들 과정의 핵심적인 차이점은 각 상태의 전하 캐리어 점유 상태와, 광자가 이미 존재해야 하는지 여부입니다.

단일 전자-정공 전이부터 시작합니다.

전자 서브밴드 \(n\)와 정공 서브밴드 \(m\)를 선택해 보겠습니다. 단순한 포물선형 양자 우물의 경우, 동일한 평면 내 파수 벡터를 갖는 상태들 간의 전이에서 발생하는 에너지 차이는 다음과 같습니다.

\[ E_{nm}(k_{\parallel})= E_g+\varepsilon_{e,n}+\varepsilon_{h,m} +\frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2\mu}, \]

여기서 \(E_g\)은 양자우물 물질의 밴드 갭이며, \(\varepsilon_{e,n}\)와 \(\varepsilon_{h,m}\)는 각각 전자 및 정공의 구속 에너지입니다. 또한 \(\mu\)는 면내에서의 환산 유효 질량입니다.

\[ \frac{1}{\mu}=\frac{1}{m_e^{*}}+\frac{1}{m_h^{*}}. \]

직접적 광학적 전이의 경우, 광자는 상대적으로 적은 운동량만을 지니므로 결정 내 평면 방향의 파동벡터는 대략 보존된다. 따라서 전자와 정공은 ??에 나타난 두 서브밴드 곡선 사이에서 수직적인 전이에 기여하게 된다.

광자 에너지가 상태들 간의 에너지 차이와 일치할 경우, 광학적 전이가 에너지적으로 가능해진다.

\[ \hbar\omega=E_{nm}(k_{\parallel}). \]

하지만 에너지가 일치한다고 해서 그 전이가 얼마나 자주 일어나는지는 알 수 없습니다. 이를 알아내기 위해서는 전자와 전자기장 간의 상호작용을 계산해야 합니다.

페르미의 황금륙: 광학적 전이가 일어날 가능성은 얼마나 될까?

페르미의 황금률은 비교적 약한 상호작용이 초기 양자 상태 \(i\)와 최종 상태 \(f\)를 연결할 때 이들 상태 간의 전이율을 산출해준다.

\[ \boxed{ W_{i\rightarrow f}= \frac{2\pi}{\hbar} \left|\langle f|\hat H_{\mathrm{int}}|i\rangle\right|^2 \delta(E_f-E_i) } \]

이 방정식에는 특히 중요한 두 가지 요소가 포함되어 있습니다:

쌍극자 행렬 요소\(\langle f|\hat H_{\mathrm{int}}|i\rangle\)는 광장에 의해 초기 상태와 최종 상태가 얼마나 강하게 결합되는지를 나타냅니다. 이 행렬 요소의 크기를 제곱하면 광학적 전이 확률을 결정하는 인자가 됩니다.
디랙 델타 함수\(\delta(E_f-E_i)\)는 에너지 보존을 강제합니다. 초기 상태와 최종 상태에 광자가 포함되는 경우, 해당 광자의 에너지는 \(E_i\) 및 \(E_f\)에 반영됩니다.

두 가지 조건이 충족되어야 한다고 생각하면 이해하기 쉽습니다. 즉, 전이가 일어나려면 적절한 에너지가 필요하며, 광장이 두 전자 상태를 결합시킬 수 있어야 합니다. 전자의 경우 서브밴드 간 에너지 차이에 의해 결정되며, 후자는 행렬 요소에 의해 결정됩니다.

광학적 전이 행렬 요소란 무엇인가?

빛이 전자와 상호작용할 때 그 전기장은 양자 상태들 간의 전이를 유도할 수 있다. 일반적인 설명에 따르면 이러한 상호작용은 전자의 운동량 연산자와 광장의 편광 벡터 간의 내적에 비례한다. 이에 상응하는 운동량 행렬 요소는 다음과 같은 형태를 갖는다.

\[ p_{nm}= \langle\Psi_{c,n}|\,\mathbf e\!\cdot\!\hat{\mathbf p}\,|\Psi_{v,m}\rangle, \]

여기서 \(\mathbf e\)은 광장의 편광 상태를 나타내며, \(\Psi_{c,n}\)와 \(\Psi_{v,m}\)는 각각 전도대 및 가전대에 속하는 전하 캐리어 상태를 의미합니다. 행렬 요소의 크기가 클수록 광장이 해당 상태들 간의 결합을 강하게 유도하는 반면, 값이 0일 경우 해당 광학적 전이는 사용 중인 모델 내에서 금지된 것으로 간주됩니다.

단순한 포물선형 밴드 근사법을 사용할 경우, 급격하게 변하는 원자 단위의 블로흐 함수들을 상대적으로 완만하게 변하는 양자우물의 엔벨로프 파동함수들과 분리할 수 있습니다. 이때 광학적 결합에는 두 가지 요인이 관여하게 됩니다.

\[ \boxed{ |p_{nm}|^2\simeq |\mathbf e\!\cdot\!\mathbf p_{cv}|^2 \left|\int \psi_{e,n}^{*}(z)\psi_{h,m}(z)\,dz\right|^2 } \]

첫 번째 인수인 \(\mathbf p_{cv}\)은 기저에 위치한 반도체 밴드들 간의 광학적 결합을 나타냅니다. 두 번째 인수는 엔벨로프 중첩으로서, 양자 우물 내에서 전자와 정공의 파동함수들이 얼마나 잘 겹치는지를 보여줍니다.

예를 들어, 양자 우물 내 동일한 영역에 위치한 두 상태는 상당히 큰 중첩을 보일 수 있다. 그러나 전기장에 의해 전자가 한쪽 경계면으로, 정공이 반대쪽 경계면으로 끌려가게 되면 이러한 중첩은 현저히 감소하게 된다. 중요한 점은 여기서 중요한 물리량이 각 상태의 파동함수 자체의 중첩이 아니라 이들의 적분값이라는 점이다. 단순히 확률밀도 분포의 중첩만으로는 부족하며, 파동함수의 부호와 위상에 따라 서로 상쇄되는 효과가 발생할 수 있기 때문이다.

이 내용은 빛의 편광이 중요한 이유를 설명하기도 합니다. 예를 들어 TE 편광 및 TM 편광의 빛은 운동량 행렬 요소의 서로 다른 성분들을 탐지하게 되며, 밴드 혼합 및 편광 선택 규칙이 중요한 경우에는 보다 고급한 다중밴드 모델이 필요합니다. 이러한 효과들은 GaAs/AlGaAs 8밴드 아연석 구조 튜토리얼 및 GaN/AlGaN 8밴드 육방정계 튜토리얼에서 살펴볼 수 있습니다.

허용된 광학적 전이라 하더라도 반드시 일어난다는 보장은 없다

적절한 에너지 조건과 큰 행렬 요소 값을 갖는 광학적 전이라 할지라도, 해당 초기 상태에 전자가 존재하고 목적 상태가 비어있지 않다면 전이는 일어날 수 없습니다. \(f_c\)을 해당 전도대 상태에 전자가 존재할 확률로, \(f_v\)를 해당 원소대 상태에 전자가 존재할 확률로 정의합니다. 그러므로 원소대 상태에 정공이 존재할 확률은 \(1-f_v\)이 됩니다.

가용 전자 분포에 따라 흡수와 방사 과정에 대한 계수가 각각 달라진다.

\[ \begin{aligned} \text{Absorption:}\qquad & f_v(1-f_c),\\[4pt] \text{Emission:}\qquad & f_c(1-f_v). \end{aligned} \]

흡수 현상이 일어나려면 밸런스 밴드에 전자가 채워져 있고 전도 밴드에는 전자가 없어야 합니다. 반면 발광 현상이 일어나려면 전도 밴드에 전자가 존재하고 밸런스 밴드에는 정공이 존재해야 합니다. 이러한 전하 캐리어 분포 상태에 따라 특정 광학적 전이가 순수한 흡수 현상을 일으키는지 혹은 순수한 광학적 이득을 발생시키는지가 결정됩니다.

단일 광학적 전이에서 광 스펙트럼까지

실제 양자 우물 구조에서는 하나 이상의 전자 서브밴드와 정공 서브밴드가 존재하며, 전자들은 각 서브밴드 내에서 다양한 평면 내 파벡터를 가질 수 있다. 스펙트럼을 계산하기 위해서는 전자 서브밴드 \(n\), 정공 서브밴드 \(m\), 그리고 평면 내 파벡터 \(k_{\parallel}\)의 모든 조합에 따른 기여도를 합산해야 한다.

개략적으로, 스펙트럼 흡수 계산은 다음과 같은 형태를 갖습니다:

\[ \alpha(\hbar\omega)\ \propto \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |p_{nm}(k_{\parallel})|^2 f_v(1-f_c) \delta\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right]. \]

이 합산 연산은 서브밴드 쌍들에 대해 이루어지며, 적분 연산은 모든 평면 내 상태들을 포함합니다. 쌍극자 행렬 요소는 각 광학적 전이의 강도를 반영하고, 점유 인자들은 필요한 전하 캐리어가 존재하는지를 나타냅니다. 또한 델타 함수는 적절한 광자 에너지를 갖는 전이만을 선별합니다. 여기서 언급된 비례 관계에서는 공통적인 전자기 정규화 인자들이 생략되어 있습니다.

포물선형 2차원 서브밴드의 경우, 단위 에너지당 이용 가능한 상태의 수는 매우 단순한 형태를 띠게 되는데, 이상적인 모델에서는 전체 상태밀도가 전이 임계값 이상에서 일정한 값을 유지한다. 따라서 광자 에너지가 허용된 최소 전이 에너지에 도달했을 때 비로소 특정 서브밴드 쌍이 기여하기 시작한다. 추가적인 서브밴드 쌍들은 스펙트럼 상에 또 다른 임계값들을 만들어낸다.

흡수가 광학적 이득으로 전환되는 시점은 언제인가?

입사 광빔은 흡수와 자극 방출 양쪽 모두를 일으킬 수 있다. 광학적 이득은 이 두 상반되는 과정 간의 균형 상태이며, 단순히 전하 캐리어 재결합의 총 발생률을 의미하지는 않는다. 자극 방출에서 흡수를 뺌으로써 특히 유용한 단순화가 가능해진다.

\[ \begin{aligned} f_c(1-f_v)-f_v(1-f_c) &=f_c-f_v. \end{aligned} \]

따라서 스펙트럼상의 물질 이득값은 흡수 계산과 동일한 전이 합산식을 사용하지만, 캐리어 분포 차이값을 활용하게 됩니다.

\[ \boxed{ g(\hbar\omega)\ \propto \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |p_{nm}(k_{\parallel})|^2 (f_c-f_v) \delta\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right] } \]

\(f_v\)의 값이 \(f_c\)보다 클 경우 흡수 현상이 우세하게 나타나며 이 경우 이득 기여값은 음수가 됩니다. 반면 \(f_c\)의 값이 \(f_v\)보다 클 경우 자극 방출 현상이 우세하게 나타나는데, 이는 인구 역전 상태를 의미하며 해당 전이는 양의 이득을 발생시킵니다.

완전한 계산 과정에서는 광학적 주파수, 굴절률, 전자기 상수 및 양자우물 상태를 정규화하는 데 사용되는 두께와 같은 물리량들이 비례 상수에 포함된다. 활성 물질 내에서의 이득은 레이저의 모드 이득과도 구별되어야 하는데, 이 모드 이득은 광학 모드가 양자우물 영역과 얼마나 강하게 중첩되는지에 따라 결정된다.

자발적 방사 현상은 어떠한가?

자발적 방출 현상에서는 전자적 전이 에너지와 광학적 행렬 요소가 동일하게 사용되지만, 이는 순이득과는 다른 물리량입니다. 그 차이를 이해하기 위해 특정 광자 모드에 이미 \(N\)개의 광자가 존재한다고 가정해 봅시다. 양자역학적 관점에서 해당 모드로의 방출률에는 \(N+1\)라는 인자가 포함됩니다.

\[ \underbrace{(N+1)}_{\text{emission}} =\underbrace{N}_{\text{stimulated}} +\underbrace{1}_{\text{spontaneous}}. \]

자극 방출의 경우 이미 존재하는 광자 수가 많아질수록 방출량도 증가합니다. 하지만 추가적인 \(1\) 값이 존재하므로 초기 광자 수가 0일 때도 방출이 일어날 수 있습니다. 반면 흡수 현상은 외부에서 광자가 유입되어야만 발생하며, 이는 \(N\) 값에 비례합니다.

자발적 방출을 계산하기 위해, 이용 가능한 전자 상태들과 빛이 방출될 수 있는 광자 모드들에 대한 전이 확률을 모두 합산한다. 개략적으로, 자발적 방출 스펙트럼은 다음과 같다.

\[ \boxed{ R_{\mathrm{sp}}(\hbar\omega)\ \propto D_{\mathrm{ph}}(\omega) \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |M_{nm}(\omega,k_{\parallel})|^2 f_c(1-f_v) \delta\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right] } \]

여기서 \(D_{\mathrm{ph}}\)은 존재 가능한 광자 모드들을 나타내며 \(M_{nm}\)는 자발적 방출 과정에 관여하는 전자-광자 상호작용 행렬 요소로서 적절히 정규화된 값입니다. 이러한 표기법은 절대적인 방출 광자 수를 계산할 때 광자 모드 밀도와 광학적 정규화 인자가 반드시 포함되어야 함을 명시합니다.

주목할 점은, 자발적 방출 계산 시에는 순이득 계산에 사용되는 입자 분포 차이 값인 \(f_c-f_v\)가 아닌 \(f_c(1-f_v)\)이라는 점입니다. 따라서 양자 우물 구조에서는 순광학적 반응이 흡수 특성을 보이더라도 자발적 방출 현상이 발생할 수 있습니다. 단순히 음수인 이득 값을 0으로 설정하는 방식으로는 자발적 방출을 얻을 수 없습니다.

왜 로렌츠 폭넓어짐이 필요한가?

지금까지 페르미의 황금법칙에서는 에너지 보존을 표현하기 위해 디랙 델타 함수를 사용해왔습니다. 하지만 실제 반도체에서는 광학적 전이가 무한히 좁은 선 형태로 나타나지 않습니다. 산란 현상 및 전자 전이의 유한한 코히어런스 시간으로 인해 전이 스펙트럼은 유한한 폭을 갖게 됩니다.

이를 표현하는 일반적인 방법은 델타 함수를 정규화된 로렌츠 선형태로 대체하는 것입니다.

\[ \boxed{ L_{\gamma}(\Delta E)= \frac{1}{\pi} \frac{\gamma}{(\Delta E)^2+\gamma^2} } \]

여기서 \(\Delta E\)은 전자적 전이 에너지와 광자 에너지 간의 차이이며, \(\gamma\)는 로렌츠 함수의 반최대값에서의 폭(HWHM)입니다. 전체 최대값에서의 폭은 \(2\gamma\)입니다. 로렌츠 함수가 에너지에 대해 정규화되어 있으므로, 스펙트럼 폭의 증가는 전이에 따른 스펙트럼 분포만을 재분배할 뿐 그 적분값에는 임의적인 변화를 일으키지 않습니다.

각각의 광학적 전이에 대해 우리는 \(\delta(E_{nm}-\hbar\omega)\)을 \(L_{\gamma}(E_{nm}-\hbar\omega)\)로 대체합니다. 예를 들어, 넓어진 이득 스펙트럼은 다음과 같이 표현됩니다.

\[ \boxed{ g(\hbar\omega)\ \propto \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |p_{nm}(k_{\parallel})|^2 (f_c-f_v) L_{\gamma}\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right] } \]

단일광자 방출 계산 과정에서도 동일한 치환이 이루어지지만, 해당 계산에서의 전하 캐리어 점유 인자는 여전히 \(f_c(1-f_v)\)로 유지된다. 더 큰 광학적 폭넓임 파라미터 값을 사용할 경우 스펙트럼 특성이 더 매끄럽고 넓어지지만, 작은 값을 사용하면 전이 임계값이 보다 뚜렷하게 유지된다. 로렌츠 폭넓임 모델은 모든 물리적 폭넓임 메커니즘을 포괄하는 설명이라기보다는 균질한 폭넓임 현상을 설명하는 데 유용한 모델이다.

계산 과정의 종합

이제 양자우물의 광학 스펙트럼이 전자 상태들로부터 어떻게 구성되는지 요약해보겠습니다:

제한된 상태들을 구하십시오. 양자 우물 내에서 전자와 정공의 에너지 및 파동함수를 구하기 위해 슈뢰딩거 방정식을 풀어야 합니다.
서브밴드들을 구성한다. 층에 평행한 운동도 고려하여 서로 다른 면내 파벡터에서의 전자적 전이 에너지들을 구한다.
광학적 결합을 계산하십시오. 전자-정공 엔벨로프 중첩 및 필요한 경우 광선 편광과 같은 적절한 행렬 요소들을 산출하십시오.
전하 캐리어 분포 정보를 포함시켜야 합니다. 전자 및 원자가대 상태의 점유도를 활용하여 흡수, 자극 방출, 자발적 방출 현상을 구분할 수 있습니다.
모든 광학적 전이에 대한 합을 구하라. 전자 및 정공 서브밴드와 가능한 평면 내 상태들에서의 기여도를 모두 더하라.
스펙트럼을 넓히기 위해 이상적인 델타함수 기반 전이 모델을 로렌츠 함수와 같은 적절한 선형태로 대체해야 한다.

이러한 원리들이 OghmaNano의 양자우물 전자 해석 모듈과 광학적 이득 및 자발적 방사 계산 간의 연관성을 설명합니다. 단순한 포물선형 모델을 사용하면 물리적 메커니즘을 보다 쉽게 이해할 수 있으며, 밴드 간 상호작용 및 편광 의존성이 중요한 경우에는 다중밴드 k·p theory 모델을 통해 전자 상태와 광학적 행렬 요소를 보다 정밀하게 계산할 수 있습니다.