흡수, 자극 방출 및 광학적 이득

광학적 이득은 양자 우물이 빛을 증폭시키게 하는 원리로, 자극 방출이 흡수보다 우세할 때 발생하며 이를 위해서는 전도대와 가전자대 사이에서 캐리어 분포가 역전되어야 한다. 본 문서는 OghmaNano의 광학적 이득 계산 과정을 물리적 구성 요소들인 캐리어 통계, 2차원 상태밀도, 광학 행렬 요소 및 로렌츠 선형 폭넓힘 등을 바탕으로 설명하며 현재 구현된 모델이 포함하고 있는 내용과 그렇지 않은 내용을 명확히 기술한다.

1. 상태 점유율과 준페르미 준위

광학적 또는 전기적 펌핑 조건 하에서 전자와 정공은 각각 내부적으로 열평형 상태에 도달하지만 서로는 평형 상태에 있지 않으므로 각 캐리어 종류마다 고유한 준페르미 준위가 존재합니다. 에너지가 \(E\)인 상태의 점유율은 페르미-디랙 함수로 표현됩니다.

\[ f(E) = \frac{1}{1 + \exp\!\big((E - E_F)/k_B T\big)}, \]

\(E_F=E_{F,c}\)은 전도대 상태를, \(E_F=E_{F,v}\)는 가전자대 상태를 나타낸다. 펌핑 강도가 증가함에 따라 두 준페르미 준위는 서로 멀어지게 되며, 캐리어 분포의 역전 상태 즉 순이득이 발생하려면 이 두 준위 간의 간격이 전이 에너지보다 커야 한다.

2. 시트 밀도와 2차원 적분

평면 내에서는 운동이 자유롭기 때문에 각 하위 대역은 2차원 대역이며, 그 전하 캐리어 밀도는 평면 내 파수 벡터에 대한 적분값으로 결정된다. 2차원 상태밀도가 바로 이 적분의 가중치 역할을 한다. \(k\,dk/2\pi\) 스핀/축퇴도당 값이므로 전자의 시트 밀도는

\[ n_{2D} = \sum_{n} g\!\int \frac{k\,dk}{2\pi}\; f\!\big(E_n(k)\big), \]

여기서 \(g\)은 상태의 축퇴도를 나타내며 합계는 모든 하위 대역에 대해 이루어진다. OghmaNano는 계산된 분산 관계에 대해 이 적분을 수치적으로 평가한다. 목표 시트 밀도가 주어지면 이진 탐색법을 이용해 준페르미 준위를 산출하는데, 즉 적분값이 목표값과 일치하도록 \(E_F\) 값을 조정한다. 정공의 경우에도 \(1-f\) 값을 조정하여 동일한 과정을 수행한다. 전자 및 정공 상태가 혼재되는 전체 스펙트럼 모드에서는 각 상태의 S-특성 가중치가 그 기여도를 결정한다.

3. 광학 행렬 요소 도입하기

각각의 전이 현상은 광학 행렬 요소matrix element \(M^2\)에 비례하여 기여하는데, 이 값은 파동함수의 겹침 정도와 특성 인자를 제곱하여 산출됩니다. 절대적인 크기는 케인 에너지와 광학 상수들로 구성된 전방인자에 의해 결정됩니다.

\[ \text{prefactor} \propto \frac{\pi\,q^2\,p^2}{n_r\,c\,\varepsilon_0\,m_0^2\,\omega\,W}, \qquad p^2 = \tfrac{1}{2} m_0 E_p q, \]

여기서 \(n_r\)은 굴절률이고 \(W\)는 양자우물의 폭이며 \(\omega\)은 광학 각주파수이고 \(E_p\)는 케인 에너지입니다. \(1/W\)는 시트 밀도에서 얻은 반응값을 벌크 구조에 적용 가능한 이득 계수(단위: 길이의 역수)로 변환해줍니다.

4. 선형 폭화

실제 전이 현상은 산란 작용에 의해 날카로운 디랄타 함수가 아닌 특정 선형 모양으로 넓어지게 됩니다. OghmaNano는 반폭이 \(\gamma\)인 로렌츠 선형을 활용합니다.

\[ L(E - \hbar\omega) = \frac{1}{\pi}\,\frac{\gamma}{(E - \hbar\omega)^2 + \gamma^2}, \]

각 전이 에너지를 중심으로 분포하며 \(E = E_e(k) - E_v(k)\) 이로 인해 각 전이가 다양한 광자 에너지 범위에 걸쳐 나타나고 스펙트럼이 매끄러워진다.

5. 자극 방출 이득, 흡수 및 순이득

주어진 광자 에너지 \(\hbar\omega\)에 대해 각 전이 과정은 전자가 상위 준위에, 정공이 하위 준위에 존재할 때 자극 방출에 \(f_c(1-f_v)\)의 확률로 기여하며, 흡수에는 \(f_v(1-f_c)\)의 확률로 기여한다. 이와 같은 기여도를 모든 하위 대역 및 2차원 적분 범위에 걸쳐 합산한다.

\[ \begin{aligned} g_{\text{stim}}(\hbar\omega) &= C\!\sum \int \frac{k\,dk}{2\pi}\; M^2\, f_c(1-f_v)\, L, \\ \alpha(\hbar\omega) &= C\!\sum \int \frac{k\,dk}{2\pi}\; M^2\, f_v(1-f_c)\, L, \end{aligned} \]

여기서 \(C\)은 전방인자입니다. 순이득은 이 둘의 차이값입니다.

\[ g_{\text{net}}(\hbar\omega) = g_{\text{stim}}(\hbar\omega) - \alpha(\hbar\omega). \]

순이득은 캐리어 분포가 역전된 영역에서만 양의 값을 갖는데, 이는 \(f_c > f_v\) 조건으로 표현되며 준페르미 준위 간 차이가 광자 에너지보다 클 것을 의미하는 버나드-뒤라푸르 조건에 해당합니다. 임계값 이하에서는 동일한 식이 음의 값을 나타내어 흡수 현상을 올바르게 설명합니다.

6. TE/TM 스펙트럼 및 시트 밀도 스캔

육방정계 모델의 경우 OghmaNano는 자극 방출 이득을 계산하기 위해 두 차례 적분을 수행한다. 첫 번째는 TE 광학 행렬 요소(\(P_2\))를 사용하고 두 번째는 TM 광학 행렬 요소(\(P_1\))를 사용하여 각각 TE 및 TM 스펙트럼을 산출한다. 이들 스펙트럼의 비율은 가장 상위에 위치한 전자 상태들의 원자가 궤도 특성을 반영한다. 이러한 계산은 다양한 시트 밀도에 대해 반복되며, 그 결과로 펌핑 강도에 따라 순이득이 어떻게 증가하는지를 보여주는 일련의 스펙트럼이 생성된다. 또한 대량 물질과의 비교를 위해 대략적인 부피 밀도 값 \(n_{3D}\approx n_{2D}/W\)도 함께 제공된다.