양자우물 모델 선택하기

OghmaNano는 단일 모델만으로는 모든 시스템에 적합하지 않기 때문에 여러 종류의 양자우물 모델을 제공합니다. 스칼라 포물선형 모델은 신속한 추정에 적합하며, 정확한 정공대 물리 및 이득 계산을 위해서는 8-밴드 k·p 모델이 필요합니다. 간접갭 특성을 지닌 반도체의 경우에는 실리콘 전용 모델이 요구됩니다. 본 페이지에서는 각 모델들을 비교하여 사용자가 단순히 가장 복잡한 모델을 선택하는 대신 의도적으로 적절한 모델을 고를 수 있도록 돕습니다.

1. 간략한 비교

*이 포물선형 솔버는 밴드 오프셋과 (선택적으로) 밴드 가장자리에 대한 경직된 변형 시프트를 포함하지만, 변형에 의해 발생하는 정공대 분열은 고려하지 않는다.

2. 전도대 처리

직접갭을 갖는 III-V족 반도체의 경우 전도대는 케인 결합을 통해 비포물선적 특성을 나타내므로 8-밴드 모델로 충분히 기술할 수 있습니다. 희석질화물 반도체에서는 밴드 반교차 현상으로 인해 전도대가 추가로 분리되므로 10-밴드 모델이 필요합니다. 실리콘 및 SiGe의 경우 전도대 최저점은 6개의 Δ 밸리로 구성되며, 이들은 간접갭을 갖고 이방성을 지니므로 어떤 영역중심 k·p 모델로도 기술할 수 없습니다. 따라서 밸리 솔버의 사용이 필수적입니다. 포물선형 솔버는 전도대를 단일 고정 질량으로 취급하므로 대략적인 수준의 추정치 산출에는 적합하나, 더 높은 서브밴드나 좁은 밴드갭을 갖는 경우에는 부적합합니다.

3. 정공대 모델링

정공대에서는 무거운 정공, 가벼운 정공 및 분리된 정공들이 서로 강하게 상호작용하기 때문에 단일 질량 모델의 적용이 가장 심각하게 실패합니다. 정공의 하위대 간 간격, 이득, TE/TM 비율과 같은 정량적 계산을 수행하려면 반드시 다중대 모델이 필요합니다. III-V족 물질의 경우 8대 zincblende 또는 wurtzite 모델을, IV족 물질의 경우 six-band Luttinger–Kohn 모델을 활용해야 합니다. 포물선형 정공 모델은 오직 초기 추정치 산출을 위해서만 사용되어야 합니다.

4. 계산 비용 및 실용성

계산 비용은 기저 함수의 크기와 \(k_\parallel\) 점의 개수에 따라 증가합니다. 파라볼릭형 또는 실리콘 정공대 모델과 같은 스칼라 모델들은 삼대각 행렬을 풀기만 하면 되므로 계산 비용이 적게 듭니다. 반면 다중밴드 모델들은 각 \(k_\parallel\) 점마다 차원이 \(6N\)에서 \(10N\) 사이인 복잡한 에르미트 행렬을 풀어야 하므로 전체 분산 계산 시 상당한 계산 비용이 발생합니다. 다만 시프트-인버트 고유값 해석법을 활용하면 중요한 고유값들만 산출함으로써 계산 부하를 관리할 수 있습니다. 따라서 먼저 스칼라 모델을 이용해 에너지 준위를 파악하고 구조를 설정한 뒤, 최종적인 정량적 계산을 위해 적절한 다중밴드 모델로 전환하는 것이 바람직한 절차입니다.

5. 모델 선택

• GaAs, InGaAs, InP, InAs, GaSb 양자우물 및 레이저 모델링에는 8-밴드 아연석형 모델이 사용됩니다.
• GaInNAs 및 기타 희박질소화물 반도체: 10-밴드 아연블렌드 모델.
• GaN/InGaN/AlGaN(질화물 LED 및 레이저): 8-밴드 육방정계 모델로서 TE/TM 모드에 대한 이득 값을 산출합니다.
• 실리콘/SiGe의 전도대(수송 현상 및 양자우물): Δ-밸리 해석기
• 실리콘/게르마늄/SiGe의 정공대 모델링에는 6-밴드 루팅거-콘 모델이 사용됩니다.
• 간단한 수준의 추정이나 교육용으로는 포물선형 솔버가 적합합니다.

적절한 모델이란 해당 문제의 물리적 특성을 반영하는 가장 단순한 모델입니다. 더 복잡한 모델이라도 부적절한 매개변수가 입력되거나 모델의 가정 범위을 벗어난 시스템에 적용된다면 반드시 더 정확하다고 할 수는 없습니다. 반대로, 단순한 모델이라도 그 적용 범위 내에서는 정확성과 계산 속도를 모두 만족시킬 수 있습니다.