10-밴드 아연블렌드 구조 k·p 모델: 희석 질화물

왜 10-밴드 모델이 필요한가?

8-대역 아연블렌드 모델에서는 s형 전도대 오비탈 하나와 p형 가전대 오비탈 세 개를 사용하여 반도체를 기술하며, 각 오비탈마다 두 가지 스핀 상태가 존재합니다. 이러한 상태들 간의 결합을 통해 전도대 및 가전대 구조를 계산할 수 있으며, 이 과정에서 보다 단순한 포물선형 대역 모델로는 재현할 수 없는 효과들도 고려됩니다.

하지만 특정 합금의 경우 이러한 모델만으로도 불충분하다. 특히 희석 질화물인 GaAsN이나 GaInNAs가 대표적인 예인데, 이는 V족 원소 중 극소수가 질소로 대체된 물질이다. 놀랍게도 비교적 적은 양의 질소를 도핑하는 것만으로도 구성 성분들의 특성을 단순 보간하는 경우보다 훨씬 크게 밴드 갭을 감소시킬 수 있다. 또한 전자의 유효질량 역시 상당히 변화할 수 있다.

그 이유는 질소가 기존 결정체의 밴드 구조를 단순히 미세하게 변화시키는 데 그치지 않기 때문입니다. 질소는 반도체의 전도대와 상호작용하는 공명 전자 준위를 새로이 생성합니다. 이러한 상호작용을 기술하기 위해 기존의 k·p 모델에 질소 유래의 추가적인 상태를 포함시켜야 합니다. 두 가지 스핀 방향까지 모두 고려하게 되면 기저 상태의 수가 8개에서 10개로 증가하게 됩니다.

질소는 전도대에 어떤 영향을 미치는가?

질소가 첨가되기 전 원래 기판 반도체의 전도대를 생각해보자. 전도대 최소점 근처에서는 1차 근사로서 이를 포물선 형태로 기술할 수 있다:

\[ E_c(k)=E_{c,0}+\frac{\hbar^2 k^2}{2m_c^{*}}. \]

여기서 \(E_{c,0}\)은 원래의 전도대 가장자리를 나타내며, \(k\)는 전자의 결정체 파동벡터를 의미합니다. 희석 질화물 모델에서는 질소가 에너지값 \(E_N\) 위치에 보다 국소화된 전자 상태를 생성하기도 합니다. 넓게 퍼져 있는 전도대 상태들과는 달리, 가장 단순한 모델에서 질소 유래 공명 준위는 분산 현상이 거의 나타나지 않으며 에너지-파동벡터 그래프 상에서는 대략 수평선 형태로 표현됩니다.

만약 두 준위가 상호작용하지 않는다면 그 에너지값은 단순히 교차하게 됩니다. 그러나 실제로는 상호작용이 일어납니다. 기저체의 전도대 에너지가 질소 유래 공명 준위의 에너지와 가까워질 때 두 준위는 혼합되면서 각각의 에너지값이 서로 멀어지게 됩니다. 이러한 현상을 밴드 반교차(BAC)라고 합니다.

안티크로싱 현상의 이해

전체 10-밴드 해밀토니안을 사용하지 않고도 핵심적인 물리 현상을 이해할 수 있습니다. 이제 원래 기질의 전도대에 속하는 에너지가 \(E_c\)인 전자 상태 하나와 질소에 기인한 에너지가 \(E_N\)인 전자 상태 하나만이 존재한다고 가정해 봅시다. 이 두 상태 간의 상호작용은 결합 에너지 \(V_N\)로 기술됩니다.

이 작은 문제를 행렬 형태로 표현할 수 있습니다:

\[ \boxed{ H_{\mathrm{BAC}}= \begin{pmatrix} E_c & V_N \\ V_N & E_N \end{pmatrix} } \]

대각 성분들은 각각의 상태가 단독으로 가질 수 있는 에너지값입니다. 비대각 성분들은 두 상태 간의 상호작용을 나타냅니다. \(V_N=0\)인 경우 두 상태는 서로 독립적입니다. 결합 파라미터가 0이 아닐 때는 이 행렬의 고유값을 구함으로써 허용되는 에너지값들을 얻게 됩니다.

고유값 방정식을 \(\det(H_{\mathrm{BAC}}-EI)=0\) 형태로 표현하면 다음과 같습니다:

\[ (E_c-E)(E_N-E)-V_N^2=0. \]

이것은 에너지에 관한 이차방정식입니다. 이를 풀면 두 개의 새로운 혼합 전자 상태에 해당하는 두 가지 해가 도출됩니다.

\[ \boxed{ E_{\pm}=\frac{E_c+E_N}{2} \pm\frac{1}{2} \sqrt{(E_c-E_N)^2+4V_N^2} } \]

제곱근 항이 바로 밴드 반교차 현상을 일으키는 요인입니다. 원래의 에너지 준위들이 정확히 동일한 값을 갖더라도 생성된 두 새로운 상태는 서로 교차하지 않으며 \(2|V_N|\)만큼의 간격을 유지합니다. 위 식에서 \(E_c=E_N\) 값을 대입해보면 이 현상을 직접 확인할 수 있습니다.

OghmaNano는 성장 방향을 공간 격자점들로 분할한 뒤 희소 고유값 해법기를 활용하여 관심 대상인 상태들을 산출합니다. 격자점의 개수가 \(N_z\)개일 경우, 10개의 기저 성분들로 인해 행렬 차원은 \(10N_z\)가 됩니다. 여기서 \(N_z\)은 공간 격자점의 총수를 의미하며, 질소 유래 공명 준위를 지칭하는 기호인 \(N\)와 혼동해서는 안 됩니다. 이 모델을 이용한 GaInNAs/GaAs에 대한 전체 계산 과정은 10-밴드 희석 질화물 k·p 양자우물 튜토리얼에서 확인할 수 있습니다.

왜 밴드 갭이 작아지는가?

질소 유래 공명 준위가 기존의 전도대 최저점보다 높은 위치에 있다고 가정해보자. 이는 희석 질화물의 밴드 반교차 현상을 설명하는 일반적인 모델에서 나타나는 상황이다. 질소와 전도대 간의 상호작용이 활성화되면 혼합된 하위 상태는 원래의 전도대 최저점보다 낮은 위치로 이동하게 된다. 본 모델에서는 가전대의 가장자리에는 동일한 반교차 현상이 발생하지 않으므로, 가장 낮은 에너지의 전도대 상태와 가전대 사이의 에너지 차이는 더 작아지게 된다.

전도대 가장자리의 이동량은 극히 적은 양의 질소 농도에 단순히 비례하지 않습니다. 이는 결합 강도와 질소 유래 공명 준위가 기저체의 전도대와 얼마나 가까운지에 따라 달라집니다. 임의의 예시 에너지 값을 통해 이 효과를 설명하자면 다음과 같습니다:

\[ E_c=1.40\,\mathrm{eV},\qquad E_N=1.60\,\mathrm{eV},\qquad V_N=0.10\,\mathrm{eV}. \]

이 값들을 안티크로싱 수식에 대입하면 전도대의 하위 분지가 약 \(1.359\,\mathrm{eV}\)가 되는데 이는 원래의 \(1.40\,\mathrm{eV}\)와는 다른 값입니다. 이 예시에서 질소 유래 공명 준위와의 상호작용으로 인해 전도대의 하한값이 약 \(41\,\mathrm{meV}\)만큼 낮아졌습니다. 이러한 수치들은 특정 합금의 파라미터를 나타내기 위함이 아니라 해당 메커니즘을 설명하기 위해 선택된 것입니다.

중요한 점은 전도대의 형태 역시 변한다는 점입니다. 본 2준위 모델에서 \(E_c\)은 \(k\)의 함수이므로, 도출된 두 해 모두 분산 관계인 \(E_-(k)\) 및 \(E_+(k)\)가 됩니다. 하위 분지는 그 최소값 근처에서 더 평탄해질 수 있으며, 이는 전자 유효질량이 증가했음을 의미합니다. 따라서 동일한 상호작용이 밴드 갭의 감소와 밴드 곡률의 변화 양쪽을 모두 설명할 수 있습니다.

질소 몰분율은 어떻게 모델에 반영되는가?

질소의 양이 중요한 이유는 질소 몰분율이 증가할수록 전도대와 상호작용할 수 있는 질소 유래 공명 준위의 수가 늘어나기 때문입니다. 표준적인 밴드 반교차 모델에서는 유효 결합 파라미터를 다음과 같이 표현합니다:

\[ \boxed{V_N=\beta_N\sqrt{x_N}} \]

여기서 \(x_N\)은 질소 몰분율을 나타내며(예를 들어 질소 농도가 1%일 경우 \(x_N=0.01\)로 입력함), \(\beta_N\)은 해당 물질계의 결합 파라미터입니다. 제곱근 형태의 의존성은 기저체 전도대 상태와 희석된 형태로 존재하는 질소 원자들 간의 집합적 결합을 반영하는 것입니다. 이는 단순히 전도대 가장자리가 선형적으로 이동하는 현상이 아닙니다.

질소가 존재하지 않을 경우 \(x_N=0\)에서는 결합 현상이 사라지며 결합되지 않은 기본 전도대 모델이 적용됩니다. 질소가 첨가되면 상호작용이 강해지고 두 혼합된 에너지 분기들이 서로 더 멀어지게 됩니다. 실제 거동은 또한 \(E_N\)가 기본 전도대와 비교해 어느 위치에 있는지에 따라 달라지므로 \(E_N\)와 \(\beta_N\) 모두 중요한 재료 파라미터가 됩니다.

두 개의 준위 모델에서 완전한 10-밴드 모델까지

이제 두 개의 상태만을 이용해 밴드 반교차 현상을 이해하게 되었습니다. 그렇다면 이 내용이 이전 페이지에서 소개된 8-밴드 징크블렌드 해밀토니안과 어떻게 연관되는지 살펴보겠습니다.

8-밴드 모델에는 이미 s형 전도대 오비탈과 각각 두 가지 스핀 방향을 갖는 3개의 p형 가전대 오비탈이 포함되어 있습니다. 희석 질화물 모델에서는 이 기존 8개의 상태를 그대로 유지한 뒤, 각 스핀 방향에 대응하는 두 개의 질소 유래 기저 상태를 추가로 도입합니다:

\[ \begin{aligned} \{&|S\uparrow\rangle,\ |S\downarrow\rangle,\\ &|X\uparrow\rangle,\ |Y\uparrow\rangle,\ |Z\uparrow\rangle,\\ &|X\downarrow\rangle,\ |Y\downarrow\rangle,\ |Z\downarrow\rangle,\\ &|N\uparrow\rangle,\ |N\downarrow\rangle\}. \end{aligned} \]

이러한 질소 유래 공명 준위들은 합금의 특성을 효과적으로 나타내는 모델입니다. 이를 무질서한 결정 구조 내에 존재하는 각각의 질소 원자 주변의 파동함수를 추적하려는 시도로 해석해서는 안 됩니다.

표준적인 10-밴드 모델 구조에서 질소는 동일한 스핀을 갖는 s형 전도대 상태와 결합합니다. 본 모델에서는 p형 가전대 상태와의 직접적인 결합은 무시됩니다. 전체 해밀토니안 행렬은 다음과 같이 개략적으로 표현할 수 있습니다:

\[ H_{10}= \begin{pmatrix} H_{8} & C_N\\ C_N^{\dagger} & E_N I_2 \end{pmatrix}, \]

여기서 \(H_8\)은 기존의 8-밴드 징크블렌드 해밀토니안이며, \(I_2\)는 2-상태 단위행렬입니다. 또한 \(C_N\)에는 질소와 전도대 간의 결합을 나타내는 항들이 포함되어 있습니다. 위에 제시된 기저 순서에 따르면, \(C_N\)에서 0이 아닌 값을 갖는 항들은 오직 \(|S\uparrow\rangle\)와 \(|N\uparrow\rangle\)를 연결하는 것과 \(|S\downarrow\rangle\)과 \(|N\downarrow\rangle\)을 연결하는 것뿐이며, 각각의 결합 강도는 \(V_N\)입니다.

이러한 이유로 이 모델을 10-밴드 모델이라 부르는 것입니다. 이는 기존의 8-밴드 시스템에 두 개의 스핀 분해된 질소 관련 상태가 추가된 것이지, 10개의 개별 포물선이 합쳐진 것이 아닙니다.

양자 우물 구조에 해당 물질을 배치하면 어떤 변화가 일어나는가?

지금까지의 논의에서는 결정의 파동벡터에 따른 합금의 에너지 상태에 대해 설명하였습니다. 양자 우물 구조에서는 반도체 층들과 이에 수직인 구속 전위도 함께 고려해야 합니다.

포물선형 대역 튜토리얼에서 설명한 바와 같이, \(z\)은 층들에 수직인 방향으로 정의되며 전자는 여전히 층들에 평행하게 이동할 수 있습니다. 다중 대역 계산에서는 국소화된 상태가 더 이상 단일 스칼라 파동함수로만 기술되지 않습니다. 대신 질소 유래 성분들을 포함하여 기저에 존재하는 모든 상태에 대해 각각의 포락함수가 존재하게 됩니다.

각 위치에서 해당 물질의 특성에 따라 밴드 경계, 유효 결합 파라미터, 질소 유래 공명 준위\(E_N\), 그리고 질소 몰분율\(x_N\)이 결정된다. 10-밴드 해밀토니안은 이러한 모든 구성 요소들 간의 상호작용을 기술한다. 이로부터 도출되는 양자우물 고유값 문제를 해결하면 허용되는 국소 에너지 준위와 그에 대응하는 전자 및 정공의 파동함수가 산출된다.

OghmaNano는 성장 방향을 공간 격자점들로 분할한 뒤 희소 고유값 해법기를 활용하여 관심 대상인 상태들을 산출합니다. 격자점의 개수가 \(N_z\)개일 경우, 10개의 기저 성분들로 인해 행렬 차원은 \(10N_z\)가 됩니다. 여기서 \(N_z\)은 공간 격자점의 총수를 의미하며, 질소 유래 공명 준위를 지칭하는 기호인 \(N\)와 혼동해서는 안 됩니다.

안티크로싱 현상의 실질적인 결과 중 하나는 전도대의 바닥 위치가 기존 기질 물질의 값과 일치하지 않는다는 점이다 \(E_c\). 수치적으로 국소화된 상태들을 계산할 때 하위 분지 \(E_-\)는 전도대 가장자리의 이동 정도를 추정하는 데 유용하게 활용될 수 있다.

광학적 전이 현상에 어떤 영향을 미치는가?

밴드 갭만이 변하는 유일한 물리량은 아닙니다. 고유상태 자체가 전도대 성분과 질소 유래 성분의 혼합체이므로 빛과의 상호작용 역시 달라질 수 있습니다. 전도대 성분이 대부분을 차지하는 상태라 할지라도 질소 유래 성분이 상당히 포함된 상태와 동일한 광학적 결합 특성을 보이지 않을 수 있습니다.

하위 밴드 반교차 분기부는 가장 낮은 에너지 준위를 갖는 전도대 상태가 될 수 있기 때문에 특히 중요하며, 이로 인해 전도대와 가전대 간의 전이 에너지가 변하게 됩니다. 또한 이 분기부의 분산 특성 변화는 광학적 전이에 참여할 수 있는 상태들의 에너지 및 개수에도 영향을 미칩니다. OghmaNano는 이렇게 생성된 다성분 파동함수를 이후의 광학적 전이, 자발적 방사 및 이득 계산에 활용할 수 있습니다.

10-밴드 BAC 모델은 질소 유래 공명 준위가 전도대 구조에 미치는 영향을 반영하지만 여전히 근사치에 불과합니다. 이 모델은 질소 불순물의 개별 원자 위치를 명확히 나타내지 못하며, 실제 희석 질화물 합금에서 나타나는 모든 무질서 관련 광학적 및 수송 현상을 단독으로 설명하지도 못합니다.