k·p 이론의 이해: 포물선형 밴드에서 다중 밴드 모델까지

왜 또 다른 밴드 구조 모델이 필요한가?

우리의 양자우물 밴드에 대한 소개에서는 전자의 에너지를 단순한 포물선 형태로 표현했습니다. 이 포물선의 곡률은 유효질량에 의해 결정되며, 이를 통해 제한된 양자우물 상태를 2차원 전자 서브밴드로 변환할 수 있었습니다. 이러한 근사법은 특히 단순한 전도대의 바닥 부근에서 매우 유용합니다.

하지만 실제 반도체에는 여러 개의 전자 밴드가 존재합니다. 이들 밴드는 서로 가까이 위치할 수 있으며, 포물선 형태에서 벗어나 굽어지기도 하고 서로 상호작용하기도 합니다. 이러한 현상은 특히 밸런스 밴드에서 중요하게 작용하는데, 여기서는 무거운홀, 가벼운홀 및 스플릿-오프 상태들이 항상 단일 유효질량을 갖는 독립적인 입자로 간주될 수는 없기 때문입니다.

k·p 방법은 모든 파수벡터에 대해 원자 단위의 전자 구조를 일일이 재계산하지 않고도 이러한 효과들을 기술할 수 있게 해준다. 우리는 결정의 밴드 구조 내에서 잘 알려진 한 지점에서의 전자 상태를 기준으로 삼아, 파수벡터가 그 지점에서 벗어날 때 해당 상태들이 어떻게 변화하는지를 계산한다. 무엇보다도 중요한 점은 서로 다른 전자 밴드들 간의 상호작용을 허용한다는 것이다.

이 페이지의 목적은 k·p 방정식이 어떻게 도출되는지, 유효질량이 왜 자연스럽게 나타나는지, 그리고 여러 개의 연립 방정식들이 어떻게 양자우물 해석기에서 사용되는 다중 밴드 해밀토니안으로 변환되는지를 설명하는 것입니다.

결정 내 전자에 관한 설명부터 시작하겠습니다.

반도체 결정 내에서 운동하는 전자를 고려할 때, 우리는 잘 알려진 시간불변 슈뢰딩거 방정식으로부터 시작한다:

\[ \hat H_0\Psi(\mathbf r)=E\Psi(\mathbf r), \qquad \hat H_0=\frac{\hat{\mathbf p}^{\,2}}{2m_0}+V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r). \]

여기서 \(m_0\)은 일반적인 (자유전자) 질량이며, \(\hat{\mathbf p}=-i\hbar\nabla\)는 운동량 연산자이고 \(V_{\mathrm{crystal}}\)은 원자들의 주기적 배열로 인해 전자가 받는 퍼텐셜입니다. 저희는 의도적으로 \(m_0\)를 사용했으며, 반도체의 유효질량은 사용하지 않았습니다. 이 단계에서는 결정의 영향이 아직 근사적인 질량값에 반영되지 않았기 때문입니다.

이상적인 결정체의 중요한 특성 중 하나는 그 전위가 한 단위포부터 다음 단위포까지 반복된다는 점입니다. 만약 \(\mathbf R\)이 격자 병진이동을 나타낸다면 다음과 같은 관계가 성립합니다:

\[ V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r+\mathbf R) =V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r). \]

우리는 이 주기적인 퍼텐셜 전체에 대해 슈뢰딩거 방정식을 직접 풀어보려 할 수도 있지만, 블로흐 정리를 통해 훨씬 더 유용한 해의 표현 방식을 얻을 수 있습니다.

블로흐 정리: 파동과 결정격자의 분리

블로흐 정리에 따르면 주기적 결정 구조 내의 전자 상태는 평면파와 결정 격자와 함께 반복되는 함수의 곱으로 표현될 수 있습니다.

\[ \boxed{ \Psi_{n\mathbf k}(\mathbf r) =e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}\,u_{n\mathbf k}(\mathbf r) } \]

두 함수는 각각 다른 역할을 수행합니다. 평면파 인수는 결정 내에서 이동할 때 전체 위상이 어떻게 변하는지를 나타냅니다. 함수 \(u_{n\mathbf k}(\mathbf r)\)은 각 단위포대 내에서의 파동 특성을 기술하며 결정과 동일한 주기성을 가집니다.

\[ u_{n\mathbf k}(\mathbf r+\mathbf R) =u_{n\mathbf k}(\mathbf r). \]

레이블 \(n\)은 우리가 고려하고 있는 전자 밴드를 나타내며, \(\mathbf k=(k_x,k_y,k_z)\)는 결정파벡터입니다. \(\hbar\mathbf k\)라는 양은 결정운동량이라 불립니다. 이는 앞서 설명한 크리켓공 비유에서 언급된 운동량과 밀접한 관련이 있으나, 주기적 결정 구조에서는 두 개념을 혼동해서는 안 됩니다.

첫 번째 중요한 단순화 방법은 다음과 같습니다. 각 \(\mathbf k\)에 대해 결정체 전체에서 새로운 원자 규모의 파동함수를 기술하는 대신, 결정단위주기함수 \(u\)를 활용할 수 있습니다. k·p 방법은 파수벡터 공간에서 아주 작은 거리만큼 이동할 때 이러한 함수들과 그 에너지가 어떻게 변화하는지를 연구합니다.

k·p 항은 어디서 기원하는가?

이제 블로흐의 표현식을 슈뢰딩거 방정식에 대입해보자. 운동량 연산자가 평면파와 셀주기 함수의 곱에 작용할 때 그 결과는 다음과 같다:

\[ \hat{\mathbf p}\left(e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}u\right) =e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r} \left(\hat{\mathbf p}+\hbar\mathbf k\right)u. \]

다시 말해, 블로흐 파동에 연산자를 적용하는 것은 \(u\)에 작용하는 운동량 연산자를 \(\hat{\mathbf p}+\hbar\mathbf k\)로 치환하는 것과 동일합니다. 이를 운동에너지 항에 적용하고 공통적인 평면파 인자를 소거하면 다음과 같은 결과가 도출됩니다:

\[ \left[ \frac{(\hat{\mathbf p}+\hbar\mathbf k)^2}{2m_0} +V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r) \right]u_{n\mathbf k} =E_n(\mathbf k)u_{n\mathbf k}. \]

제곱항을 전개하는 과정이 매우 중요합니다. \(\mathbf k\)은 공간 미분값이 아닌 매개변수이므로 다음과 같은 결과를 얻게 됩니다:

\[ \boxed{ \left[ \hat H_0 +\frac{\hbar}{m_0}\mathbf k\cdot\hat{\mathbf p} +\frac{\hbar^2 k^2}{2m_0} \right]u_{n\mathbf k} =E_n(\mathbf k)u_{n\mathbf k} } \]

첫 번째 항은 원래의 결정 해밀토니안입니다. 마지막 항은 단순한 이차함수 형태의 에너지 항입니다. 중간에 위치한 항인 \(\hbar\mathbf k\cdot\hat{\mathbf p}/m_0\)이 바로 이 방법의 명칭인 k·p의 기원이 됩니다.

물리적으로 이는 선택한 기준 파벡터에서 벗어날 경우 운동량 연산자를 통해 전자 상태들이 서로 혼합될 수 있음을 의미합니다. 이러한 현상의 의미를 파악하려면 그러한 혼합이 일어날 수 있는 전자 상태들을 먼저 선택해야 합니다.

기준점 및 기저 집합의 선택

반도체의 밴드 구조는 일반적으로 밴드 최소값 또는 최대값 근처에서 가장 흥미로운 특성을 보인다. GaAs와 같은 직접갭 반도체의 경우, 전도대 최소값과 가전대 최대값은 브릴루앙 영역의 중심인 감마점(\(\Gamma\))에 위치한다. 따라서 본 설명에서는 \(\mathbf k=0\)를 기준으로 전개를 진행한다. 관련 밴드 극값이 브릴루앙 영역의 다른 위치에 있을 경우에도 동일한 개념을 다른 기준점에 적용할 수 있다.

\(\mathbf k=0\) 지점에서는 k·p 항이 소멸합니다. 만약 우리가 그곳에서 여러 개의 결정 세포 주기 함수 상태들을 이미 알고 있다고 가정해 봅시다:

\[ \hat H_0|u_{n0}\rangle=E_n(0)|u_{n0}\rangle. \]

이미 알려진 상태들이 바로 우리의 기저 집합을 형성합니다. 인접한 파벡터 위에 있는 상태 역시 이들 상태들의 선형 결합으로 표현될 수 있습니다.

\[ |u_{\mathbf k}\rangle =c_1|u_{10}\rangle+c_2|u_{20}\rangle+\cdots. \]

계수들 \(c_1,c_2,\ldots\)은 각 기준 상태가 새로운 상태에 얼마나 기여하는지를 나타냅니다. 이 값들이 바로 계산 과정에서 파악해야 할 대상입니다. 이를 위해 해당 전개식을 k·p 방정식에 대입한 뒤 각 기저 상태에 사영시킵니다.

그 결과로 행렬 방정식이 도출된다. 이 행렬의 원소들은 다음과 같다:

\[ \boxed{ H_{nm}(\mathbf k) =\left[E_n(0)+\frac{\hbar^2k^2}{2m_0}\right]\delta_{nm} +\frac{\hbar}{m_0}\mathbf k\cdot\mathbf p_{nm} } \]

\[ \mathbf p_{nm} =\langle u_{n0}|\hat{\mathbf p}|u_{m0}\rangle. \]

기호 \(\delta_{nm}\)은 두 밴드 레이블이 동일할 경우 1이 되고 그렇지 않을 경우 0이 됩니다. 따라서 이 행렬의 대각 성분에는 기준 밴드 에너지와 자유전자의 이차항들이 포함됩니다. 비대각 성분들에는 서로 다른 밴드들 간의 운동량 상호작용이 나타납니다.

이러한 운동량 행렬 성분들은 k·p 이론에서 핵심적인 역할을 한다. 만약 특정 상호작용 값이 0이라면 해당 전자 상태들은 그 항을 통해 서로 혼합되지 않는다. 반면 그 값이 상당히 크다면, 기준점에서 벗어날 때 해당 상태들의 에너지 및 파동함수가 크게 변할 수 있다.

예제 풀이: 두 개의 밴드가 상호작용할 때 어떤 현상이 발생하는가?

8개 또는 10개 밴드 모델을 다루기에 앞서, 2개 밴드 모델이 어떻게 작동하는지 살펴보는 것이 유용합니다. 단지 하나의 전도대 상태와 하나의 가전대 상태만을 유지한다고 가정하며, 이들의 기준 에너지값은 각각 \(E_c\) 및 \(E_v\)입니다. 이 두 에너지값의 차이는 기준점에서의 밴드 갭을 나타내며, 그 값은 \(E_g=E_c-E_v\)입니다.

명확성을 위해 우리는 결정 내 한 방향으로의 운동을 고려하며, 파수벡터는 \(k\)로 설정합니다. 또한 기저 상태들의 위상을 조정하여 상호작용 매개변수 \(P\)가 실수가 되도록 합니다. 예시로 제시된 해밀토니안은 다음과 같습니다:

\[ \boxed{ H(k)= \begin{pmatrix} E_c+\dfrac{\hbar^2 k^2}{2m_0} & Pk\\[6pt] Pk & E_v+\dfrac{\hbar^2 k^2}{2m_0} \end{pmatrix} } \]

여기서 \(P=\hbar\langle u_{c0}|\hat p|u_{v0}\rangle/m_0\)은 선택된 방향을 나타냅니다. \(k=0\) 지점에서는 두 개의 비대각항이 0이 되지만, 기준점에서 멀어질수록 그 값이 증가합니다. 따라서 이 모델은 서로 독립적인 두 개의 포물선을 묘사하는 것이 아니라, 전도대와 가전자대 상태 간의 상호작용이 일어날 수 있음을 의미합니다.

허용되는 에너지값을 구하기 위해 우리는 양자우물 내의 국소화된 상태를 찾을 때와 마찬가지로 고유값 문제를 풉니다.

\[ H(k)\begin{pmatrix}c_c\\c_v\end{pmatrix} =E(k)\begin{pmatrix}c_c\\c_v\end{pmatrix}. \]

단일 에너지 값을 구하는 대신, 2×2 행렬을 통해 두 개의 에너지 분지가 도출된다. 이 단순화된 예시에서 해당 에너지 분지들은 다음과 같다:

\[ E_{\pm}(k)= \frac{E_c+E_v}{2}+\frac{\hbar^2k^2}{2m_0} \pm\sqrt{\left(\frac{E_g}{2}\right)^2+P^2k^2}. \]

\(k=0\) 지점에서는 예상대로 두 결과값이 각각 \(E_c\)와 \(E_v\)로 수렴합니다. \(k\) 값이 증가함에 따라 상호작용으로 인해 두 에너지값이 변하며 기저 상태들도 서로 혼합됩니다. 이러한 제곱근 의존성은 상호작용을 받는 밴드가 극값 지점에서 벗어나더라도 반드시 완벽한 포물선 형태를 유지할 필요가 없음을 보여줍니다.

물리적으로 중요한 점은 이 수식을 단순히 외우는 것보다 훨씬 중요합니다. 즉, 밴드의 형태는 해당 밴드 자체의 에너지뿐만 아니라 인접한 밴드들과의 상호작용에도 의존한다는 사실입니다.

유효질량은 어디서 발생하는가?

유한차분 시간영역법(FDTD)을 이용한 양자우물 시뮬레이션 튜토리얼에서는 유효질량을 입력 변수로 사용했습니다. 이제 앞서 제시된 2-밴드 모델을 통해 그 유효질량이 어디서 기인하는지 알아볼 수 있습니다. \(k=0\) 지점에 매우 근접한 영역에서는 작은 \(k\) 값에 대해 제곱근 함수를 전개함으로써 전도대 에너지를 근사화할 수 있습니다.

\[ E_+(k)\simeq E_c+ \left(\frac{\hbar^2}{2m_0}+\frac{P^2}{E_g}\right)k^2. \]

이를 우리가 익히 알고 있는 포물선형 표현식과 비교해보기 바랍니다.

\[ E(k)\simeq E_c+\frac{\hbar^2k^2}{2m_e^{*}}. \]

두 식 모두 수학적 형태가 동일합니다. 두 식의 이차항 계수를 일치시킴으로써 이 단순화된 2밴드 모델에서의 유효질량을 구할 수 있습니다.

\[ \boxed{ \frac{1}{m_e^{*}}= \frac{1}{m_0}+\frac{2P^2}{\hbar^2E_g} } \]

이 결과는 매우 유용합니다. 유효질량은 전자의 질량을 임의로 대체하는 값이 아닙니다. 이는 결정 내에서 전자의 상태가 다른 전자 밴드들과 상호작용하기 때문에 발생하는 현상입니다. 본 예시에서 밴드 갭이 작거나 상호작용이 강할수록 전도대의 곡률이 커지고 유효질량은 더 작아지게 됩니다.

실제 반도체에는 앞서 예시에서 다룬 두 개의 밴드뿐만 아니라 수많은 다른 밴드들이 존재합니다. 이러한 밴드들 간의 상호작용을 섭동론적으로 다룬다면, 고립된 밴드의 에너지에 대한 보정값은 다음과 같습니다:

\[ E_n(\mathbf k)\simeq E_n(0) +\frac{\hbar^2k^2}{2m_0} +\frac{\hbar^2}{m_0^2} \sum_{m\ne n} \frac{|\mathbf k\cdot\mathbf p_{nm}|^2} {E_n(0)-E_m(0)}. \]

각 인접 밴드는 그와의 운동량 상호작용 및 에너지 차이에 따라 영향을 미친다. 이로 인해 나타나는 곡률은 일반적으로 방향에 따라 달라지므로, 가장 완전한 기술 방식은 단일 스칼라 값인 유효질량 대신 유효질량 텐서를 사용하는 것이다. 대칭성이나 사용된 근사법에 따라 해당 방향들에서의 곡률이 동일하다고 간주할 수 있을 경우에만 스칼라 유효질량이 적절하게 활용될 수 있다.

한 가지 중요한 한계점이 존재합니다. 즉, 분모값이 작아서 두 밴드의 에너지가 서로 가까울 경우 섭동 이론식의 신뢰성이 떨어집니다. 이러한 경우에는 두 밴드 간의 상호작용을 단일 유효질량 내에 숨기는 대신 해밀토니안 내에 두 밴드를 명시적으로 포함시키는 것이 바람직합니다.

두 개의 밴드에서 다중 밴드 해밀토니안으로

다음 단계는 개념적으로 매우 간단합니다. 단지 두 개의 결정 상태만을 기준으로 삼는 대신, 우리는 기저 집합에 여러 관련 상태들을 포함시킵니다.

\[ |u_{\mathbf k}\rangle =\sum_{n=1}^{N}c_n(\mathbf k)|u_{n0}\rangle. \]

이 과정을 통해 \(N\)×\(N\) 크기의 해밀토니안 행렬이 생성된다. 대각선상의 각 원소는 기준 밴드와 그에 대한 이차 보정을 나타내며, 허용된 비대각선 원소들은 두 기저 상태 간의 상호작용을 기술한다. 특정 파수벡터에 대해 이 행렬을 풀면 모든 밴드 에너지와 해당 고유벡터 내 각 기저 상태의 기여도를 얻을 수 있다.

이는 특히 밸런스 밴드에서 중요한 문제입니다. 영역 중심부에서는 무거운 홀 상태와 가벼운 홀 상태가 축퇴 상태를 이룰 수 있는데, 각 상태에 독립적인 상수 유효질량을 할당하는 방식으로는 이들 간의 상호작용을 정확히 표현할 수 없습니다. 다중 밴드 해밀토니안 모델을 사용하면 파수벡터가 변함에 따라 해당 상태들이 자연스럽게 상호작용하도록 모사할 수 있습니다.

어떤 밴드들을 유지할지 결정해야 합니다. 일반적인 접근법으로는 관심 대상인 에너지 및 물리적 특성과 가장 관련이 깊은 상태들을 선택하는 것입니다. 보다 멀리 떨어져 있으나 제외된 상태들과의 상호작용은 유지된 해밀토니안의 매개변수에 보정항을 추가함으로써 대략적으로 반영할 수 있습니다. 이러한 이유로 서로 다른 k·p 모델들은 각기 다른 수의 밴드와 물질별 매개변수를 갖게 됩니다.

예를 들어, 일반적으로 사용되는 아연블렌드 기반 8밴드 모델에서는 s형 전도대 상태 하나와 각각 두 개의 스핀 성분을 갖는 p형 밸런스 오비탈 상태 세 개가 포함됩니다. 기저 집합의 구체적인 선택 방식, 대칭성 관련 항목 및 행렬 성분들에 대해서는 당사의 basis and Hamiltonians 장 및 재료별 모델 페이지에서 상세히 설명하고 있습니다.

왜 스핀과 스핀-궤도 결합이 필요한가?

지금까지 살펴본 단순한 2밴드 모델에서는 스핀 효과가 고려되지 않았습니다. 하지만 전자는 두 가지 스핀 성분을 지니고 있으므로 각 궤도 상태는 스핀 업 및 스핀 다운 기저 상태(또는 이에 상응하는 적절한 스핀 기저)로 표현되어야 합니다.

만약 스핀이 에너지에 아무런 영향을 미치지 않는다면 이 경우는 기존 문제를 단순히 반복하는 것에 불과할 것입니다. 실제 반도체 결정에서는 스핀-궤도 결합 현상도 나타나는데, 이는 전자의 스핀과 결정 내 전위장에 의한 운동 간의 상호작용을 의미합니다. 단순화된 파울리 표현법에 따르면 추가적인 해밀토니안은 다음과 같습니다:

\[ \hat H_{\mathrm{so}}= \frac{\hbar}{4m_0^2c^2} \boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\nabla V_{\mathrm{crystal}}\times\hat{\mathbf p}\right), \]

여기서 \(c\)은 빛의 속도를 나타내며 \(\boldsymbol{\sigma}\)는 파울리 행렬을 의미합니다. 본 문맥에서는 이 상대론적 항을 유도할 필요는 없으며 중요한 점은 그 물리적 결과입니다. 스핀과 궤도 특성이 더 이상 독립적이지 않게 되며, 원래라면 동일한 에너지를 갖게 될 특정 상태들도 서로 분리되게 됩니다.

흔히 알려진 징크블렌드 구조의 가전자대에서는 스핀-궤도 상호작용으로 인해 무거운정공, 가벼운정공 및 스플릿오프 대역이 형성되는데, 이때 스플릿오프 에너지는 보통 \(\Delta_{\mathrm{so}}\)로 표기됩니다. 이 대역들은 단순히 서로 무관한 세 개의 포물선 형태가 아니며, 그 특성과 상호작용은 파수벡터 및 결정의 대칭성에 따라 결정됩니다.

이것이 바로 8-밴드 k·p 모델이라는 명칭의 유래입니다. 즉, 하나의 전도대와 세 개의 정공대에 각각 두 개의 스핀 성분이 존재하므로 총 8개의 기저 상태가 형성됩니다. 실제 해밀토니안은 이들 사이에서 허용되는 운동량 및 스핀-궤도 상호작용을 모두 포함합니다. 이 모델을 활용한 양자우물 계산의 전체 과정은 GaAs/AlGaAs 8-밴드 아연블렌드 구조 k·p 튜토리얼에서 상세히 설명되어 있습니다.

어떻게 하면 이를 양자우물 모델 계산으로 전환할 수 있는가?

지금까지는 전자 에너지가 3차원 파수벡터에 따라 변하는 벌크 결정에 대해 설명해왔습니다. 양자우물을 기술하기 위해서는 이전 튜토리얼 페이지에서 소개된 기하학적 구조로 다시 돌아가야 합니다.

반도체 층들이 \(x\)-\(y\) 평면과 평행하게 형성되고 \(z\) 방향으로 적층된다고 가정해보자. 층 구조가 해당 방향으로 거의 균일하므로 면내 파벡터인 \(k_{\parallel}\)는 여전히 유용한 표지자로 활용될 수 있다. 그러나 전자는 \(z\) 방향으로는 움직임이 제한되므로, 이 방향에 대한 전자의 공간적 분포를 구해야만 한다.

일반적인 포락함수 기법에서는 벌크 k·p 해밀토니안 내의 성장 방향 파벡터를 미분 연산자로 대체합니다.

\[ \boxed{k_z\;\longrightarrow\;-i\frac{d}{dz}} \]

밴드 가장자리 및 기타 관련 물질 파라미터들은 \(z\)에 따라서도 변화할 수 있으며, 이는 서로 다른 반도체 층들을 반영하는 결과입니다. 이제 문제는 단일 파벡터에서 계산되는 일반적인 유한 행렬 문제가 아니라, 소자 전체에 걸쳐서 적용되는 포락함수들에 대한 일련의 결합 미분방정식으로 변모합니다. 인터페이스에서 파라미터가 변화할 경우, 해밀토니안이 물리적으로 타당하고 에르미트ian 성질을 유지하도록 연산자 순서와 매칭 조건들을 일관되게 설정해야 합니다.

가장 단순한 포물선형 모델에서는 전자 또는 정공에 대해 단일 스칼라 슈뢰딩거 방정식을 풀게 됩니다. 반면 다중 밴드 k·p 모델에서는 여러 개의 결합된 엔벨로프 함수 성분들을 함께 계산합니다. 이때 얻어지는 고유값들은 양자우물 내의 국소적 에너지 준위를 나타내며, 고유벡터들은 각 상태에 기여하는 밴드 특성들의 기여도를 알려줍니다.

\(k_{\parallel}\) 값을 여러 번 변경하여 계산을 반복함으로써 양자우물의 하위 밴드 구조를 도출할 수 있다. 서로 독립적인 포물선형 밴드들의 집합과는 달리, 이러한 하위 밴드들은 서로 혼합되거나 비포물선적으로 휘어질 수 있으며 평면 내 파수벡터가 증가함에 따라 그 특성도 변화한다.

추가된 물리적 요소를 통해 우리는 무엇을 계산할 수 있는가?

다중 밴드 계산의 장점은 단순히 보다 복잡해 보이는 밴드 다이어그램을 산출하는 데 그치지 않습니다. 이를 통해 전하 수송 및 광학적 과정에 관여하는 전자 상태에 대한 보다 현실적인 묘사를 얻을 수 있습니다.

저희가 작성한 광학적 전이 튜토리얼에서는 전자가 채워진 상태에서 비어있는 상태로 전이할 확률에 대해 설명했습니다. 전이의 세기는 초기 상태와 최종 상태의 파동함수 사이에 존재하는 행렬 요소에 의해 결정됩니다. 다중 밴드 고유벡터에는 각 전자 상태의 혼합된 궤도 및 스핀 특성에 관한 정보가 포함되어 있으며, 이는 광학적 전이의 방향과 세기를 계산하는 데 필수적입니다.

이러한 접근법은 편광 의존적 전이 현상, 광학적 이득, 자발적 방사 현상 및 밴드 간 혼합이 현저하게 일어나는 시스템을 연구할 때 특히 유용합니다. 구체적인 광학 행렬 요소들은 선택된 해밀토니안과 기저 함수에 따라 달라지지만, 일단 결합된 고유 상태들이 확보되면 이를 계산하는 것은 자연스럽게 이루어집니다.

OghmaNano에서의 k·p 모델

OghmaNano는 다양한 반도체 구조에 적용 가능한 여러 모델들을 제공합니다. 이들 모델은 여기서 설명된 일반적인 k·p 이론을 공유하지만, 각각 고유한 전자 상태를 가지며 각 결정계에 적합한 물질 파라미터들을 사용합니다.

• 8밴드 아연석 k·p 모델은 전도대와 p형 밸런스 대역들, 그리고 스핀 및 스핀-궤도 결합까지 포함한다.
• 10밴드 아연석 k·p 모델은 추가적인 결합 상태가 필요한 문제들을 해결하기 위해 확장된 전자 기저 집합을 활용한다.
• 8밴드 육방정계 k·p 모델은 육방정계 결정에 적합한 대칭성 및 밴드 매개변수를 활용한다.

다음 장에서는 실제 기저 상태들을 소개하고, 이들이 해석기들이 사용하는 해밀토니안 행렬들로 어떻게 구성되는지 설명합니다.