의사결정 에피택시와 변형 텐서

서로 다른 격자 상수를 갖는 기판 위에 층을 성장시킬 경우, 그 층은 기판의 면내 간격에 맞추어 변형된다. 이러한 의사결정 에피택시 과정에서 발생하는 변형은 피해야 할 문제가 아니라, 밴드 가장자리의 위치를 조절하고 중입자대와 경입자대를 분리시키며 방사 파장 및 편광 특성을 최적화할 수 있는 설계 수단이다. 본 문서에서는 OghmaNano에서 사용되는 변형 텐서를 유도하고 이 텐서가 k·p 해밀토니안에 어떻게 반영되는지 설명한다.

1. 의사결정 성장

임계 두께 이하에서는 얇은 층이 일관적으로 성장하는데, 이때 층 내의 평면상 원자 배열이 기판과 일치하므로 평면상 격자 상수는 기판의 값에 고정되고 성장 방향으로는 자유롭게 완화된다. 따라서 평면상 변형은

\[ \varepsilon_{xx} = \varepsilon_{yy} = \frac{a_{\text{sub}} - a_{\text{layer}}}{a_{\text{layer}}}, \]

여기서 \(a_{\text{sub}}\)과 \(a_{\text{layer}}\)는 각각 변형이 없는 기판과 층의 격자 상수입니다. 만약 층의 자연적인 격자 간격이 기판의 격자 간격(\(a_{\text{layer}} > a_{\text{sub}}\))보다 클 경우, 면내 변형값은 음수가 되어 층에 압축 변형이 발생하며 그 반대의 경우에는 인장 변형이 나타납니다. 격자 상수나 탄성 상수가 누락된 경우 OghmaNano는 오류를 표시하는데, 이는 변형을 정의할 수 없기 때문입니다.

2. 면외 방향 변형

성장 방향을 따라서는 층이 자유롭게 움직이므로 표면에 수직인 응력은 존재하지 않는다: \(\sigma_{zz}=0\). [001] 면 위에 성장한 입방정계 결정의 경우, 후크의 법칙에 따라 수직 응력은 탄성 상수 \(C_{11}\) 및 \(C_{12}\)를 통해 변형률과 연관된다.

\[ \sigma_{zz} = C_{11}\varepsilon_{zz} + C_{12}(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}) = 0. \]

\(\varepsilon_{xx}=\varepsilon_{yy}\)을 설정한 뒤 연산하면 OghmaNano에서 사용하는 관계식이 도출됩니다.

\[ \varepsilon_{zz} = -\,\frac{2 C_{12}}{C_{11}}\,\varepsilon_{xx}. \]

따라서 해당 층은 서로 반대 방향으로 변형된다. \(z\)압축 변형이 가해진 층 (\(\varepsilon_{xx}\)<0\)) stretches along the growth direction (\(\varepsilon_{zz}>0)이며 그 반대도 마찬가지입니다. [001] 방향으로의 성장 시 전단 성분들은 \(\varepsilon_{xy}, \varepsilon_{xz}, \varepsilon_{yz}\) 모두 0이므로 변형은 순수하게 이축 변형만 존재한다.

3. 등방성 변형 및 이축 변형 성분

변형을 부피를 변화시키는 등방성 변형 부분과 형상을 변화시키는 이축(전단) 변형 부분으로 나누는 것이 유용하다. 등방성 변형 부분은 변형 텐서의 대각합에 해당한다

\[ \mathrm{Tr}(\varepsilon) = \varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz} = 2\varepsilon_{xx}\left(1 - \frac{C_{12}}{C_{11}}\right), \]

이러한 등방성 변형은 변형 퍼텐셜을 통해 밴드 갭을 변화시킨다. \(\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{zz}\)에 비례하는 이축 변형 성분은 부피 변화를 일으키지 않으면서 가전자대의 축퇴 상태를 해소시키며, 실리콘의 경우에는 전도대 골짝을 분리시키는 효과를 낳는다. 이 두 변형 성분은 각각 서로 다른 해밀토니안 항을 통해 작용하므로 독립적으로 다룰 수 있다.

4. 밴드 가장자리에 미치는 영향

등방성 변형 성분은 전도대를 \(a_c\,\mathrm{Tr}(\varepsilon)\)만큼, 평균 가전자대를 \(a_v\,\mathrm{Tr}(\varepsilon)\)만큼 이동시켜 밴드 갭을 변화시킨다. 한편 이축 변형 성분은 전단 변형 퍼텐셜 \(b\) 및 \(d\)를 통해 가전자대에 영향을 미치며 무거운 정공과 가벼운 정공을 분리시킨다. 압축 변형은 일반적으로 무거운 정공을 가장 위쪽으로 밀어올려 TE 방향의 발광을 촉진하는 반면, 인장 변형은 가벼운 정공을 위로 밀어올려 TM 방향의 발광을 촉진할 수 있다. 이에 관한 구체적인 연산자 내용은 Bir–Pikus 페이지에 기술되어 있으며, 각 솔버가 변형 텐서를 어떻게 활용하는지에 대해서는 해당 페이지와 모델 페이지들(아연석형 구조, 윌츠자이트 구조, 실리콘, Luttinger–Kohn)에서 요약하고 있다.