Bir–Pikus 변형 해밀토니안

변형은 결정체의 퍼텐셜을 왜곡시켜서 가전자대의 위치 변화 및 혼합을 일으킨다. Bir–Pikus 해밀토니안은 운동량 k·p 가전자대 해밀토니안의 변형에 대한 대응 형태로서, 파동벡터의 곱 대신 변형 성분들이 사용된다는 점을 제외하면 구조상 동일하다. OghmaNano에서는 이 해밀토니안을 두 가지 동등한 형태로 구현하는데, 하나는 Luttinger–Kohn 솔버용의 간결한 \(P, Q, R, S\) 형태이며 다른 하나는 8-밴드 솔버용의 명시적인 직교좌표 형태이다.

1. P, Q, R, S 형식

전체 각운동량 기저에서, 정공에 대한 변형 해밀토니안은 네 가지 양으로 구성된다. 변형 퍼텐셜인 \(a_v\) (등방성 변형 관련) 및 \(b, d\) (전단 변형 관련)를 활용하여 OghmaNano는 계산을 수행한다.

\[ \begin{aligned} P &= a_v\,\mathrm{Tr}(\varepsilon), \\ Q &= \tfrac{1}{2}\,b\,(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}-2\varepsilon_{zz}), \\ R &= -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,b\,(\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{yy}) + i\,d\,\varepsilon_{xy}, \\ S &= -\,d\,(\varepsilon_{xz} - i\,\varepsilon_{yz}), \end{aligned} \]

\(\mathrm{Tr}(\varepsilon)=\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}\)을 이용하여 계산한다. \(P\)는 평균 정공대의 등방성 변위를 나타내며, \(Q\)는 무거운 정공과 가벼운 정공 간의 이축 분리를 의미한다. 또한 \(R, S\)는 전단이 없는 [001] 변형 조건에서는 소멸되는 전단 결합 항목들이다. 이 네 가지 변형량들은 루팅거-콘 해밀토니안의 운동학적 \(P, Q, R, S\) 항에 직접 더해지므로, 동일한 \(6\times6\) 행렬이 운동학적 현상과 변형 효과를 모두 기술하게 된다.

2. 직교좌표계 기반 X/Y/Z 형태

8-밴드 아연석 모델은 직교 좌표계 기반의 오비탈을 사용하므로 OghmaNano에서는 동일한 물리 현상을 \(3\times3\) 행렬이 \(|X\rangle, |Y\rangle, |Z\rangle\)에 작용하는 형태로 표현합니다.

\[ H^{\varepsilon} = \begin{pmatrix} a_v\mathrm{Tr}\varepsilon + b(2\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{yy}-\varepsilon_{zz}) & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xy} & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xz} \\[3pt] \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xy} & a_v\mathrm{Tr}\varepsilon + b(2\varepsilon_{yy}-\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{zz}) & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{yz} \\[3pt] \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xz} & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{yz} & a_v\mathrm{Tr}\varepsilon + b(2\varepsilon_{zz}-\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{yy}) \end{pmatrix}. \]

대각 성분은 등방성 변위 \(a_v\mathrm{Tr}(\varepsilon)\)와 축 방향 항 \(b(2\varepsilon_{ii}-\varepsilon_{jj}-\varepsilon_{kk})\)를 결합한 것이며, 전단 결합에 해당하는 비대각 항 \(\sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{ij}\)는 [001] 방향의 이축 변형 조건 하에서는 0이 된다. 이 변형 퍼텐셜은 스핀에 의존하지 않으므로 OghmaNano는 이 \(3\times3\) 행렬 블록을 스핀 업 및 스핀 다운 정공 오비탈 모두에 동일하게 적용한다.

3. 두 형태의 수식이 일치하는 이유

직교좌표계 형태와 \(P, Q, R, S\) 형태는 \(|X\rangle,|Y\rangle,|Z\rangle\) 오비탈들을 \(|J,m_j\rangle\) 상태들로 연결하는 동일한 유니타리 변환에 의해 상호 연관된다. 예를 들어, 직교좌표계에서의 대각선 차이값 \(b(2\varepsilon_{zz}-\varepsilon_{xx}- \varepsilon_{yy})\)는 위에서 정의된 대로 \(Q\)를 사용하여 정확히 \(-2Q\)와 일치하며, 전단 항들은 각각 \(R\) 및 \(S\)에 대응된다. 두 형태 모두 동일한 세 개의 변형 퍼텐셜을 사용하며 동일한 가전자대 에너지값을 산출하는데, 어떤 형태를 선택할지는 각 솔버가 사용하는 기저에 따라 편의성에 따라 결정된다.

4. 변형 퍼텐셜

세 개의 변형 퍼텐셜 값이 원자가대의 변형 반응을 결정한다. 등방성 변형 퍼텐셜 \(a_v\)은 체적 변화에 따른 원자가대 에너지의 평균적 이동 양상을 결정하며, 전도대 변형 퍼텐셜 \(a_c\)와 결합하여 밴드갭 변형 퍼텐셜 \(a = a_c - a_v\)을 형성한다. 축 방향 변형 퍼텐셜 \(b\)는 [001] 방향의 이축 변형 하에서 무거운 정공과 가벼운 정공의 분리 현상을 조절하며, \(d\)는 다른 방향으로 가해지는 전단 변형에 대한 반응을 제어한다. 이 세 변형 퍼텐셜 모두 에너지 단위(eV)를 가지며 일반적으로 원자가대에서는 음수 값을 갖는다. 각 값과 부호 규칙에 관해서는 material-parameters 페이지에서 상세히 설명하고 있다.