실리콘 양자우물과 여섯 개의 전도대 골짜기

왜 실리콘은 GaAs와 다른가?

포물선형 대역 튜토리얼에서는 전도대 최저점과 단일 유효질량만을 갖는 양자우물 모델을 설명하였다. 이는 최저 전도 상태가 브릴루앙 구역 중심(감마점)에 위치하는 GaAs와 같은 직접갭 반도체 재료를 다룰 때 유용한 출발점이 된다. 그러나 실리콘의 경우 최저 전도 상태가 감마점에서 멀리 떨어져 있으므로 별도의 개념이 필요하다.

실리콘은 단 하나의 전도대 골짜기만을 갖는 것이 아니라, 여섯 개의 등가적인 전도대 골짜기가 존재하며 이들은 통상적으로 델타(Δ) 골짜기라 불린다. ??에 나타난 바와 같이 이 골짜기들은 세 개의 입방축인 +x, −x, +y, −y, +z, −z 방향에 위치한다. 각각의 전도대 골짜기는 전자들이 에너지가 국소적으로 최소값을 갖는 상태를 차지할 수 있는 영역이다.

변형이 없는 벌크 실리콘 결정에서는 대칭성으로 인해 여섯 개의 전도대 골짜기들이 모두 동일한 에너지를 갖는다. 그러나 실리콘이 양자우물 구조로 제작될 경우 그 유한한 두께로 인해 특정 방향이 두드러지게 된다. 그 결과, 벌크 상태에서는 동일한 에너지 그룹에 속했던 여러 전도대 골짜기들도 양자우물 내에서는 서로 다른 양자구속 효과를 받게 된다.

골짜기란 실제로 무엇을 의미하는가?

골짜기란 실리콘 내부에 존재하는 물리적인 공동이 아닙니다. 이는 결정체의 파동벡터에 따른 전자 에너지 그래프상의 최소값을 의미합니다. 특정 골짜기 근처에서의 밴드 구조를 살펴보면, 그 에너지 분포 역시 대략 포물선 형태를 띱니다. 그러나 입문용 모델에서 사용되는 등방성 포물선과는 달리, 실리콘 골짜기의 곡률은 역격자 공간 내에서 이동하는 방향에 따라 달라집니다.

각 전도대 골짜기 주위의 등에너지면은 위 그림에서 개략적으로 나타낸 바와 같이 길쭉한 타원체 형태로 간주할 수 있다. 이 타원체의 길쭉한 방향이 바로 전도대 골짐의 축을 결정한다. 이 축 방향에 해당하는 유효질량을 종방향 질량이라 부르며, 그에 수직인 두 방향의 유효질량은 횡방향 질량이라 부른다.

역격자 공간상에서의 전도대 골짐 위치와 실제 공간상의 전자 궤적을 명확히 구분해야 한다. +z 방향에 위치한 전도대 골짐이라 하더라도 전자들이 소자 내에서 오직 위쪽으로만 이동한다는 의미는 아니다. 이는 해당 골짐이 결정의 밴드 구조상 +z 방향에 위치한다는 의미일 뿐이다. 해당 골짐 주위에서의 전자 운동은 여전히 세 방향으로 나타나며 각 방향마다 서로 다른 유효질량을 갖는다.

종방향 및 횡방향 유효질량

특정 전도대 골짐 근처에서 전자 에너지는 이방성 포물선 근사법을 이용해 표현할 수 있다. 축이 z 방향인 전도대 골짐의 경우 다음과 같이 식을 쓸 수 있다:

\[ E(\mathbf{q})=E_{c,\Delta} +\frac{\hbar^2 q_x^2}{2m_t} +\frac{\hbar^2 q_y^2}{2m_t} +\frac{\hbar^2 q_z^2}{2m_l}. \]

여기서 \(\mathbf{q}\)은 감마점이 아닌 특정 전도대 골짜기의 중심을 기준으로 한 파벡터를 나타냅니다. \(E_{c,\Delta}\)는 전도대 골짜기 최저점에서의 에너지값입니다. 실리콘에는 두 가지 특징적인 유효질량이 존재합니다:

• 종방향 질량\(m_l\): 전도대 골짐축을 따른 방향에서의 유효질량으로, 대략 \(0.916m_0\) 값을 가진다.
• 횡방향 질량\(m_t\): 골짜기 축에 수직인 방향에서의 유효질량으로, 대략 \(0.190m_0\) 수준이다.

종방향 질량은 횡방향 질량보다 현저히 크다. 따라서 운동 방향에 따라 에너지 증가율도 달라진다. 특정 축에 종방향 질량 값을 대입하면 x축 또는 y축 방향에 위치한 전도대 골짐에도 동일한 식이 적용된다.

이러한 차이점이 바로 실리콘 양자우물을 흥미롭게 만드는 요소입니다. 즉, 양자구속에 영향을 미치는 유효질량은 우리가 고려하는 전도대 골짜기에 따라 달라지기 때문입니다.

실리콘 양자우물을 제작하면 어떤 현상이 일어나는가?

적절한 장벽층, 예컨대 Si/SiGe 헤테로구조로 둘러싸인 실리콘 층을 가정해보자. 이 층은 얇으며 성장 방향이 z축이며 반도체 층들은 x-y 평면상으로 확장되어 있다. 앞서 설명한 양자우물 개론에서와 같이 층 내부에서의 운동은 양자화되지만 층에 평행한 방향의 운동은 자유롭게 유지된다. 그러나 이제 6개의 전도대 골짜기들은 모두 제한 방향에서 동일한 유효질량을 갖지 않는다.

+z 및 −z 방향을 따라 축이 배열된 두 개의 전도대 골짐은 큰 종방향 질량을 갖는다 \(m_l\) 제한 방향에서는 횡방향 질량이 더 가볍다. 나머지 네 개의 전도대 골짐은 ±x 및 ±y 방향을 가리키며 횡방향 질량이 더 작다. \(m_t\) 해당 방향에서 말이다. [001] 방향으로 성장하는 경우 이 두 그룹은 다음과 같이 불린다:

• Δ₂: 성장 방향인 +z 및 −z 축과 일치하는 두 개의 전도대 골짐.
• Δ₄: 축이 층면에 평행한 네 개의 전도대 골짐으로서 각각 ±x 및 ±y 방향에 위치한다.

이러한 차이가 왜 중요한가? 무한한 양자우물에서의 최저 에너지에 대한 결과를 떠올려보자.

\[ E_1=\frac{\pi^2\hbar^2}{2m_z L^2}. \]

여기 \(m_z\) 이는 양자우물 내에서의 유효질량을 나타냅니다. \(L\) 이는 양자우물의 폭입니다. 이 방정식은 다음과 같은 사실을 알려줍니다. 더 큰 유효질량을 갖는 경우 양자구속 에너지가 더 작아진다다른 조건이 동일하다고 가정할 때, [001] 방향 양자우물 내에서 Δ₂ 상태들은 Δ₄ 상태들에 비해 더 낮은 구속 에너지를 갖는다. 구속 효과만으로도 스트레인을 가하기 전부터 두 상태들의 하위 대역 최솟값을 분리시킬 수 있다.

여섯 개의 전도대 골짐 모두 z축 방향으로는 억제 효과를 받지만, 각각의 전도대 골짐은 서로 다른 유효질량 값을 갖는다. 또한 층면에 평행한 방향에서의 에너지 분산 특성 역시 각 전도대 골짐마다 종방향 및 횡방향 질량이 다르기 때문에 상이하게 나타난다.

스트레인은 전도대 골짐의 에너지를 어떻게 변화시키는가?

이러한 전도대 골짜기들을 제어하는 또 다른 중요한 방법이 존재한다. 격자 상수가 서로 다른 물질 위에 실리움 박막층을 성장시키면 결정 격자가 늘어나거나 압축될 수 있는데 이를 스트레인이라고 한다. 스트레인은 결정 환경을 변화시키므로 전도대 골짜기들의 에너지 위치도 변하게 된다. 이때 각 전도대 골짜기마다 에너지 변화 정도가 반드시 동일할 필요는 없다.

실리콘 Δ-골짜기 모델에서는 에너지 변화량이 다음과 같이 표현된다:

\[ \boxed{ \Delta E_{c,i}= \Xi_d\,\operatorname{Tr}(\varepsilon) +\Xi_u\,\varepsilon_{ii} } \]

표기법이 복잡해 보이지만 이 방정식에는 물리적으로 두 가지 효과만 포함되어 있다. 변형률 텐서 \(\varepsilon\)는 결정체의 변형 상태를 나타내며, 그 궤적값은 세 개의 정규 변형률 성분들의 합이다:

\[ \operatorname{Tr}(\varepsilon) =\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}. \]

• \(\Xi_d\)은 체적 관련 변형 퍼텐셜로서 전체 체적 변화에 따른 변형량에 비례하여 여섯 개의 전도대 골짜기 모두를 동일한 양만큼 이동시킨다.
• \(\Xi_u\)은 단축 변형 퍼텐셜로서, 각 전도대 골짜기 축 방향의 변형률에 곱해져서 서로 다른 방향을 가진 전도대 골짜기들이 각기 다른 양만큼 에너지가 이동하도록 한다.

두 번째 항에서 인덱스 \(i\)은 전도대 골짐의 축을 나타냅니다. x축 방향의 전도대 골짐에는 \(\varepsilon_{xx}\)가, y축 방향의 경우 \(\varepsilon_{yy}\)가, z축 방향의 경우 \(\varepsilon_{zz}\)가 사용됩니다. 이 모델에서는 동일한 축상에 위치한 + 및 − 전도대 골짐들은 동일한 에너지 이동량을 갖게 됩니다.

왜 Δ₂와 Δ₄ 그룹 간의 분리가 발생하는가?

가장 일반적인 예로는 이방성 변형이 가해진 [001] 방향의 실리콘 층을 들 수 있다. 층에 평행한 두 방향에서의 변형은 동일하므로 \(\varepsilon_{xx}=\varepsilon_{yy}=\varepsilon_{\parallel}\)가 성립한다. 반면 층에 수직인 방향의 변형인 \(\varepsilon_{zz}\)는 결정이 해당 방향으로 탄성적으로 이완되기 때문에 일반적으로 다르게 나타난다.

따라서 당사의 변형 방정식은 두 개의 Δ₂ 골짜기에 대해 하나의 에너지 이동값을, 네 개의 Δ₄ 골짜기에 대해서는 또 다른 에너지 이동값을 산출하게 됩니다.

\[ \begin{aligned} \Delta E_{\Delta_2} &=\Xi_d\operatorname{Tr}(\varepsilon) +\Xi_u\varepsilon_{zz},\\[5pt] \Delta E_{\Delta_4} &=\Xi_d\operatorname{Tr}(\varepsilon) +\Xi_u\varepsilon_{\parallel}. \end{aligned} \]

이 두 식을 서로 빼보면 밸리 분리 현상의 원인이 매우 명확해진다. 즉 공통적인 팽창성 성분이 상쇄되고 남는 것은

\[ \boxed{ \Delta E_{\Delta_2}-\Delta E_{\Delta_4} =\Xi_u\big(\varepsilon_{zz}-\varepsilon_{\parallel}\big) }. \]

실리콘에 인장성 평면 변형이 가해질 경우 수직 방향의 변형은 압축성으로 나타난다. 기존에 정의된 양의 값을 갖는 \(\Xi_u\)을 적용하면 ??에서 보듯이 Δ₂ 골짜기들이 Δ₄ 골짜기들에 비해 에너지가 낮아진다. 이로 인해 전하 캐리어들이 여러 전도대 골짜기들 사이에서 어떻게 분포하는지가 변하게 된다.

이제 우리는 실리콘 양자우물이 두 가지 서로 다른 메커니즘의 영향을 받는다는 점을 알 수 있다. 즉, 앞서 설명한 방향 의존적 양자구속 에너지와 변형에 의해 발생하는 방향 의존적 에너지 이동이다. 이 두 요인 모두 최종적으로 Δ₂ 및 Δ₄ 서브밴드의 위치를 결정하게 된다.

OghmaNano는 어떻게 실리콘 양자우물을 계산하는가?

여섯 개의 전도대 골짜기를 고려하는 것은 언뜻 보면 대규모 다중밴드 문제처럼 들릴 수 있으나, 각 골짜기는 당사의 parabolic-band 페이지에서 소개된 스칼라 유효질량 개념을 이용해 다룰 수 있습니다. 주된 차이점은 각 골짜기가 서로 다른 방향성 유효질량을 가지며, 변형에 따라 밴드 가장자리 위치도 달라질 수 있다는 점입니다.

특정 전도대 골짜기에 대해 OghmaNano는 양자우물 내에서 1차원 포락함수 방정식을 풀어낸다:

\[ -\frac{\hbar^2}{2}\frac{d}{dz} \left[\frac{1}{m_z(z)}\frac{d\psi(z)}{dz}\right] +V_{\Delta}(z)\psi(z)=E\psi(z). \]

유효질량 \(m_z(z)\)은 전도대 골짐의 방향 및 해당 반도체 재료에 따라 결정되며, \(V_{\Delta}(z)\)에는 관련 밴드 가장자리 프로파일과 변형에 의한 에너지 변화가 포함된다. 이후 적절한 x축 및 y축 방향의 질량값을 이용하여 면내 운동을 계산하게 된다.

\[ E_n(k_x,k_y)=E_n(0,0) +\frac{\hbar^2 k_x^2}{2m_x} +\frac{\hbar^2 k_y^2}{2m_y}. \]

[001] 방향의 구조에서는 독립적 골짜기 근사법에 따라 +z와 −z 골짜기가 동일한 유효질량 값을 가지며, ±x 및 ±y 방향의 골짜기들 역시 방향에 따라 그룹화될 수 있다. 따라서 이 계산법을 통해 여섯 개의 실리콘 전도대 골짜기에 해당하는 구속 에너지와 면내 분산 특성을 산출할 수 있으며, 대규모 결합 해밀토니안을 별도로 구성할 필요가 없다. 이 모델을 활용한 실리콘/규소게르마늄 시스템의 전체 예시는 실리콘 Δ-골짜기 양자우물 튜토리얼에서 확인할 수 있다.

하지만 이 모델에는 중요한 한계가 존재한다. 이 모델에서는 동일한 축상에 위치한 두 대칭적인 전도대 골짜기들을 서로 독립적인 상태로 간주한다. +z 및 −z 방향의 전도대 골짜기들을 연결하는 원자 단위로 매끄러운 계면들에 의해 발생하는 추가적인 에너지 분열 현상은 앞서 제시된 질량 및 변형 관련 방정식으로는 설명되지 않는다. 이를 설명하려면 별도의 전도대 골짜기 간 결합 처리가 필요하다.

왜 전도대 골짜기 분리가 유용한가?

Δ₂ 및 Δ₄ 골짜기 그룹들의 상대적 위치를 변경하면 특정 온도와 전하 캐리어 밀도에서 어떤 전자 상태가 차지되는지가 달라진다. 각 골짐 그룹들이 서로 다른 전하 캐리어 이동도를 갖기 때문에, 이들의 상대적 분포를 조절함으로써 반도체 층에 평행한 방향의 전하 수송 특성을 변화시킬 수 있다. 이러한 현상은 변형된 실리콘 및 Si/SiGe 헤테로구조에서 나타나는 중요한 물리적 기작 중 하나이다.

실리콘은 또한 양자우물 모델링에 있어서 중요한 교훈을 보여준다. 즉, 층의 두께와 밴드 오프셋만 알고 있으면 충분하지 않다는 점이다. 역격자 공간에서 밴드 최소점이 어디에 위치하는지, 유효질량이 방향에 따라 어떻게 변하는지, 그리고 변형이 결정 구조에 어떤 영향을 미치는지도 반드시 파악해야 한다.