실리콘/SiGe 양자 우물: 6개의 Δ-밸리와 전자 이동도 해석 튜토리얼

1. 서론

앞서 살펴본 양자 우물 예제들에서는 직접갭 III-V족 반도체를 사용하여 구속된 전도대 및 가전자대 상태와 광학적 전이 현상을 계산했습니다. 그러나 실리콘의 경우에는 상당히 다른 접근법이 필요합니다. 실리콘의 전도대 최저점은 브릴루앙 영역의 중심(Γ점)에 위치하지 않습니다. 대신, 벌크 실리콘에는 세 개의 입방 결정축을 따라 서로 반대 방향으로 배열된 여섯 개의 등가 전도대 최저점, 즉 Δ-밸리들이 존재합니다. 캐리어들이 얇은 층 내에 구속될 때 이러한 각 밸리별로 서로 다른 유효질량의 영향이 특히 중요해집니다.

여기서 우리는 두 개의 20nm 두께 SiGe 층 사이에 위치한 10nm 두께의 실리콘 양자 우물을 시뮬레이션할 것입니다. 전자 하위대의 분산 특성을 조사한 뒤 광학 관련 튜토리얼들보다 더 심도 있게 계산을 진행할 텐데, 구체적으로는 음향 포논 산란 현상부터 전하 캐리어의 운송 이완 과정, 전자 시트 밀도, 페르미 준위 및 전하 캐리어 이동도까지 분석하게 됩니다. 본 시뮬레이션의 초점은 전자 운송 현상에 있으며 직접적인 광학 이득에는 있지 않습니다. 실리콘은 간접갭 반도체이기 때문입니다.

2. 실리콘 Δ-밸리 예제 열기

OghmaNano에서 파일 → 새 시뮬레이션 메뉴를 선택합니다. 템플릿 브라우저에서 GaAs 데모 카테고리(??)를 더블클릭합니다. 이 컬렉션에는 기타 반도체 양자 우물 모델들도 포함되어 있습니다. 다음 창에서 변형된 Si/SiGe Δ-밸리 양자 우물 항목(??)을 엽니다. 처음 실행 시에는 기본 설정을 그대로 유지하여 아래에 제시된 그래프들과 비교해보도록 합니다.

3. Si/SiGe 층 구조 확인하기

디바이스 구조 패널에서 ‘Layer editor’를 클릭하면 예시 구조를 확인할 수 있습니다(??). 구속 방향은 세 층을 관통하는 방향이며(여기서는 z축으로 간주됨); 전자들은 여전히 x-y 평면 내에서 양자 우물과 평행하게 이동할 수 있습니다.

에디터에 표시되는 광학-물질 항목들을 전자 밴드 오프셋이나 게르마늄 몰 분율에 대한 완전한 사양으로 오해해서는 안 됩니다. 이 값들은 설정된 물질 파라미터에 따라 결정됩니다. 일단은 제공된 예시를 그대로 유지하시기 바랍니다.

전기적 파라미터 편집기를 열고 Si (QW) 탭(??)을 선택하면 재료 데이터를 확인할 수 있습니다. 실리콘 재료 라이브러리에는 온도에 따라 변하는 반도체 파라미터들이 포함되어 있습니다. Si/SiGe 구조에 대한 정확한 계산을 위해서는 단순히 벌크 실리콘의 밴드갭 값만을 사용하기보다는 전하 캐리어 이동도, 밴드 오프셋, 게르마늄 조성비 및 변형 상태 등을 모두 검토하는 것이 바람직합니다.

4. 왜 실리콘에는 6개 밸리 모델이 필요한가?

우물면 내에서 움직이는 전자를 가정해보자. 일반적인 등방성 포물선 모델에서는 전자의 에너지가 오직 파동벡터의 크기에만 의존한다. 그러나 실리콘의 경우 각 Δ-밸리는 축 방향으로는 더 무거운 종방향 질량을, 그에 수직인 방향으로는 더 가벼운 횡방향 질량을 갖는 타원체 형태를 띤다. 이러한 밸리들은 ±x, ±y, ±z 방향으로 세 쌍을 이루며, 각 쌍은 양자 우물의 성장 방향에 따른 방향성에 적합한 질량값으로 처리된다.

특정 밸리에 대해, 유효질량에 따른 구속 문제는 개략적으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

\[ \left[-\frac{\hbar^2}{2}\frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{1}{m_z^{*}(z)}\frac{\partial}{\partial z}\right) +V_{\Delta}(z)+\frac{\hbar^2 k_x^2}{2m_x^{*}(z)} +\frac{\hbar^2 k_y^2}{2m_y^{*}(z)}\right]\psi(z) =E(k_x,k_y)\psi(z). \]

여기서 \(V_{\Delta}\)은 선택된 밸리에 대한 전도대 구속 전위로, 스트레인으로 인한 에너지 변화분도 포함합니다. 각 층마다 전하 캐리어 이동도의 값은 달라질 수 있습니다. 중요한 점은 z 방향의 질량이 전자 하위대의 구속 정도를 결정하며, 두 개의 평면 내 질량은 하위대 분산의 기울기와 곡률을 결정한다는 사실입니다.

(001) 방향으로 배열된 양자 우물의 경우, ±z 쌍(일반적으로 Δ2로 불림)은 구속 방향을 따라 종방향 질량을 갖는다. 반면 네 개의 ±x/±y 밸리(Δ4)는 z 방향으로 횡방향 질량을 갖는다. 응력이 존재하지 않더라도 이들 각각의 구속 에너지는 반드시 일치할 필요가 없다. 응력은 또한 각 밸리의 경계를 더욱 분리시키는데, 그 정도는 대략 다음과 같다.

\[ \Delta E_{c,i}=\Xi_d\,\mathrm{Tr}(\varepsilon)+\Xi_u\,\varepsilon_{ii}, \qquad i\in\{x,y,z\}. \]

첫 번째 항은 전체 팽창률에 따라 모든 밸리의 방향을 이동시키는 반면, 두 번째 항은 각 밸리 축을 따른 변형 성분을 구분해줍니다. 이러한 Δ2/Δ4 간의 에너지 차이는 한 쌍 내에 위치한 두 반대쪽 밸리들 사이에서 발생하는 미세한 계면 유도 분리 현상과는 다릅니다. 후자의 현상은 추가적인 밸리 간 결합 물리학적 모델을 필요로 하며, 이 그래프만으로는 그러한 현상을 추론해서는 안 됩니다. 보다 상세한 배경 정보는 실리콘 Δ-밸리 이론 페이지를 참조하시기 바랍니다.

5. 시뮬레이션을 실행하십시오

파일 리본으로 돌아가서 ‘시뮬레이션 실행’을 클릭하십시오. 그러면 모델이 여러 평면 파동벡터에 대해 구속된 전도대 상태를 계산한 뒤 전자 산란 및 수송 관련 결과를 산출합니다. ??에서 터미널은 이미 음향 산란 계산 단계에 도달해 있습니다. 시뮬레이션 진행 중 표시되는 백분율은 최종 산란 결과가 아니라 진행 상황을 나타내는 지표입니다.

실행이 완료될 때까지 기다린 뒤 Output 탭을 이용해 플롯들을 열어보세요. 본 튜토리얼에서는 먼저 밴드 분산을 살펴보고, 그 다음에는 특정 파동벡터에 따른 산란률 및 전자 상태 밀도에 의존하는 드리프트-확산 관련 물리량들을 검토할 예정입니다.

6. 전도대 분산 특성 해석하기

전도대 출력 결과를 열면 ??을 확인할 수 있습니다. 평면 내 파동벡터가 0일 때 각 하위대는 각기 다른 구속 에너지에서 시작합니다. \(k_{\parallel}\) 값이 증가하면 각 하위대의 에너지도 상승하지만, 상승률은 하위대마다 다릅니다. 특정 방향에서의 유효 평면 내 질량이 더 크기 때문에 일부 하위대는 상대적으로 완만한 기울기를 보입니다. 서로 다른 방향성을 지닌 밸리들에서 기원한 하위대들은 서로 가까워지거나 교차할 수 있으나, 이러한 근접성을 무조건 다중 밴드 반교차 현상으로 해석해서는 안 됩니다.

균일한 질량을 갖는 영역에서는 특정 방향으로 정렬된 밸리에서 평면 내 분산 특성이 나타난다.

\[ E_n(k_x,k_y)\simeq E_n(0)+\frac{\hbar^2 k_x^2}{2m_x^{*}} +\frac{\hbar^2 k_y^2}{2m_y^{*}}. \]

따라서 여러 색상으로 표시된 곡선들을 단일한 등방성 포물선의 복사본으로 해석하기보다는, 면내 파수벡터의 방향을 살펴보는 것이 유용합니다. 여기서 사용된 에너지 기준값은 예제에서 활용된 값이며, 각 전자 하위대 에너지 간의 차이가 그 절대적 오프셋보다 훨씬 유용한 정보를 제공하는 경우가 많습니다.

7. 음향포논 산란부터 운동량 완화까지

해당 밴드 다이어그램은 어떤 전자 상태들이 존재하는지를 알려줍니다. 다만 이 정보만으로는 전자들이 양자 우물 내에서 얼마나 쉽게 이동할 수 있는지는 알 수 없습니다. 전하 캐리어 이동도를 계산하려면 음포논이 전자를 현재 상태에서 얼마나 자주 산란시키는지, 그리고 그러한 산란 현상이 전자의 운동 방향을 얼마나 효과적으로 변화시키는지도 고려해야 합니다.

Output 탭(??)에서 산란 결과 데이터를 열어보세요. 예시 데이터에는 일반적인 포논 산란률과 운송 가중 산란률이 모두 포함되어 있습니다. 이 둘의 차이는 단순한 표현상의 차이가 아닙니다. 매우 작은 각도로 발생하는 충돌은 전자의 상태를 변화시킬 수 있지만 전체 운동량의 완화에는 거의 기여하지 않을 수 있기 때문입니다.

음포닌 산란 과정의 출발점은 페르미의 황금법칙이며, 이는 개략적으로 다음과 같다.

\[ W_{i\rightarrow f}=\frac{2\pi}{\hbar}|M_{fi}|^2 \,\delta(E_f-E_i\pm\hbar\omega_{\mathbf q}), \]

여기서 상호작용 행렬 요소 \(M_{fi}\)는 변형전위 결합 및 초기와 최종 상태의 구속된 전자 상태 간의 중첩을 포함한다. 부호의 차이에 따라 일반적인 경우에서 음향포논의 흡수 또는 방출이 가능하다. 본 예시에서 다루는 음향포논 계산에서는 일반적인 근사법인 거의 탄성적이며 열적 성질을 갖는 음향포논 근사법이 사용된다. 구속된 전자 상태 계산 시에는 종방향 및 횡방향 음향분극과 더불어 면에 수직인 방향의 음향포논 파벡터도 함께 고려된다.

수송률은 추가적인 각도 가중치를 도입한다. 본 모델에서 사용된 단순한 운동량 방향 모델에서 이 가중치의 역할은 다음과 같이 요약할 수 있다.

\[ \frac{1}{\tau_{\mathrm{tr}}(i)} =\sum_f W_{i\rightarrow f}\bigl(1-\cos\theta_{if}\bigr), \qquad \tau_{\mathrm{tr}}=\frac{1}{\Gamma_{\mathrm{tr}}}. \]

전방 산란 현상(작은 \(\theta_{if}\) 값)은 이와 같은 수송 측정에서 억제되는 반면 후방 산란은 보다 강하게 나타난다. 바로 이러한 이유로 전체 포논 산란 수명과 수송 수명이 반드시 동일할 필요는 없다. 예시로 제시된 수송률 그래프는 ??에 나타나 있으며, 해당 범위 내에서 그래프의 값은 일반적으로 파동벡터가 커짐에 따라 증가한다. 이 그래프의 정확한 형태는 하위대의 종류, 허용되는 최종 상태, 재료 파라미터 및 포논 중첩 정도에 따라 달라진다.

선택된 출력 결과는 x 방향 밸리 계열 및 하나의 전자 하위대에 대한 것이며, 이만으로는 6개 밸리를 갖는 전자 기체의 전체 전하 캐리어 이동도를 나타내지 않습니다. 또한 샘플링된 출력 결과에서 \(k=0\) 지점에서 산란률이 0이거나 존재하지 않는다고 해서 그 지점에서 전자가 전혀 산란하지 않는다는 증거로 해석해서는 안 됩니다.

8. 페르미 준위부터 전하 캐리어 이동도까지

전하 캐리어 이동도는 임의로 선택된 파동벡터 하나에 대해서만 평가되지 않습니다. 전자들은 다양한 가능한 상태들을 점유하고 있으며, 점유된 상태의 범위는 시트 캐리어 밀도에 따라 달라집니다. 따라서 시뮬레이션에서는 요청된 2차원 밀도에 적합한 페르미 준위를 결정한 뒤, 점유된 하위대들과 각 밸리 방향에 걸쳐서 드리프트-확산 관련 반응값들을 평균화하게 됩니다.

에너지가 \(E\)인 전자 상태에 대한 페르미-디랙 분포는

\[ f(E;E_F,T)=\frac{1}{1+\exp\!\left[(E-E_F)/(k_BT)\right]}. \]

평면 내 파동벡터들과 관련된 전자 하위대들에 걸쳐 점유된 상태들을 합산하면 m\(^{-2}\) 단위의 면밀도 \(n_{2D}\)가 산출된다. \(n_{2D}\) 값을 증가시키려면 일반적으로 전자 페르미 준위를 높여야 하며, 이러한 변화 과정은 아래 첫 번째 그래프에 그대로 나타나 있다.

드리프트-확산 이완시간 모델에 따르면, 지정된 면내 축 방향의 전도도는 밴드 속도와 전송 수명을 이용해 표현될 수 있다.

\[ \sigma_{xx}^{2D}=e^2\sum_{n,v}\int\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} v_{n,v,x}^2(\mathbf{k}_{\parallel})\, \tau_{n,v,\mathrm{tr}}(\mathbf{k}_{\parallel}) \left(-\frac{\partial f}{\partial E}\right), \qquad \mu_x=\frac{\sigma_{xx}^{2D}}{e\,n_{2D}}. \]

여기서 \(v_{n,v,x}\)은 밸리 계열 \(v\)에 속하는 하위대 \(n\)에서의 전자 그룹 속도 x성분을 나타냅니다. 물리적으로 동등한 방향성들을 합산할 때에는 각 밸리의 중첩 수가 고려됩니다. 계수 \(-\partial f/\partial E\)는 모든 점유 상태를 동일하게 가중하는 대신, 작은 외부 전기장에 반응할 수 있는 상태들에 더 큰 가중치를 부여합니다.

계산된 전하 캐리어 이동도는 ??에 제시된 전하 밀도 범위 내에서 약 0.57에서 0.49 m2 V−1 s−1로 감소한다. 동시에 ??에 나타나듯이 유효적인 드리프트-확산 산란률은 증가한다. 이러한 현상은 해당 시뮬레이션 환경에서 전하 밀도에 따라 운동량 완화 현상이 더 강하게 나타나는 전자 상태에 더 큰 가중치가 부여되기 때문이다. 여기서 도출된 유효 수명값은 운송 과정에 가중치가 반영된 수치이며, 이 값의 역수를 단독으로 도출된 포논 산란률과 혼동해서는 안 된다.

이 예시는 설정된 산란 모델에 의해 예측된 전하 캐리어 이동도를 보여줍니다. 다만 이 값을 실제 Si/SiGe 시스템에서 존재할 수 있는 모든 결함, 계면, 불순물 및 포논에 의한 효과를 모두 포함한 실험적 이동도로 간주해서는 안 됩니다.

9. 직접 시도해보세요

제공된 결과를 재현할 수 있게 되면, 한 번에 하나씩 변경 사항을 적용한 뒤 계산을 다시 수행하십시오. 아래의 실험들은 모델 입력값과 그에 상응하는 물리적 현상 간의 연관성을 이해하는 데 도움이 됩니다:

주요 결과로는 실리콘의 전하 캐리어 이동도가 다음과 같은 일련의 계산 과정과 연관되어 있다는 점입니다: 밸리의 방향 및 응력 → 구속된 전자 하위대 → 가능한 포논 산란 과정 → 운송 수명 → 특정 상태에서의 전도도 → 최종적으로 이동도. 이것이 바로 본 예제와 광학적 양자 우물 튜토리얼들 간의 핵심적인 차이점입니다.