6밴드 루팅거-콘 밸런스 밴드 모델에 대한 이해

왜 홀에 대해 별도의 모델이 필요한가?

포물선형 밴드 튜토리얼에서는 전자와 정공을 각각 별개의 포물선형 밴드로 모델링했습니다. 이는 기초적인 이해를 위한 유용한 접근법이지만, 많은 반도체의 상위 밸런스 밴드들은 훨씬 더 복잡한 구조를 지닙니다. 단일 정공 밴드가 아니라 서로 밀접하게 위치한 여러 밴드들이 상호작용하는 경우가 많기 때문입니다.

이들는 통상적으로 헤비홀(HH), 라이트홀(LH), 스플릿오프(SO) 밴드라고 불리며 ??에 도시되어 있습니다. ‘헤비’와 ‘라이트’라는 명칭은 각각의 밴드 곡률 차이 및 그에 따른 유효질량 차이를 의미할 뿐이며, 실제로 두 종류의 물리적 홀이 존재한다는 뜻은 아닙니다.

OghmaNano의 6밴드 루팅거-콘(LK) 모델은 이러한 밸런스 밴드 상태들을 통합적으로 기술한다. 이 모델은 특히 실리콘, 게르마늄 및 SiGe 양자우물 구조에 유용한데, 여기서 전도대 상태들은 별도의 실리콘 밸리 모델을 이용해 다룰 수 있다. 8밴드 모델과는 달리 6밴드 LK 모델은 전도대를 명시적으로 포함하지 않으며 오직 전하 캐리어 이동도와 관련된 홀의 물리적 특성에만 초점을 맞춘다.

여섯 개의 상태는 어디서 유래하는가?

6개의 상태가 어떻게 생성되는지를 이해하려면 먼저 밸런스 밴드의 궤도 상태부터 살펴보는 것이 좋습니다. 브릴루앙 영역 중심부 근처에서 다이아몬드 구조 및 아연화물 구조 반도체에 존재하는 관련 상태들은 X, Y, Z로 표시할 수 있는 세 개의 p형 궤도 성분으로 구성됩니다. 전자는 또한 두 가지 스핀 상태를 가질 수 있습니다. 따라서 세 개의 궤도 성분에 두 가지 스핀 상태를 곱하면 총 6개의 상태가 도출됩니다.

결정 내의 스핀-궤도 상호작용은 궤도 각운동량과 스핀 각운동량을 결합시킨다. 따라서 개별적인 궤도 및 스핀 레이블 대신 총각운동량의 값인 J와 그 투영값 mJ로 표현된 상태들을 사용하는 것이 편리하다. 이 여섯 개의 상태는 J = 3/2인 네 개의 상태군과 J = 1/2인 두 개의 상태군으로 나뉘게 된다.

\[ \underbrace{4\text{ states}}_{J=3/2} \quad+\quad \underbrace{2\text{ states}}_{J=1/2} \quad=\quad 6\text{ states}. \]

J = 3/2인 네 개의 상태는 영역 중심에서 헤비홀 및 라이트홀 집단을 형성합니다. 나머지 두 상태는 스플릿오프 밴드를 구성하며, 이는 스핀-궤도 에너지에 의해 아래쪽으로 이동되어 있습니다 \(\Delta_{\mathrm{so}}\). 이들 밴드는 서로 무관한 여섯 개의 포물선이 아닙니다. 전하 캐리어가 영역 중심에서 멀어질 때 각 성분들이 서로 혼합될 수 있으므로 이들을 함께 해석해야만 합니다.

6개 밴드 기저의 선택

OghmaNano는 총각운동량 기저를 사용하며, 상태들의 순서는 다음과 같습니다:

\[ \begin{aligned} &\left|\tfrac32,+\tfrac32\right\rangle,\quad \left|\tfrac32,+\tfrac12\right\rangle,\quad \left|\tfrac32,-\tfrac12\right\rangle,\\[4pt] &\left|\tfrac32,-\tfrac32\right\rangle,\quad \left|\tfrac12,+\tfrac12\right\rangle,\quad \left|\tfrac12,-\tfrac12\right\rangle. \end{aligned} \]

첫 번째와 네 번째 상태는 헤비홀 특성을 지니며, J = 3/2 그룹에 속하는 가운데 두 상태는 라이트홀 특성을 나타냅니다. 마지막 두 상태는 스플릿오프 상태입니다. 이러한 배열은 유용한데, 그 이유는 스핀-궤도 상호작용에 의한 에너지 분리가 이미 기저 함수에 반영되어 있기 때문입니다. 브릴루앙 영역 중심부에서는 스플릿오프 상태 쌍이 상위 밸런스 밴드 상태들보다 \(\Delta_{\mathrm{so}}\)만큼 낮은 에너지 위치에 존재합니다.

따라서 우리는 각 상태와 그들 간의 상호작용을 기술하는 6×6 해밀토니안 행렬을 구성할 수 있다. 허용되는 에너지 값은 이 행렬의 고유값을 구함으로써 얻어지며, 고유벡터들은 각각의 상태가 지닌 헤비홀, 라이트홀 및 스플릿오프 특성을 나타낸다.

홀의 운동을 어떻게 기술할 수 있는가?

단일한 포물선형 밴드에서는 유효질량 하나만으로도 파동벡터 변화에 따른 에너지 변화율을 결정할 수 있습니다. 그러나 여러 개의 결합된 밸런스 밴드가 존재하는 경우 단일 질량만으로는 불충분합니다. 이에 따라 루팅거-콘 모델에서는 밴드의 곡률 및 상호 혼합 현상을 기술하기 위해 \(\gamma_1\), \(\gamma_2\), \(\gamma_3\)라는 세 가지 물질 파라미터를 활용합니다.

이러한 매개변수들은 전통적으로 \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\)라고 불리는 네 가지 수학적 양으로 정리됩니다. 이들의 물리적 역할은 전체 식을 살펴보기 전에 이해하기가 더 용이합니다.

• \(P\): 밸런스 상태들의 곡률에 기여하는 공통 성분입니다.
• \(Q\): 이는 헤비홀 및 라이트홀 상태의 방향 차이를 구별하며 이들의 에너지를 분리할 수 있게 한다.
• \(R\): 평면 내 운동을 통해 반도체 층면상에서 밸런스 밴드 성분들을 결합시킨다.
• \(S\): 평면 내 운동과 층간 운동이 결합되어 상태들 간 상호작용이 발생함.

기저가 되는 파수 벡터는 세 개의 성분으로 구성됩니다. \(k_x\)과 \(k_y\)는 양자우물 층에 평행한 운동을 나타내며, \(k_z\)은 층에 수직인 성장 방향의 운동을 의미합니다. 또한 \(A_0=\hbar^2/(2m_0)\)를 정의하는데, 여기서 \(m_0\)는 자유전자 질량입니다.

제공된 OghmaNano 수식에서 사용되는 부호 규칙에 따르면, 운동 에너지 항들은 다음과 같습니다:

\[ \begin{aligned} P_k &= -A_0\gamma_1(k_x^2+k_y^2+k_z^2),\\[5pt] Q_k &= -A_0\gamma_2(k_x^2+k_y^2-2k_z^2),\\[5pt] R_k &= \sqrt{3}A_0\left[\gamma_2(k_x^2-k_y^2) -2i\gamma_3k_xk_y\right],\\[5pt] S_k &= 2\sqrt{3}A_0\gamma_3(k_x-ik_y)k_z. \end{aligned} \]

이러한 수식들을 외울 필요는 없으며 모델을 이해하는 데에도 지장이 없습니다. 다만 일부 항들은 \(k_z\)과는 달리 \(k_x\) 및 \(k_y\)에 서로 다르게 의존한다는 점에 주목하시기 바랍니다. 바로 이러한 수학적 구조가 모델이 다양한 결정 방향에서 헤비홀과 라이트홀의 거동 차이를 기술할 수 있게 해줍니다. \(R\)와 \(S\)에 나타나는 허수 인수들은 선택된 양자 기저의 일부이며, 이를 통해 전체 해밀토니안은 여전히 에르미트ian 성질을 유지하고 실수 에너지 값을 산출합니다.

유용한 예시: 성장 방향으로 이동하는 정공

전체 행렬을 살펴보기에 앞서, 평면 내 파수 벡터가 0인 단순한 경우를 고려해보자. 이때 \(k_x=k_y=0\)이 된다. 그러면 운동 에너지 항들은 다음과 같이 단순화된다:

\[ \begin{aligned} P_k &=-A_0\gamma_1k_z^2,\\[3pt] Q_k &=+2A_0\gamma_2k_z^2,\\[3pt] R_k &=0,\qquad S_k=0. \end{aligned} \]

따라서 헤비홀 대각성분에는 \(P+Q\)이 포함되고 라이트홀 대각성분에는 \(P-Q\)가 포함된다. 완전한 고유값을 계산하지 않더라도 서로 다른 에너지 곡률이 나타나는 양상을 확인할 수 있다.

\[ \begin{aligned} E_{\mathrm{HH}}(k_z)&=E_v-A_0(\gamma_1-2\gamma_2)k_z^2,\\[4pt] E_{\mathrm{LH,diag}}(k_z)&=E_v-A_0(\gamma_1+2\gamma_2)k_z^2. \end{aligned} \]

위 식들은 성장 방향에 따른 에너지 곡률의 차이를 보여줍니다. 다만 중요한 점은 전체 6밴드 해밀토니안에서 라이트홀 성분이 \(Q\)을 통해 스플릿오프 밴드들과도 결합할 수 있다는 사실입니다. 따라서 두 번째 식은 대각 성분에 해당할 뿐, 일반적으로 6밴드 모델에서의 정확한 라이트홀 고유값을 나타내지는 않습니다. 이는 각 밸런스 밴드가 독립적으로 포물선 형태를 가진다고 가정하는 대신 반드시 행렬 방정식을 풀어야만 하는 이유를 명확히 보여줍니다.

여섯 개의 상태를 통합하기

이제 각 항들이 물리적 의미를 갖게 되었으므로 전체 해밀토니안을 구성할 수 있다. 이 해밀토니안의 행과 열은 앞서 설명한 여섯 개의 상태에 각각 대응한다. 우리는 밸런스 밴드 기준으로 에너지를 측정하며 \(E_v\)을 기준으로 하여 \(\Delta=\Delta_{\mathrm{so}}\)와 같이 표현한다:

\[ \small H=E_v\mathbb{1}+ \begin{pmatrix} P+Q & S & R & 0 & -S/\sqrt2 & -\sqrt2 R\\ S^\dagger & P-Q & 0 & R & \sqrt2 Q & \sqrt{3/2}S\\ R^\dagger & 0 & P-Q & -S & \sqrt{3/2}S^\dagger & -\sqrt2 Q\\ 0 & R^\dagger & -S^\dagger & P+Q & \sqrt2 R^\dagger & -S^\dagger/\sqrt2\\ -S^\dagger/\sqrt2 & \sqrt2 Q & \sqrt{3/2}S & \sqrt2 R & P-\Delta & 0\\ -\sqrt2 R^\dagger & \sqrt{3/2}S^\dagger & -\sqrt2 Q & -S/\sqrt2 & 0 & P-\Delta \end{pmatrix}. \]

이것은 단일 슈뢰딩거 방정식보다 훨씬 복잡해 보이지만 실제 구조는 간단합니다. 처음 네 개의 행과 열은 헤비홀 및 라이트홀 상태를 기술하며, 마지막 두 개는 스플릿오프 상태를 기술합니다. 대각선상의 항들은 각 성분의 에너지를 나타내고, 비대각선 항들은 이들 간의 혼합을 설명합니다. 다이아몬드 기호는 해당 항의 에르미트 수반을 의미하며, 스칼라 계수의 경우 복소켤레값을 나타냅니다.

영역 중심부에서 응력이 존재하지 않는 경우 운동 에너지 항들은 0이 됩니다. 이때 4개의 J = 3/2 상태들이 밸런스 밴드의 가장자리를 공유하며, 스플릿오프 쌍은 그보다 \(\Delta\)만큼 낮은 에너지 위치에 존재합니다. 영역 중심에서 벗어나면 밴드 간 혼합 현상으로 인해 각 밴드의 에너지와 특성이 변화하게 됩니다.

반도체에 응력이 가해질 경우 어떤 현상이 발생하는가?

실리콘 및 게르마늄 양자우물은 종종 격자 상수가 약간 다른 기판 위에 성장되는데, 이로 인해 응력이 발생합니다. 이러한 응력은 밸런스 밴드의 에너지 값을 변화시키고 헤비홀 및 라이트홀 상태의 축퇴 현상을 해제시킬 수 있습니다.

루팅거-콘 공식화의 유용한 특징 중 하나는 응력 효과를 또 다른 세트의 \(P,Q,R,S\) 항들을 이용해 도입할 수 있다는 점입니다. 우리는 운동 에너지 항과 응력 관련 항들을 단순히 결합시키면 됩니다.

\[ \begin{aligned} P&=P_k+P_{\varepsilon}, &Q&=Q_k+Q_{\varepsilon},\\ R&=R_k+R_{\varepsilon}, &S&=S_k+S_{\varepsilon}. \end{aligned} \]

예를 들어, 등방압성 응력의 영향은 전체 체적 변화에 반응하는 반면, 이축성 응력 성분은 성장 방향에서의 변형과 면내 변형을 구별합니다.

\[ \begin{aligned} P_{\varepsilon}&=a_v(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}),\\[4pt] Q_{\varepsilon}&=\frac{b}{2} (\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}-2\varepsilon_{zz}). \end{aligned} \]

남아있는 응력 성분들은 \(R_{\varepsilon}\) 및 \(S_{\varepsilon}\)에 기여하여 전단 응력이 밸런스 밴드 상태들을 혼합하도록 만든다. 이들에 대한 완전한 수식 표현과 변형 퍼텐셜 규칙은 Bir–Pikus 응력 페이지에서 설명된다. 이후 응력 항들이 포함된 상태에서 동일한 6-밴드 행렬을 해석할 수 있다.

이 모델을 양자우물에 적용하기

지금까지 우리는 세 개의 파동벡터 성분을 이용해 밴드 구조를 설명해왔습니다. 양자 우물 구조에서는 전하 캐리어들이 성장 방향으로는 구속되지만 \(z\) 그 외 방향인 \(x\) 및 \(y\)에서는 자유롭게 이동할 수 있습니다. 따라서 평면 내 파동벡터들은 그대로 수치로 유지되나 \(z\) 방향의 운동은 연산자로 표현되어야 합니다:

\[ k_z\longrightarrow-i\frac{d}{dz}. \]

\(k_z\)을 포함하는 모든 항들은 엔벨로프 파동함수의 미분값으로 변환된다. 이후 6개 밴드로 구성된 문제를 반도체 층들에 걸쳐 해결하는 과정에서 전위 프로파일, 재료 파라미터 및 응력의 영향을 고려하게 된다. 그 결과 각각 6개 성분으로 이루어진 엔벨로프 파동함수를 갖는 여러 개의 국소화된 밸런스 밴드 서브밴드들이 도출된다. 이 성분들을 통해 각 상태에 헤비홀, 라이트홀 및 스플릿오프 특성이 얼마나 포함되어 있는지를 알 수 있다.

성장 방향 격자에 \(N_z\)개의 공간 점이 존재할 경우, 이산화된 해밀토니안의 차원은 \(6N_z\)×\(6N_z\)가 된다. OghmaNano는 이 다중밴드 계산 기법을 밸런스 밴드 상태 분석에 활용하며, 실리콘 Δ-밴드 해석기는 전도대 상태를 별도로 처리한다. 단순한 포물선형 모델과 달리 이 방법은 평면 내 파동벡터에 따라 변화하는 밸런스 밴드 간 상호작용을 기술할 수 있다. 이 모델을 적용한 Si/SiGe 시스템에 대한 전체 계산 과정은 6밴드 루팅거-콘 양자우물 튜토리얼에서 상세히 설명된다.

이 모델은 8-밴드 모델과 어떤 관련이 있나요?

6밴드 루팅거-콘 모델과 8밴드 아연석 k·p 모델은 서로 연관된 물리 현상을 기술하지만, 어떤 상태들을 명시적으로 포함시킬지에 대해서는 상이한 선택을 한다. 두 모델 모두 상호작용하는 밸런스 밴드 상태들을 포함한다. 8밴드 모델의 경우에는 스핀에 따라 구분된 두 개의 s형 전도대 상태와 이들이 밸런스 밴드와 결합하는 케인 결합항도 추가로 포함된다.

실리콘과 같은 반도체에서는 가장 낮은 전도대 최소점들이 브릴루앙 영역 중심에서 벗어나 있으므로, 브릴루앙 영역 중심을 기준으로 한 8밴드 해밀토니안은 해당 6개의 전도대를 직접적으로 기술하지 못한다. 따라서 밸런스 밴드는 6밴드 루팅거-콘 모델로, 전도대는 전용 밸리 모델로 각각 다루는 것이 유용하다.