8-밴드 구조의 육방정계 k·p 모델 이해하기
왜 육방정계 결정 구조에 대해서는 별도의 모델이 필요한가?
8-밴드 아연블렌드 튜토리얼에서는 전도대와 정공대 상태들이 서로 상호작용하도록 설정했으며, 각각을 독립적인 포물선 형태로 다루지는 않았습니다. 이제 우리는 LED 및 레이저 제작에 널리 활용되는 GaN, AlN, InN 및 이들의 합금과 같은 물질들에도 동일한 접근법을 적용하고자 합니다.
이러한 물질들은 대개 육방정계의 우르츠아이트 결정 구조를 갖습니다. 입방정계의 징크블렌드 구조와는 달리, 육방정계의 대칭성은 결정의 c축이라는 특정 방향을 구분해냅니다. 본 문서에서는 이 c축을 \(z\) 방향으로 정의하며, \(x\)와 \(y\)는 이에 수직인 기저면 상에 위치합니다. 이러한 방향적 구분은 전자 에너지, 오비탈 간 혼합 현상 및 빛과의 상호작용이 방향에 따라 달라질 수 있기 때문에 매우 중요합니다.
먼저 각 신규 파라미터의 물리적 의미를 설명한 뒤, 8-밴드 해밀토니안이 이를 어떻게 기술하는지 보여드리겠습니다. 이 결과는 양자우물의 하위 밴드 구조 및 방출되는 빛의 편광 특성과 직접적으로 연관됩니다.
c축 방향 및 결정장 분열
🧪 OghmaNano에서 직접 시도해보세요: GaN/AlGaN 8-밴드 우르츠파이트 k·p 양자우물 튜토리얼에서는 본 페이지에서 설명한 모델을 활용하여 양자우물 내 국소화된 전자 상태, 밴드 혼합 현상, 양자우물 서브밴드 및 TE/TM 광학 특성을 계산합니다. 사용 가능한 모든 모델에 대해서는 k·p 밴드 구조·양자우물·전하 캐리어 이동도 해석기를 참조하시기 바랍니다.
상부 정공대를 표현하기 위해 사용되는 세 개의 p형 오비탈 상태를 살펴보자. 이들에 대해서는 오비탈 특성에 따라 \(X\), \(Y\), \(Z\)라는 명칭을 부여한다. 이들은 전자적 기저 함수일 뿐, 소자 내의 서로 다른 위치를 나타내는 것이 아니다. 육방정계 구조를 갖는 결정에서는 \(X\)와 \(Y\) 상태가 대칭성을 공유하는 반면, \(Z\) 상태는 c축 방향에 의해 구별된다.
이로 인해 결정체 내 전위가 스핀 효과를 고려하기 이전부터도 \(Z\)형 상태의 에너지를 \(X,Y\)형 상태들의 에너지에 대하여 이동시킬 수 있다. 이러한 현상을 결정장 분리라고 하며 ??에서 그 예시를 확인할 수 있다. 이후 스핀-궤도 결합 작용에 의해 궤도 특성과 스핀 특성이 혼합되면서 세 개의 정공대 이중계가 형성되는데, 이들을 각각 A, B, C 대역이라 부른다.
각 전자띠의 궤도적 특성이 중요합니다. 주로 기저면 내부의 \(X,Y\) 궤도 성분을 포함하는 전자띠는 c축 방향의 \(Z\) 궤도 성분이 다수 포함된 전자띠와 비교해 편광된 빛과 상호작용하는 방식이 다릅니다. 이러한 이유로 크리스탈-필드 분열 현상은 단순히 밴드갭에 미치는 미미한 보정 효과에 그치지 않으며, 질화물 양자우물의 광학적 특성에도 영향을 미칠 수 있습니다.
이 8개의 에너지 대역은 어디서 유래하는가?
아연블렌드 구조의 경우와 마찬가지로, 우리는 주로 s형 전도 궤도인 \(S\)와 주로 p형 정공대 궤도인 \(X\), \(Y\), \(Z\)를 그대로 사용합니다. 각 궤도는 두 개의 스핀 성분을 가지므로 총 8개의 기저 상태가 생성됩니다.
\[ \begin{aligned} \{&|S\uparrow\rangle,\ |S\downarrow\rangle,\\ &|X\uparrow\rangle,\ |Y\uparrow\rangle,\ |Z\uparrow\rangle,\\ &|X\downarrow\rangle,\ |Y\downarrow\rangle,\ |Z\downarrow\rangle\}. \end{aligned} \]
여덟 개의 독립된 방정식을 각각 풀지 않고, 우리는 이러한 기저 상태들을 하나의 해밀토니안 행렬에 포함시킵니다. 이 행렬의 대각 성분들은 각 기저 상태에 대응하는 에너지를 나타내며, 비대각 성분들은 이들 간의 상호작용을 기술합니다. 이 행렬을 전도대, 정공대 및 상호결합 블록들로 나누는 것이 유용합니다.
\[ H=\begin{pmatrix} H_{cc}&H_{cv}\\[3pt] H_{cv}^{\dagger}&H_{vv} \end{pmatrix}. \]
전도대 블록에는 두 개의 스핀 상태가 존재하며, 정공대 블록에는 여섯 개의 스핀 상태가 존재하고 \(H_{cv}\)이 이들을 서로 결합시킨다. 기호 \(\dagger\)는 해밀토니안의 에르미트 수반을 나타낸다. 이 행렬을 대각화하면 전도대, 정공대, 궤도 및 스핀 성분들이 서로 혼합될 수 있는 에너지값과 고유벡터들을 얻게 된다.
왜 두 종류의 전도대 유효질량이 존재하는가?
포물선형 대역 튜토리얼에서는 대역의 곡률이 전하 캐리어 이동도에 의해 결정된다고 설명했습니다. 그러나 육방정계 구조에서는 c축 방향의 운동과 기저면 내 운동을 구별해야 합니다. \(k_{\parallel}^2=k_x^2+k_y^2\)을 활용하면 방향별로 단순한 분산 관계식을 다음과 같이 기술할 수 있습니다:
\[ E_c(\mathbf{k})=E_c+ \frac{\hbar^2 k_{\parallel}^2}{2m_{e,\parallel}^{*}} +\frac{\hbar^2 k_z^2}{2m_{e,z}^{*}}. \]
전자가 층면에 평행하게 움직이느냐 수직하게 움직이느냐에 따라 에너지를 얻는 속도가 달라질 수 있다. 이 현상은 특히 c면 양자우물에서 중요하며, 여기서는 \(z\) 방향으로 전자가 구속되지만 서브밴드는 \(k_{\parallel}\)에 대하여 표시된다.
OghmaNano의 다중밴드 해밀토니안에서는 c축 방향용으로 \(S_1\)을, 기저면 방향용으로는 \(S_2\)라는 두 개의 전도대 관련 매개변수가 사용됩니다.
\[ H_{cc}=E_c+A_0(S_2k_{\parallel}^2+S_1k_z^2), \qquad A_0=\frac{\hbar^2}{2m_0}. \]
이 매개변수들은 전도대 부분의 잔여 곡률을 기술합니다. 최종적인 밴드 가장자리 질량값은 또한 정공대와의 결합에도 의존하는데, 이를 아래에서 명시적으로 포함시켰습니다. 따라서 동일한 간밴드 상호작용 기여분이 중복 계산되지 않도록 매개변수들을 일관되게 선택해야 합니다.
왜 육방정계 구조에서는 두 개의 케인 파라미터가 필요한가?
k·p 이론 입문에서 우리는 서로 다른 궤도 상태들을 연결하는 운동량 행렬 요소들을 살펴보았습니다. 예를 들어, s형 전도대 상태는 세 개의 p형 정공대 상태들과 결합합니다. 이러한 상호작용의 강도가 바로 케인 파라미터입니다.
우르츠파이트 구조에서는 c축 방향과 기저면 방향에 대해 각각 별도의 결합 강도가 필요합니다:
- \(P_2\): \(S\)와 면내 \(X,Y\) 오비탈들 간의 결합은 \(k_x,k_y\)를 통해 일어난다.
- \(P_1\): \(S\)와 c축 방향의 \(Z\) 오비탈 간의 결합은 \(k_z\)를 통해 발생한다.
여기서 사용되는 표기법에 따르면 대표적인 해밀토니안 성분들은 다음과 같습니다:
\[ \begin{aligned} H_{SX}&=iP_2k_x,\\ H_{SY}&=iP_2k_y,\\ H_{SZ}&=iP_1k_z. \end{aligned} \]
해당 행렬의 다른 쪽에는 이들의 에르미트 켤레가 나타납니다. 이러한 매개변수들은 일반적으로 케인 에너지를 통해 지정됩니다:
\[ P_1=\sqrt{A_0E_{p1}},\qquad P_2=\sqrt{A_0E_{p2}}. \]
두 개의 결합 파라미터가 존재한다는 것은 전자 상태들이 c축 방향 및 그에 수직인 방향으로 작용하는 상호작용에 다르게 반응함을 의미합니다. 또한 이는 추후 TE 및 TM 광학 선택 규칙에 대한 직접적인 설명이 되어줍니다.
왜 여섯 개의 정공대 파라미터가 필요한가?
전도대는 각 스핀에 대해 하나씩의 s형 오비탈로 구성되어 있습니다. 정공대에는 각 스핀에 대해 세 개의 p형 오비탈이 존재하며 이들은 에너지적으로 서로 가까이 위치합니다. 파동벡터가 변함에 따라 이들 상태들은 서로 독립적인 포물선 형태로 분리되는 대신 서로 혼합될 수 있습니다.
이 wurtzite 모델에서는 Rashba–Sheka–Pikus 파라미터라 불리는 여섯 개의 파라미터 \(A_1\)부터 \(A_6\)까지를 활용하여 이러한 전자 상태들의 방향성에 따른 곡률 및 혼합 현상을 기술한다. 이들 파라미터 중 일부는 c축 방향 또는 그에 수직인 방향으로의 운동에 따른 밴드 에너지 변화를 결정하며, 나머지는 각 궤도 성분들 간의 결합을 조절한다.
스핀 및 기타 항목들을 일시적으로 무시할 경우, 파동벡터에 의존하는 직교좌표계상의 정공대 행렬은 다음과 같은 형태를 갖는다:
\[ H_v^{\mathrm{kin}}= \begin{pmatrix} H_{XX}&N_1k_xk_y&N_2k_xk_z\\ N_1k_xk_y&H_{YY}&N_2k_yk_z\\ N_2k_xk_z&N_2k_yk_z&H_{ZZ} \end{pmatrix}. \]
대각 성분들은 주로 \(X\), \(Y\), \(Z\) 성분을 나타냅니다. 비대각 성분들은 관련 파동벡터 성분들이 존재할 때 이들 성분들을 혼합시킵니다. 이러한 혼합 현상이 바로 계산된 정공대 서브밴드들이 일반적으로 세 개의 단순한 포물선으로 대체될 수 없는 이유 중 하나입니다.
OghmaNano에서 A1부터 A6까지의 매개변수 활용 방식
다음 정의들은 기존 OghmaNano 육방정계 반도체 모델에 제시된 데카르트 계수 규칙을 명시한다. 먼저 다음과 같이 구성한다:
\[ \begin{aligned} L_1&=A_0(A_5+A_4+A_2-1),\\ L_2&=A_0(A_1-1),\\ M_1&=A_0(A_4+A_2-A_5-1),\\ M_2&=A_0(A_1+A_3-1),\\ M_3&=A_0(A_2-1),\\ N_1&=2A_0A_5,\\ N_2&=\sqrt{2}\,A_0A_6. \end{aligned} \]
자유전자 기여분인 \(A_0k^2\)을 별도로 표기한 상태에서 대각선상의 정공 항들은 다음과 같다:
\[ \begin{aligned} H_{XX}&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+L_1k_x^2+M_1k_y^2+M_2k_z^2,\\[3pt] H_{YY}&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+M_1k_x^2+L_1k_y^2+M_2k_z^2,\\[3pt] H_{ZZ}&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+M_3k_{\parallel}^2+L_2k_z^2. \end{aligned} \]
비대각 성분들은 \(H_{XY}=N_1k_xk_y\), \(H_{XZ}=N_2k_xk_z\), \(H_{YZ}=N_2k_yk_z\)이며, 이에 대응하는 에르미트 켤레 성분들도 존재한다. 참고문헌 \(E_{v,\mathrm{av}}\)에서는 결정장 효과 및 스핀-궤도 상호작용 항들과 일관되게 매개변수가 정의되었다. 각 문헌마다 매개변수 규약이 상이하므로, 자유전자 기여분 및 대역간 상호작용 항들이 어디에 포함되었는지 확인하지 않은 채로는 표에 기재된 수치들을 다른 해밀토니안 규약에 그대로 적용해서는 안 된다.
스핀 효과 추가: 세 개의 정공대 이중상태
이제 결정장 다이어그램으로 돌아가보겠습니다. OghmaNano의 규칙에 따르면 관련 분열 파라미터들은 각각 \(\delta_1\), \(\delta_2\), \(\delta_3\)로 표기됩니다. 결정장 파라미터 \(\delta_1\)는 기저면에 위치한 오비탈들과 c축 방향의 오비탈을 구별해줍니다. 나머지 두 파라미터는 오비탈 특성과 스핀 특성을 혼합시키는 스핀-궤도 결합을 기술합니다.
영역 중심에서 정공대 블록을 대각화하면 서로 가까이 위치한 세 개의 2중 축퇴 정공 준위(A, B, C)가 생성된다. 이 준위들의 배열 순서는 특정 궤도가 항상 가장 높은 에너지 준위여야 한다는 가정에 의한 것이 아니라 물질의 물리적 파라미터에 의해 결정된다. OghmaNano는 가장 높은 에너지를 갖는 영역 중심 정공 준위가 사용자가 지정한 정공대 가장자리와 일치하도록 정공 에너지 기준값을 설정한다 \(E_v\).
이는 광학적 측면에서 중요합니다. 가장 상위에 위치한 정공대의 특성에 따라 가장 낮은 에너지의 띠간 전이에 가장 강하게 결합할 수 있는 편광 방향이 결정되기 때문입니다.
응력은 육방정계 반도체의 밴드 구조에 어떤 영향을 미치는가?
양자우물층은 일반적으로 다른 반도체 위에 성장된다. 두 물질의 자연적인 격자 치수가 서로 다를 경우, 얇은 층은 인접층의 면내 간격에 맞추도록 변형될 수 있다. 이로 인해 발생하는 응력은 전하 캐리어의 에너지 상태를 이동시키고 혼합시키게 된다.
c면 구조에서는 면내 변형 성분들이 서로 유사한 값을 가지는 반면 c축 방향의 변형은 다를 수 있습니다. 따라서 육방정계 구조에서는 방향 의존적인 변형 퍼텐셜이 필요합니다. OghmaNano는 전도대에 기여하는 항으로 \(a_1,a_2\)을 사용하며 정공대 변형 행렬에는 \(D_1\)–\(D_6\)를 활용합니다.
기존 모델 문서의 표기법에 따르면, 전도대의 에너지 변화량은 다음과 같이 표현됩니다:
\[ \Delta E_c=a_z\varepsilon_{zz} +a_{xy}(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}), \quad a_z=a_1+D_1,\quad a_{xy}=a_2+D_2. \]
정공대에 대한 변형 계수들은 방향성 운동 계수들과 유사하게 \(D_i\)의 조합을 통해 형성된다.
\[ \begin{aligned} l_1&=D_5+D_4+D_2,&l_2&=D_1,\\ m_1&=D_4+D_2-D_5,&m_2&=D_1+D_3,\\ m_3&=D_2. \end{aligned} \]
전단 변형이 없는 이상적인 c면 상호확산 성장 조건에서는 전단 성분에 비례하는 항들이 소멸하게 된다. 다만 보다 일반적인 성장 방향 및 변형장의 경우에는 이러한 항들이 여전히 필요하다. 중요한 결과로서, 변형은 밴드갭을 변화시키고 상위 정공대의 배열 순서를 바꿀 수 있으며 이는 광학적 편광 특성에 영향을 미친다.
궤도 특성과 TE/TM 광학적 전이의 관계
광학적 전이 튜토리얼에서는 전도대와 정공대 사이의 에너지 차이가 광자 에너지를 결정하는 방식을 설명했습니다. 그러나 에너지 보존법칙만으로는 전이 현상이 빛과 얼마나 강하게 결합하는지를 알 수 없습니다. 빛의 전기장 방향 역시 중요한 요인입니다.
일반적인 c면 양자우물 표준에 따라 다음과 같이 구분합니다:
- TE 편광: 전기장이 육방정계 기저면 내에서 c축에 수직으로 작용하는 경우입니다. 이 편광은 주로 \(P_2\) 케인 결합을 통해 \(X,Y\) 정공대의 특성을 탐지합니다.
- TM 편광: 전기장이 c축 방향으로 배열되는 경우입니다. 이 편광은 \(Z\) 정공대 특성을 \(P_1\)를 통해 탐지합니다.
\(\mathbf e\) 방향의 광편광 상태에서 광학적 전이 진폭은 운동량 행렬 요소에 의해 결정된다:
\[ \mathcal{M}_{cv}(\mathbf e)= \langle\Psi_c|\mathbf e\cdot\mathbf p|\Psi_v\rangle, \qquad \text{transition strength}\propto |\mathcal{M}_{cv}(\mathbf e)|^2. \]
해당 행렬 요소는 적절한 방향성을 갖는 케인 결합 항과 전자 및 정공의 파동함수 성분 간의 중첩을 모두 포함한다. 이러한 이유로 동일한 양자 우물에서도 동일한 에너지 준위 간의 전이가 일어나더라도 서로 다른 편광 상태(TE 및 TM)에 따른 광학적 강도가 달라질 수 있는 것이다.
이제 왜 크리스탈-필드 분열, 스핀-궤도 결합 및 응력 효과를 우선적으로 도입했는지 알 수 있습니다. 이들 요소가 정공대의 궤도 혼합 상태를 결정하며, 이 상태들이 서로 다른 편광 방향을 갖는 빛과 어떻게 결합하는지도 결정하기 때문입니다. 이는 질화물 기반 LED 및 레이저를 모델링할 때 매우 중요합니다. 최종적으로 나타나는 TE 및 TM 편광 방향의 광학 전이 현상은 GaN/AlGaN 8-밴드 우르츠사이트 k·p 양자우물 튜토리얼에서 자세히 살펴볼 수 있습니다.
이 모델은 양자우물 구조에 어떻게 적용되는가?
지금까지는 벌크 반도체의 밴드 구조를 기술하기 위해 파수 벡터 성분들 \(k_x,k_y,k_z\)을 사용해왔습니다. c축 방향으로 성장한 양자우물에서는 전자와 정공들이 \(z\) 방향으로는 구속되지만 \(x\)–\(y\) 평면 내에서는 여전히 자유롭게 움직일 수 있습니다. 징크블렌드 구조 모델과 마찬가지로 성장 방향에 대한 파수 벡터는 미분 연산자로 변환됩니다.
\[ k_z\longrightarrow -i\frac{d}{dz}. \]
따라서 8-밴드 해밀토니안을 이용하여 층 구조 전반에 걸쳐 선택된 면내 파동벡터에 대해 8개의 결합된 엔벨로프 성분들을 계산하게 된다. 우물층과 장벽층의 재료에 따라 전위, 전하 캐리어 이동도 파라미터, 케인 결합 계수 및 변형률 값은 모두 달라질 수 있다. 위치에 따라 변하는 계수들과 미분항들을 처리하기 위해서는 일관된 에르미트 연산이 가능한 인터페이스 이산화 기법이 필요하다.
\(N_z\)개의 격자점으로 구성된 그리드에서 각 점마다 8개의 성분이 존재하므로, 총 \(8N_z\)개의 미지수를 갖는 연립 방정식 문제가 발생한다. 이 방정식의 고유값들은 제한된 전자 상태들을 나타내며, 고유벡터들은 해당 상태들의 공간적 분포와 궤도적 특성, 스핀 상태를 기술한다. 여러 평면 내 파벡터에 대해 이 해법을 반복하면 전자 서브밴드들이 도출된다. 이 서브밴드들을 활용하여 편광에 의존하는 광학적 전이를 계산할 수 있다.
8-밴드 모델이 추가해준 내용은 무엇인가?
포물선형 모델은 양자 구속 현상을 설명하는 데 유용한 출발점이 되지만, 서로 가까이 위치한 정공대 상태들 간의 결합이나 육방정계 결정 구조에서 나타나는 방향 의존적 광학 반응을 설명할 수는 없다. 8-밴드 모델은 구속 상태 및 서브밴드에 대한 기본적인 개념을 그대로 유지하면서도 육방정계 결정 구조에 필요한 물리적 요소들을 추가적으로 반영한다.