量子井戸における光遷移：光増幅と自然放出

電子状態から光への変換

先のチュートリアル「放物線型量子井戸バンド」において、まずシュレーディンガー方程式の解から得られる閉じ込め状態を取り上げ、半導体層に平行な運動を考慮した際にそれらが電子サブバンドへと変換される様子を説明した。さらに、電子状態とホール状態を結びつけるために必要な光子エネルギーも算出した。

どのような遷移が可能かを知ることはあくまで出発点に過ぎません。量子井戸によって吸収または放出される光量を計算するためには、各遷移がどの程度起こり得るか、またそれに参加できる電子や正孔がどれだけ存在するかも考慮する必要があります。この点において、フェルミの黄金則および光学的な行列要素が計算に用いられるのです。

計算処理は段階的に進めていく。まず単一の遷移を考慮し、その遷移確率を算出する。次にすべての電子および正孔のサブバンドについて同様の計算を行い、最後にローレンツ広がりを導入することで滑らかな光スペクトルを得るのである。

半導体と光の3つの相互作用

伝導帯にある電子と価電子帯に空き状態が存在する場合、3つの密接に関連する光学的過程が生じる。

• 吸収現象：入射した光子が、占有されている価電子帯の電子を励起させ、空いている伝導帯の状態へと遷移させる現象である。
• 誘導放出：入射した光子が伝導帯内の電子を刺激して空いている価電子帯の状態（正孔）へと遷移させ、新たな光子が生成される現象である。
• 自然放出：外部からの光子が存在しなくても、伝導帯内の電子が価電子帯内の正孔と再結合し、光子を放出する現象である。

これら3つの過程はすべて、初期状態と終状態の間のエネルギー差、および光がこれらの状態をどの程度強く結びつけるかという点に依存する。重要な違いは各状態の占有状態、および光子が既に存在している必要があるかどうかである。

まずは電子と正孔の一つの遷移から始めましょう

電子サブバンド \(n\) と正孔サブバンド \(m\) を選択しましょう。単純な放物線型の量子井戸においては、同じ面内波数ベクトルを持つ状態間の遷移におけるエネルギー差は

\[ E_{nm}(k_{\parallel})= E_g+\varepsilon_{e,n}+\varepsilon_{h,m} +\frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2\mu}, \]

ここで\(E_g\)は量子井戸材料のバンドギャップ、\(\varepsilon_{e,n}\)および\(\varepsilon_{h,m}\)は電子と正孔の閉じ込めエネルギー、\(\mu\)は面内方向の換算有効質量である。

\[ \frac{1}{\mu}=\frac{1}{m_e^{*}}+\frac{1}{m_h^{*}}. \]

直接光学遷移の場合、光子が持つ運動量は比較的小さいため、結晶面内の波数ベクトルはほぼ保存される。その結果、電子と正孔は??に示す2つのサブバンド曲線間で垂直な遷移を引き起こすことになる。

光子のエネルギーが各状態間のエネルギー差と一致する場合、その遷移はエネルギー的に可能となる。

\[ \hbar\omega=E_{nm}(k_{\parallel}). \]

しかし、エネルギーが一致するだけではその遷移がどの程度頻繁に起こるかは分からない。そのためには、電子と電磁場との相互作用を計算する必要がある。

フェルミの黄金律：遷移が起こる確率はどの程度か？

フェルミの黄金律によれば、比較的弱い相互作用によって結びつけられた場合、初期量子状態\(i\)から最終状態\(f\)への遷移確率が求められる。

\[ \boxed{ W_{i\rightarrow f}= \frac{2\pi}{\hbar} \left|\langle f|\hat H_{\mathrm{int}}|i\rangle\right|^2 \delta(E_f-E_i) } \]

この式には特に重要な要素が2つ含まれています：

• 行列要素\(\langle f|\hat H_{\mathrm{int}}|i\rangle\)は、光場によって初期状態と終状態がどの程度強く結合しているかを表す指標である。この行列要素の絶対値を二乗することで、遷移確率を決定する因子が得られる。
• 行列要素 \(\langle f|\hat H_{\mathrm{int}}|i\rangle\) は、光場によって初期状態と終状態がどの程度強く結合しているかを表す。その絶対値の二乗が、遷移確率を決定する因子となる。 デルタ関数, \(\delta(E_f-E_i)\)この条件によりエネルギー保存則が満たされる。初期状態および終状態に光子が含まれる場合、その光子のエネルギーも計算に含められる。 \(E_i\) そして \(E_f\).

この現象を考える際には、2つの条件が満たされなければならないと捉えるのが適切である。すなわち、遷移が適切なエネルギーを持つこと、そして光が2つの電子状態を結合させることができることである。前者はサブバンド間のエネルギー差によって決定され、後者は行列要素によって決定される。

光学的行列要素とは何か？

光が電子と相互作用する際、その電場によって量子状態間の遷移が引き起こされる。一般的な記述において、この相互作用は電子の運動量演算子と光場の偏極ベクトルとの内積に比例する。対応する運動量行列要素は次のような形をとる

\[ p_{nm}= \langle\Psi_{c,n}|\,\mathbf e\!\cdot\!\hat{\mathbf p}\,|\Psi_{v,m}\rangle, \]

ここで\(\mathbf e\)は光の偏光を表し、\(\Psi_{c,n}\)および\(\Psi_{v,m}\)はそれぞれ伝導帯および価電子帯に属する電子状態を表す。行列要素の絶対値が大きいほど光電場がこれらの状態を強く結合させることを意味し、値がゼロの場合は用いられているモデルにおいてその遷移が光学的に禁止されていることを示す。

単純な放物線型バンド近似の下では、原子スケールで急激に変化するブロッホ関数と、比較的緩やかに変化する量子井戸のエンベロープ波動関数とを分離することができる。この場合、光学的結合には2つの要因が含まれる。

\[ \boxed{ |p_{nm}|^2\simeq |\mathbf e\!\cdot\!\mathbf p_{cv}|^2 \left|\int \psi_{e,n}^{*}(z)\psi_{h,m}(z)\,dz\right|^2 } \]

第一の因子である\(\mathbf p_{cv}\)は、半導体のバンド間における光学的結合を表します。第二の因子はエンベロープ重なり度合いであり、量子井戸内において電子と正孔の波動関数がどの程度重なっているかを示す指標です。

例えば、量子井戸内の同じ領域に存在する2つの状態は、波動関数の重なりが大きくなる場合がある。しかし電場によって電子が一方の界面へ、正孔が他方の界面へ引き寄せられると、この重なりは著しく小さくなり得る。重要な点として、実際に重要となるのは波動関数そのものの積分値であり、単に確率密度分布の重なり度合いではない。なぜなら波動関数の符号や位相の違いによって、互いの寄与が打ち消し合う可能性があるからである。

これにより、光の偏光が重要となる理由も説明できる。例えば、TE偏光およびTM偏光の光は、運動量行列要素の異なる成分を検出することになる。また、バンド混成や偏光選択則が重要となる場合には、より高度な多バンドモデルが必要となる。こうした効果は、GaAs/AlGaAs八バンド亜鉛スピネル構造チュートリアルおよびGaN/AlGaN八バンドウルツ鉱構造チュートリアルにおいて調査可能である。

許容される遷移であっても必ず起こるわけではない

たとえエネルギー条件が合致し、行列要素の値も大きい遷移であっても、初期状態に電子が存在し、到達先の状態が空いていなければ遷移は起こり得ない。ここで\(f_c\)を該当する伝導帯状態に電子が存在する確率とし、\(f_v\)を該当する価電子帯状態に電子が存在する確率とする。このとき、価電子帯状態に正孔が存在する確率は\(1-f_v\)となる。

存在する電子数に応じて、吸収と発光の際の係数がそれぞれ異なる値となる。

\[ \begin{aligned} \text{Absorption:}\qquad & f_v(1-f_c),\\[4pt] \text{Emission:}\qquad & f_c(1-f_v). \end{aligned} \]

吸収が起こるためには、価電子帯に電子が満たされており、伝導帯には電子が存在しない状態が必要です。一方、発光が起こるためにはその逆、すなわち伝導帯に電子が存在し、価電子帯に正孔が存在する状態が必要となります。これらの占有状態の組み合わせによって、ある遷移が純粋な吸収として作用するか、あるいは純粋な光利得として作用するかが決定されます。

単一の遷移から光スペクトルへ

実際の量子井戸構造には複数の電子サブバンドおよび正孔サブバンドが存在し、電子は各サブバンド内でさまざまな面内波数ベクトルを取り得る。スペクトルを計算するためには、電子サブバンド\(n\)、正孔サブバンド\(m\)、および面内波数ベクトル\(k_{\parallel}\)のあらゆる組み合わせからの寄与をすべて加算する必要がある。

概略的には、スペクトル吸収の計算は次のような形となる：

\[ \alpha(\hbar\omega)\ \propto \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |p_{nm}(k_{\parallel})|^2 f_v(1-f_c) \delta\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right]. \]

この和はサブバンド対のすべてについて実行され、積分は面内のすべての状態を集計する。行列要素が各遷移の光学的強度を表し、占有因子は必要なキャリアが存在するかどうかを示している。またデルタ関数は、適切な光子エネルギーを持つ遷移のみを選び出す。比例関係の式には、共通の電磁気学的正規化因子は含まれていない。

放物線型の二次元サブバンドにおいては、単位エネルギーあたりに存在する状態数、すなわち状態密度は、理想モデルにおいては遷移閾値を超えた領域で一定値となる。したがって、あるサブバンド対が寄与し始めるのは、光子エネルギーがその最小遷移エネルギーに達した時点である。さらに多くのサブバンド対が存在すれば、スペクトル上にさらなる閾値が現れることになる。

吸収がいつ光利得へと転化するのか？

入射光ビームは吸収と誘導放出の両方を引き起こし得る。光利得とは、これら二つの相反するプロセス間のバランスを指すものであり、単に電子・正孔再結合の全確率を意味するわけではない。吸収量から誘導放出量を差し引くことで、特に有用な単純化が可能となる。

\[ \begin{aligned} f_c(1-f_v)-f_v(1-f_c) &=f_c-f_v. \end{aligned} \]

したがって、材料のスペクトル利得は吸収計算と同様に各遷移の和で表されるが、ここではキャリア密度の差を用いることになる。

\[ \boxed{ g(\hbar\omega)\ \propto \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |p_{nm}(k_{\parallel})|^2 (f_c-f_v) \delta\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right] } \]

\(f_v\)の値が\(f_c\)よりも大きい場合、吸収が優勢となり、利得の寄与は負の値となる。一方、\(f_c\)の値が\(f_v\)よりも大きい場合は誘導放出が優勢となる。これがいわゆる反転分布状態であり、この遷移によって正の利得が生じる。

完全な計算においては、比例定数には光の周波数、屈折率、電磁気学的定数、および量子井戸状態を正規化するための厚みといった物理量が含まれる。活性材料内における利得は、レーザーのモード利得とは区別されるべきであり、後者は光モードが量子井戸領域とどの程度強く重なり合うかによって決定される。

自発放射とはどのようなものか？

自然放出現象においても、電子遷移のエネルギーや光学的な行列要素は同じであるが、これは純粋な利得量とは等しくない。その違いを理解するため、ある特定の光子モードに既に\(N\)個の光子が存在している状況を想定してみよう。この場合、量子力学的な放出率には\(N+1\)という因子が含まれることになる。

\[ \underbrace{(N+1)}_{\text{emission}} =\underbrace{N}_{\text{stimulated}} +\underbrace{1}_{\text{spontaneous}}. \]

誘導放出の寄与分は、既に存在する光子の数に応じて増加する。このときの追加的な\(1\)の存在により、初期の光子数がゼロの場合でも放出は起こり得る。一方、吸収現象では入射光子が必要であり、その強度は\(N\)に比例する。

自発放射を計算するためには、存在しうる電子状態および光が放射されうる光子モードごとに遷移確率を合計する必要がある。概念的には、自発放射スペクトルは以下のようになる

\[ \boxed{ R_{\mathrm{sp}}(\hbar\omega)\ \propto D_{\mathrm{ph}}(\omega) \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |M_{nm}(\omega,k_{\parallel})|^2 f_c(1-f_v) \delta\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right] } \]

ここで、\(D_{\mathrm{ph}}\)は利用可能な光子モードを表し、\(M_{nm}\)は自然放出における電子と光子の相互作用の行列要素であり、適切に規格化されている。この表記法により、絶対的な光子放出率を計算する際には光子モード密度および光学的規格化因子も考慮する必要があることが明確になる。

なお、占有因子に注目してください。自然放出の場合は純増益を求める際に用いられる粒子数差\(f_c-f_v\)ではなく\(f_c(1-f_v)\)が使用されます。したがって、量子井戸においては光学的応答が吸収的であっても自然放出が生じ得るのです。単に増益値を負からゼロに置き換えるだけでは自然放出を得ることはできません。

なぜローレンツ広がりが必要なのか？

これまでの説明では、フェルミの黄金律においてエネルギー保存則を表すためにデルタ関数が用いられてきました。しかし実際の半導体においては、光遷移は無限に鋭い線として現れることはなく、散乱現象や電子遷移の有限なコヒーレンス時間の影響により、遷移スペクトルには有限の幅が生じるのです。

一般的に用いられる表現方法としては、デルタ関数を正規化されたローレンツ型線形関数で置き換える方法があります。

\[ \boxed{ L_{\gamma}(\Delta E)= \frac{1}{\pi} \frac{\gamma}{(\Delta E)^2+\gamma^2} } \]

ここで、\(\Delta E\)は電子遷移エネルギーと光子エネルギーの差を表し、\(\gamma\)はローレンツ関数の半値幅（HWHM）である。\(2\gamma\)はその全幅となる。ローレンツ関数はエネルギー領域で正規化されているため、この広がり現象によって遷移のスペクトル重みが再配分されるだけで、その積分値自体が無秩序に変化することはない。

各遷移において、\(\delta(E_{nm}-\hbar\omega)\)を\(L_{\gamma}(E_{nm}-\hbar\omega)\)に置き換えることになる。例えば、広がった利得スペクトルは次のように表される。

\[ \boxed{ g(\hbar\omega)\ \propto \sum_{n,m}\int\!\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} |p_{nm}(k_{\parallel})|^2 (f_c-f_v) L_{\gamma}\!\left[E_{nm}(k_{\parallel})-\hbar\omega\right] } \]

自発放射の計算においても同様の置換が行われるが、その占有因子は依然として\(f_c(1-f_v)\)のままである。ブロードニングパラメータが大きいほどスペクトル特性は滑らかかつ広がるが、小さい値を設定すればより鋭い遷移閾値が維持される。ローレンツ型ブロードニングは均一ブロードニングを記述するための有用なモデルではあるが、あらゆる物理的ブロードニングメカニズムを普遍的に表現するものではない。

計算のまとめ

ここで、量子井戸における光スペクトルが電子状態からどのように構成されるかをまとめてみましょう。

1. 閉じ込められた状態を求める。量子井戸内における電子および正孔のエネルギーと波動関数を求めるためにシュレーディンガー方程式を解く。
2. サブバンドを構築する際には、層に平行な運動も考慮することで、さまざまな面内波数ベクトルにおける電子遷移エネルギーを求めることができる。
3. 光学的結合を計算する。電子と正孔の包絡関数の重なり度合い、および必要に応じて光の偏光状態も含め、適切な行列要素を評価する。
4. キャリア密度の情報も考慮すること。電子状態および価電子帯状態の占有度を用いて、吸収、誘導放出、自発放出を区別するのである。
5. すべての遷移について総和を取る。電子および正孔のサブバンド、ならびに存在する面内状態からの寄与を加算する。
6. スペクトルを広げるため、理想的なデルタ関数型の遷移をローレンツ関数といった適切な線形形状で置き換える。

これらは、OghmaNanoの量子井戸電子状態計算モジュールと光利得や自然放出の計算とを結びつける原理である。単純な放物線モデルを用いることで物理的メカニズムが容易に理解できる。一方、バンド間結合や偏光依存性が重要となる場合には、多バンドk·p理論を用いることで電子状態や光学行列要素をより正確に求めることが可能となる。