シリコン／SiGe量子井戸：6つのΔバレーと電子移動度に関するチュートリアル

1. はじめに

これまでの量子井戸シミュレーション例では、閉じ込められた伝導帯状態や価電子帯状態、ならびに光学的遷移を計算するために直接遷移型のIII–V族半導体を用いてきました。一方、シリコンの場合は全く異なる出発点が必要となります。シリコンの伝導帯の極小点はブリルアンゾーンの中心（Γ点）には存在せず、代わりにバルク状態のシリコンには6つの等価な伝導帯極小点、すなわちΔバレーが存在し、これらは3つの立方晶軸に沿って対になって配置されています。キャリアが薄い層内に閉じ込められる際には、これら各Δバレーにおける異なる有効質量が特に重要な役割を果たすのです。

ここでは、厚さ20nmのSiGe層2枚に挟まれた厚さ10nmのシリコン量子井戸をシミュレーションします。電子のサブバンド分散を調べた後、光学的なチュートリアルよりもさらに詳細に計算を進め、音響フォノン散乱から輸送緩和時間、電子面密度、フェルミ準位、そして移動度までを解析します。本シミュレーションの重点は電子輸送であり、直接的な光増幅ではありません。シリコンは間接遷移型半導体だからです。

2. シリコンのΔバレー例を開く

OghmaNanoにて「ファイル」→「新規シミュレーション」を選択します。テンプレートブラウザ内の「GaAsデモ」カテゴリをダブルクリックしてください（??）。このコレクションには他の半導体量子井戸モデルも含まれています。次のウィンドウで「ひずみを伴うSi/SiGe Δバレー量子井戸」を開きます（??）。まずは初期設定のまま実行し、得られた結果を以下のプロットと比較できるようにしてください。

3. Si/SiGe層構造の確認

デバイス構造パネル内の「Layer editor」をクリックすると、例題を確認できます（??）。閉じ込め方向は3つの層を通る方向であり、ここではz方向とみなされます。ただし電子はx–y平面内においては量子井戸に沿って移動可能です。

エディタに表示される光学材料の設定項目を、電子バンドオフセットやゲルマニウムモル分率の完全な仕様と混同してはなりません。これらは設定された材料パラメータに依存します。現時点では、提供されている例をそのまま使用してください。

「電気的パラメータ」を開き、「Si (QW)」タブ（??）を選択することで、材料データを確認できます。シリコン材料ライブラリには温度依存性を持つ半導体パラメータが収録されています。正確なSi/SiGeシミュレーションを行うためには、単にバルクシリコンのバンドギャップ値のみに頼るのではなく、有効質量、バンドオフセット、Ge組成比、ひずみ構造といった各種パラメータを確認することが不可欠です。

4. なぜシリコンには6つのバレーからなるモデルが必要なのか？

量子井戸面内を運動する電子を考えてみましょう。通常の等方的な放物線型モデルでは、電子のエネルギーは波数ベクトルの大きさのみに依存します。しかしシリコンの場合は異なり、各Δバレーは軸方向に重い縦方向有効質量、その軸に垂直な方向には軽い横方向有効質量を持つ楕円体に類似しています。これらのバレーは±x、±y、±zという3組の対となるペアを形成しており、各ペアにおいては量子井戸の成長方向に対する向きに応じた有効質量が用いられるのです。

ある特定のΔバレーにおいて、有効質量に基づく閉じ込め問題は概念的に次のように表現できる。

\[ \left[-\frac{\hbar^2}{2}\frac{\partial}{\partial z} \left(\frac{1}{m_z^{*}(z)}\frac{\partial}{\partial z}\right) +V_{\Delta}(z)+\frac{\hbar^2 k_x^2}{2m_x^{*}(z)} +\frac{\hbar^2 k_y^2}{2m_y^{*}(z)}\right]\psi(z) =E(k_x,k_y)\psi(z). \]

ここで\(V_{\Delta}\)は、選択されたΔバレーの伝導帯における閉じ込めポテンシャルであり、ひずみによって生じるシフトも含まれる。有効質量は層ごとに異なる場合がある。重要な点は、z方向の有効質量が閉じ込め効果を決定し、2つの面内有効質量がサブバンド分散の傾きおよび曲率を制御するということである。

(001)面に沿った量子井戸においては、±z方向のペア（Δ2と呼ばれる）は閉じ込め方向における縦方向の有効質量を持つ。一方、4つの±x/±y方向のバレー（Δ4）はz方向において横方向の有効質量を持つ。ひずみが存在しなくても、これらのバレーにおける閉じ込めエネルギーが一致する必要はない。ひずみはさらに各バレーのエッジ位置を分離させる効果があり、その程度はおおよそ以下の通りとなる。

\[ \Delta E_{c,i}=\Xi_d\,\mathrm{Tr}(\varepsilon)+\Xi_u\,\varepsilon_{ii}, \qquad i\in\{x,y,z\}. \]

第一項は全体的な膨張に応じてすべてのバレーの向きを平行移動させるのに対し、第二項は各バレーの軸方向に沿ったひずみ成分を区別する。このΔ₂/Δ₄ エネルギー差は なし これは、同一ペア内にある2つの対向するバレー間で生じるごく小さな界面誘起分裂と同様のものである。後者についてはさらにバレー間結合の物理モデルが必要となり、この図からだけで推測すべきではない。詳細は シリコンのΔバレー理論に関するページ 詳細な背景情報については、そちらをご参照ください。

5. シミュレーションを実行する

ファイルリボンに戻り、「シミュレーション実行」をクリックしてください。モデルはまず一連の面内波数ベクトルにおける閉じ込められた伝導状態を解き、その後電子の散乱および輸送特性を評価します。??において、ターミナルは音響フォノン散乱の計算段階に到達しています。シミュレーション実行中に表示されるパーセンテージは進捗状況を示す指標に過ぎず、最終的な散乱結果ではありません。

計算が完了するまで待ち、その後「出力」タブを使用してプロットを開いてください。本チュートリアルではまずバンド分散を確認し、次に波数ベクトルに依存する散乱率および密度依存性を持つ輸送特性についても調べていきます。

6. 伝導帯分散の読み取り方

伝導帯の出力結果を開くと??が得られる。面内波数ベクトルがゼロの場合、各サブバンドはそれぞれ固有の量子閉じ込めエネルギーから始まる。\(k_{\parallel}\)の値が増加すると各サブバンドのエネルギーも上昇するが、上昇率は一律ではない。特に、プロットされた方向における有効質量が大きいサブバンドほど傾きが緩やかになる。別々に取り扱われたΔバレーから生じるサブバンド同士は互いに近接したり交差したりする可能性があるが、そのような近接状態をすべて多バンド反交差現象と解釈すべきではない。

均一な有効質量領域において、特定の向きを持つΔバレーは、上述のような面内分散特性を示す。

\[ E_n(k_x,k_y)\simeq E_n(0)+\frac{\hbar^2 k_x^2}{2m_x^{*}} +\frac{\hbar^2 k_y^2}{2m_y^{*}}. \]

このため、一つの等方的な放物線のコピーと見なして色付きの曲線群を解釈するよりも、面内波数ベクトルの方向を調べる方が有益となるのである。ここで示されているエネルギー基準値は例題で用いられているものであり、各サブバンド間のエネルギー差の方が絶対的なオフセット値よりも情報量が多いのが通常である。

7. 音響フォノン散乱から運動量緩和まで

バンド構造図からはどのような電子状態が存在しうるかが分かります。ただし、それだけでは電子が量子井戸内をどれほど容易に移動できるかは判明しません。移動度を算出するためには、フォノンが電子を現在の状態からどの程度の頻度で散乱させるか、そして何よりも重要な点として、そうした散乱事象が電子の運動方向をどの程度効果的に変化させるかも考慮する必要があります。

「出力」タブ(??)で散乱に関する出力結果を開いてください。ここでは通常のフォノン衝突率と輸送重み付けされた散乱率の両方が示されています。この両者の違いは単なる見た目上の差異ではありません。ごく小さな角度での衝突でも電子の状態は変化しますが、その結果として電子の運動量が緩和される度合いはごくわずかである場合もあるからです。

フォノン遷移の出発点となるのはフェルミの黄金律であり、その概念図は以下の通りである

\[ W_{i\rightarrow f}=\frac{2\pi}{\hbar}|M_{fi}|^2 \,\delta(E_f-E_i\pm\hbar\omega_{\mathbf q}), \]

ここで、相互作用の行列要素 \(M_{fi}\) には変形ポテンシャル結合項ならびに初期状態および終状態の閉じ込め電子状態の重なりが含まれる。符号の正負により、一般的な場合におけるフォノンの吸収または放出が表現される。ここで示す音響フォノンに関する計算では、通常の近弾性近似および熱フォノン近似が用いられている。閉じ込め状態の計算には、縦および横方向の音響偏極、ならびに面外方向のフォノン波数ベクトルも考慮されている。

輸送レートにはさらなる角度重み付けが導入される。本モデルで用いられている単純な運動量方向モデルにおいて、その役割は次のように要約できる。

\[ \frac{1}{\tau_{\mathrm{tr}}(i)} =\sum_f W_{i\rightarrow f}\bigl(1-\cos\theta_{if}\bigr), \qquad \tau_{\mathrm{tr}}=\frac{1}{\Gamma_{\mathrm{tr}}}. \]

前方散乱（\(\theta_{if}\)の値が小さい）はこの輸送特性の評価において抑制されている一方で、後方散乱の寄与がより顕著となる。このことが、全フォノン散乱寿命と輸送寿命が必ずしも一致しない理由である。輸送率の例を示した図が??に記載されている。この図において、プロットされた値は表示範囲内で波数ベクトルが増大するにつれて概ね上昇する。その正確な形状は、サブバンドの構造、許容される終状態、材料パラメータ、およびフォノンとの重なり具合に依存する。

選択された出力結果は、x方向に向いたΔバレー群および1つのサブバンドに関するものであり、これ単体では6つのバレーから成る電子ガスの全体的な移動度を表すものではない。また、出力結果において\(k=0\)付近で移動率がゼロまたは存在しない場合でも、そこでは電子が全く散乱しないという証拠と解釈すべきではない。

8. フェルミ準位から移動度へ

移動度の算出に際しては、任意に選ばれた波数ベクトル一点のみで評価されるわけではない。電子は多数の可能な状態を占めており、その占有状態の分布は面内キャリア密度に応じて変化する。したがって本シミュレーションでは、指定された二次元キャリア密度に適合するフェルミ準位を決定し、占有されているすべてのサブバンドおよびバレー方向に対して輸送応答を平均化するのである。

エネルギーが\(E\)である電子状態のフェルミ・ディラック占有確率は

\[ f(E;E_F,T)=\frac{1}{1+\exp\!\left[(E-E_F)/(k_BT)\right]}. \]

面内の波数ベクトルおよび関連するサブバンドにわたって占有状態を合計することで、単位面積当たりの電子密度 \(n_{2D}\) がm\(^{-2}\)単位で求められる。\(n_{2D}\)を増加させるには通常、電子のフェルミ準位を引き上げる必要があり、その変化の様子が下記の最初の図に直接示されている。

輸送緩和時間モデルにおいて、選択した面内軸方向の導電率は、バンド速度および輸送緩和時間を用いて表現できる。

\[ \sigma_{xx}^{2D}=e^2\sum_{n,v}\int\frac{d^2k_{\parallel}}{(2\pi)^2} v_{n,v,x}^2(\mathbf{k}_{\parallel})\, \tau_{n,v,\mathrm{tr}}(\mathbf{k}_{\parallel}) \left(-\frac{\partial f}{\partial E}\right), \qquad \mu_x=\frac{\sigma_{xx}^{2D}}{e\,n_{2D}}. \]

ここで\(v_{n,v,x}\)は、バレー群\(v\)に属するサブバンド\(n\)における電子のx方向群速度を表します。物理的に等価な方向すべてを合計する際には、適切なバレー重数が用いられます。係数\(-\partial f/\partial E\)は、すべての占有状態を均等に重み付けするのではなく、わずかな外部電場に応答可能な状態により大きな重みを与える役割を果たします。

??に示されたキャリア密度範囲内において、計算された移動度は約0.57から0.49 m2 V−1 s−1へと減少している。同時に、??に示すように有効な輸送散乱率も上昇している。これは、本設定において密度依存性に基づき運動量緩和が強い電子状態により大きな重みが与えられることと整合している。対応する有効寿命は輸送加重を考慮した量であり、その逆数を単独でプロットされた単一状態におけるフォノン散乱率と混同すべきではない。

この例では、設定した散乱モデルから予測される電子移動度を示しているが、あらゆる種類の不規則性や界面効果、不純物、フォノン散乱メカニズムを含めた実際のシリコン／SiGe系の移動度そのものと解釈すべきではない。

9. 自分で試してみましょう

提供されている結果を再現できるようになったら、一度に一つの変更のみを行い、計算を再実行してください。以下の実験は、モデルの入力値とその背後にある物理現象との関連性を理解するのに役立ちます。

主要な結果として、シリコンの移動度は以下の一連の計算過程と関連している：バレーの向きおよびひずみ → 閉じ込められたサブバンド → 可能なフォノン遷移 → 輸送寿命 → 占有状態における導電率 → 移動度。これが、本例と光学的な量子井戸チュートリアルとの主な相違点である。