擬似格子整合成長とひずみテンソル

格子定数が異なる基板上に薄膜層を成長させると、その層は基板の面内間隔に合わせて変形する。この擬似格子整合成長に伴うひずみは避けるべき問題ではなく、むしろバンド端の位置をシフトさせ、重ホール帯と軽ホール帯を分離させ、発光波長や偏光特性を調整するための設計手段となる。本ページでは、OghmaNanoで用いられるひずみテンソルの導出過程を説明し、それがk·pハミルトニアンにどのように反映されるかを解説する。

1. 擬似格子整合成長

臨界厚さ以下の領域では、薄い層が整合成長する。この層の面内原子列は基板と整列するため、面内格子定数は基板の値に強制される一方で、成長方向には自由に緩和する。したがって面内ひずみは

\[ \varepsilon_{xx} = \varepsilon_{yy} = \frac{a_{\text{sub}} - a_{\text{layer}}}{a_{\text{layer}}}, \]

ここで\(a_{\text{sub}}\)および\(a_{\text{layer}}\)はそれぞれひずみのない基板および層の格子定数を表す。もし層の自然な格子間隔が基板のそれよりも大きい場合（\(a_{\text{layer}} > a_{\text{sub}}\)）、面内ひずみは負の値となり層は圧縮ひずみ状態となる。逆の場合は引張りひずみが生じる。格子定数や弾性定数が欠落している場合、ひずみを定義できないためOghmaNanoはエラーを出力する。

2. 面外方向のひずみ

成長方向においては層は自由な状態にあるため、表面に対して垂直な応力は存在しない：\(\sigma_{zz}=0\)。[001]面上に成長した立方晶においては、フックの法則により垂直応力が弾性定数 \(C_{11}\) および \(C_{12}\) を介して各ひずみ値と関連付けられる。

\[ \sigma_{zz} = C_{11}\varepsilon_{zz} + C_{12}(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}) = 0. \]

\(\varepsilon_{xx}=\varepsilon_{yy}\)を設定して解くことで、OghmaNanoで用いられる関係式が得られる。

\[ \varepsilon_{zz} = -\,\frac{2 C_{12}}{C_{11}}\,\varepsilon_{xx}. \]

したがって、この層は互いに逆方向に歪むことになる \(z\)圧縮ひずみを受けた層 （\(\varepsilon_{xx}\)<0\)) stretches along the growth direction (\(\varepsilon_{zz}>0）であり、その逆も同様である。[001]方向に成長する場合のせん断成分は \(\varepsilon_{xy}, \varepsilon_{xz}, \varepsilon_{yz}\) すべてゼロとなり、したがってひずみは純粋に二軸ひずみとなる。

3. 静水圧ひずみと二軸ひずみ

ひずみを体積を変化させる静水圧ひずみ成分と、形状を変化させる二軸（せん断）ひずみ成分に分離することは有用である。静水圧ひずみ成分とはひずみテンソルのトレースに相当する

\[ \mathrm{Tr}(\varepsilon) = \varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz} = 2\varepsilon_{xx}\left(1 - \frac{C_{12}}{C_{11}}\right), \]

この静水圧ひずみは変形ポテンシャルを介してバンドギャップをシフトさせる。一方、\(\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{zz}\)に比例する二軸ひずみは体積を変化させないが、価電子帯の縮退を解消し、シリコンにおいては伝導帯の谷構造を分離させる。これら二つのひずみ成分はそれぞれ異なるk·pハミルトニアンの項を通じて作用するため、個別に論じることが可能である。

4. バンド端への影響

静水圧ひずみ成分は伝導帯を\(a_c\,\mathrm{Tr}(\varepsilon)\)分、平均的な価電子帯を\(a_v\,\mathrm{Tr}(\varepsilon)\)分それぞれシフトさせ、バンドギャップを変化させる。一方、二軸ひずみ成分は剪断変形ポテンシャル\(b\)および\(d\)（亜鉛鉱型構造）を介して価電子帯に影響を及ぼし、重い正孔と軽い正孔を分離させる。圧縮ひずみの場合、通常は重い正孔が最も高エネルギー側に移動し、TE発光が促進される。引張りひずみでは軽い正孔が上昇し、TM発光が促進される傾向がある。これらひずみ演算子の詳細はBir–Pikusページで説明されており、各シミュレータがひずみテンソルをどのように利用するかについては同ページおよび各モデルページ（亜鉛鉱型構造、ウルツ鉱型構造、シリコン、Luttinger–Kohn）でも概説されている。