散乱・緩和時間・移動度

量子井戸内におけるキャリアの移動度は散乱現象によって制限される。OghmaNanoでは現在、変形ポテンシャルに基づく音響フォノン散乱を実装しており、フェルミの黄金律を用いて散乱率を算出している。得られた緩和時間は緩和時間近似法により移動度へと変換される。本ページではそのメカニズムを詳述するとともに、実装されている機能および未実装の機能についても明確に説明する。

1. フェルミの黄金則

摂動\(\delta H\)の作用による初期状態\(|i\rangle\)から終状態\(|f\rangle\)への遷移率は

\[ \Gamma_i = \frac{2\pi}{\hbar}\sum_f \big|\langle f|\delta H|i\rangle\big|^2\, \delta\!\big(E_f - E_i\big), \]

エネルギー保存則を満たすためのデルタ関数であり、弾性散乱を記述する。デバイス温度下における音響フォノンの場合、この過程はほぼ弾性的であり、等分配の条件の下ではフォノンの占有数がある係数として寄与する。 \(k_B T\)この摂動とは、変形ポテンシャルを介してバンド構造に作用する音響フォノンのひずみ場のことである。

2. 音響変形ポテンシャル

音響フォノンは局所的に結晶格子にひずみを生じさせ、このひずみが変形ポテンシャルを介してバンド端の位置をシフトさせるのである \(D\)OghmaNanoは、波数ベクトルを持つフォノンによるひずみ場を生成する。 \(\mathbf{q}\) および分極 \(\hat{\mathbf{e}}\)そしてそれをバンド構造に結合させる。価電子帯については同様の方法で行う。 ビル・ピクス 静的ひずみの計算に用いられる変形ポテンシャルである。等分配の条件の下で、フォノン占有数に対して行列要素の二乗値を平均することで前置因子が得られる。

\[ \text{prefactor} = \frac{D^2\,k_B T}{\rho\,v_s^2\,\hbar}, \]

ここで\(\rho\)は質量密度、\(v_s\)は音速を表す。この散乱率は温度に比例して増加するが、これは音響変形ポテンシャル散乱の特徴である。

3. 終状態の密度および形状因子

散乱率の算出にはさらに2つの要素が必要となる。各終端サブバンドにおいて、波数ベクトルを特定することでエネルギーのデルタ関数が評価される。 \(k_f\) その時点で \(E_f(k_f)=E_i\)そして、そこでの二次元状態密度による重み付けが行われるが、この密度は比例関係にある \(k_f/|dE/dk|\)そして初期状態と終状態の波動関数包絡線の重なり—— 形状因子 \(G\) これは、2つの状態がポテンシャル井戸内の同一領域をどの程度共有しているかを示す指標である。状態間の空間的重なりが少ない場合、サブバンド間散乱は抑制される。ある状態における散乱率は \(i\) したがって

\[ \Gamma_i = \text{prefactor}\,\sum_f \frac{k_f\,G_{if}}{|dE/dk|_f}, \qquad \tau_i = \frac{1}{\Gamma_i}. \]

緩和時間\(\tau_i\)とは、状態\(i\)からの散乱の全散乱率の逆数に他ならない。

4. 緩和時間から移動度へ

移動度は、緩和時間近似における線形化されたボルツマン方程式から導出される。各状態は、その群速度の二乗値、緩和時間、および占有数の微分値に比例して導電率に寄与する。群速度は

\[ v(k) = \frac{1}{\hbar}\,\frac{dE}{dk}, \]

そしてフェルミ準位付近の状態でのみ輸送が起こることを規定する占有数の微分値が\(-\partial f/\partial E = f(1-f)/k_B T\)である。この値を用いてサブバンド全体にわたって積分を行う。

\[ \sigma \propto q^2 \sum_n \int \frac{dk}{(2\pi)}\; k\,v(k)^2\,\tau(k)\,\big[-\partial f/\partial E\big], \]

移動度とは、単位電荷および二次元面密度あたりの導電率を指す。

\[ \mu = \frac{\sigma}{q\,p_{2D}}, \]

同じ分散関係に基づいて求められた面密度 \(p_{2D}=\sum_n\int (k\,dk/2\pi)\,f\) を用いることで、単一質量の推定値ではなく、実際の非放物線型サブバンド構造を反映した有効移動度が得られる。

5. 仮定と限界

実装されているモデルは意図的に限定された範囲のみを扱う。すなわち、弾性散乱かつエネルギー等分配の条件下において変形ポテンシャルを用いて音響フォノン散乱を記述し、緩和時間近似に基づいて輸送現象を評価する。このモデルでは極性光学フォノン（フレーリッヒ散乱）、イオン化不純物散乱、界面粗さ散乱、合金不規則性散乱、ならびにエネルギー等分配の範囲を超えた非弾性フォノンの放出・吸収といった現象は考慮されていない。これらの機構が支配的となる場合、例えば室温下の極性材料や高濃度ドープされた構造、あるいは表面が粗い構造においては、算出された移動度は完全な輸送現象の予測値ではなく、音響フォノン散乱に起因する寄与分として解釈すべきである。