シリコン量子井戸と6つの伝導帯バレー極小点

なぜシリコンはGaAsと異なるのか？

放物線型バンドチュートリアルにおいて、我々は伝導帯極小点と単一の有効質量を用いて量子井戸を記述した。これは、最も低エネルギーの伝導状態がブリルアンゾーンの中心（ガンマ点）に位置するGaAsのような直接遷移型半導体材料においては有用な出発点となる。しかしシリコンの場合はさらに別の概念が必要となる。シリコンにおける最も低エネルギーの伝導状態はガンマ点から離れた場所に存在するからである。

シリコンには1つの伝導帯極小点のみ存在するのではなく、6つの等価な極小点が存在し、これらは通例「Δバレー」と呼ばれる。??に示すように、これらのバレーは直交座標軸の正負方向、すなわち+x、−x、+y、−y、+z、−zに位置している。各バレーとは、電子がエネルギーの局所的な極小値付近の状態を占めることのできる逆空間内の領域を指す。

ひずみのないバルクシリコン結晶においては、対称性により6つのバレー極小点のエネルギーはすべて等しくなる。しかしシリコンを量子井戸構造にすると、その有限な厚みによって特定の方向が顕在化する。その結果、バルク状態では同じエネルギー群に属していたバレー極小点であっても、量子閉じ込めの影響を異なる形で受けるようになる。

バレー極小点とは具体的に何を指すのでしょうか？

バレー極小点とは、シリコン結晶内における電子エネルギーと結晶波数ベクトルの関係を表すグラフ上の極小点を指す。これはシリコン内部の物理的な空洞を意味するものではない。この極小点付近におけるエネルギー分布は概ね放物線状となるが、導入モデルで用いられる単一かつ等方的な放物線とは異なり、シリコンのバレー極小点における曲率は逆空間内での移動方向に依存する。

各バレー極小点の周囲における等エネルギ面は、細長い楕円体として捉えることができ、上図にその模式図を示した。この楕円体の長軸方向がバレーの軸を表す。この軸方向における有効質量が縦方向有効質量であり、それに直交する2方向の有効質量が横方向有効質量と呼ばれる。

逆空間におけるバレー極小点の位置と実空間内での電子の運動軌跡とを区別することが重要である。例えば+z方向のバレー極小点が存在するからといって、電子がデバイス内で必ず上向きにのみ移動するわけではない。これは単に、そのバレー極小点が結晶のバンド構造上で+z方向に位置していることを意味するに過ぎない。その極小点周囲での電子の運動には依然として3つの方向成分が存在し、それぞれにおいて異なる有効質量が作用しているのである。

縦方向および横方向の有効質量

あるバレー極小点の近傍において、電子のエネルギーは異方性を持つ放物線近似を用いて表現できる。軸がz方向に沿うバレーについては、次のように記述できる。

\[ E(\mathbf{q})=E_{c,\Delta} +\frac{\hbar^2 q_x^2}{2m_t} +\frac{\hbar^2 q_y^2}{2m_t} +\frac{\hbar^2 q_z^2}{2m_l}. \]

ここで\(\mathbf{q}\)はガンマ点ではなく、各バレー極小点の中心を基準とした波数ベクトルを表す。\(E_{c,\Delta}\)はバレー極小点におけるエネルギー値である。シリコンには2種類の特徴的な有効質量が存在する：

• 縦方向有効質量 \(m_l\): バレー軸方向の有効質量であり、およそ \(0.916m_0\).
• 横方向有効質量 \(m_t\): どちらかの垂直方向における有効質量であり、およそ \(0.190m_0\).

縦方向の有効質量は横方向の有効質量よりもはるかに大きい。そのため、運動方向に応じてエネルギーの増加率も異なる。適切な軸に縦方向の有効質量を割り当てることで、x軸またはy軸方向に存在するバレー極小点に対しても同じ式が適用可能となる。

このような違いこそが、シリコン量子井戸を興味深いものにしているのです。つまり、閉じ込め効果に寄与する有効質量は、どのバレー極小点を考慮しているかによって変わってくるのです。

シリコン量子井戸を作製した場合、どのような現象が起こるのか？

適切な障壁層、例えばSi/SiGeヘテロ構造によって挟まれたシリコン層を考えてみましょう。この薄い層の成長方向はz軸となり、半導体層はx–y平面内に広がっています。先の量子井戸入門で述べたように、層内での運動は量子化されますが、層に平行な方向の運動は自由なままです。ただし今回は、6つのバレー極小点がすべて拘束方向において同じ有効質量を持つわけではありません。

成長方向（+zおよび−z）に沿って軸を持つ2つのバレー極小点は、大きな縦方向有効質量を持つ。 \(m_l\) 閉じ込め方向においては、成長方向に沿って存在する他の4つのバレー極小点（±xおよび±y方向）は、より軽い横方向有効質量を持つ。 \(m_t\) その方向において。 [001]方向に成長させた場合、これら2つのグループは以下のように呼ばれる：

• Δ₂：成長方向（+zおよび−z方向）に沿って配列する2つのバレー極小点。
• Δ₄：層面に平行な軸を持つ4つのバレー極小点（+x方向、−x方向、+y方向、−y方向）である。

なぜこの差異が重要なのでしょうか？無限深さの量子井戸における最低エネルギーの値を思い出してみましょう。

\[ E_1=\frac{\pi^2\hbar^2}{2m_z L^2}. \]

ここ \(m_z\) これはウェル内方向の有効質量であり \(L\) これが量子井戸の幅です。この式からわかるのは、 有効質量が大きいほど、閉じ込めエネルギーは小さくなる他の条件が同じであれば、[001]方向の量子井戸においてΔ₂バレーの状態はΔ₄バレーの状態よりも低い閉じ込めエネルギーを持つ。閉じ込め効果のみでも、ひずみを導入する前から両者のサブバンド極小点を分離させることが可能である。

なお、ここで述べているのは、各バレー極小点が完全に閉じ込められているか完全に自由であるかということではない。6つのバレー極小点すべてがz方向には閉じ込められているが、それぞれ異なる有効質量によって閉じ込められているに過ぎない。また、各バレー極小点にはそれぞれ固有の縦方向および横方向の有効質量が存在するため、層面に平行な方向におけるエネルギー分散も互いに異なっている。

ひずみはどのようにしてバレー極小点のエネルギーを変化させるのか？

これらのバレー極小点を制御するための別の重要な方法として、格子定数の異なる材料上にシリコン薄膜を成長させる方法がある。そうすることで結晶格子が伸長または圧縮され、これをストレインと呼ぶ。ストレインは結晶環境を変化させるため、伝導帯の極小点の位置も変化する。ただし、その変化量は各バレー極小点ごとに異なる場合もある。

シリコンのΔバレーモデルにおいて、エネルギーシフトは次式で表される：

\[ \boxed{ \Delta E_{c,i}= \Xi_d\,\operatorname{Tr}(\varepsilon) +\Xi_u\,\varepsilon_{ii} } \]

記述は複雑に見えるものの、この式には物理的効果が2つしか含まれていません。ひずみテンソル\(\varepsilon\)は結晶の変形状態を表しており、そのトレース値は3つの垂直ひずみ成分の和となります。

\[ \operatorname{Tr}(\varepsilon) =\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}. \]

• \(\Xi_d\)・膨張変形ポテンシャル： 全体的な体積変化に起因するひずみに比例し、6つのバレー極小点すべてを同一量だけ移動させる。
• \(\Xi_u\)は単軸変形ポテンシャルであり、各バレーの軸方向に沿ったひずみ値に乗算されることで、異なる軸方向を持つバレーがそれぞれ異なる量だけエネルギーシフトすることを可能にする。

第2項において、添字\(i\)はバレー軸を指定する。すなわち、x軸方向のバレーには\(\varepsilon_{xx}\)が、y軸方向のバレーには\(\varepsilon_{yy}\)が、z軸方向のバレーには\(\varepsilon_{zz}\)が用いられる。このモデルでは、同一軸上にある正負のバレーは同じエネルギーシフトを受ける。

なぜΔ₂群とΔ₄群のエネルギー分裂が生じるのか？

最も一般的な例としては、二軸性ひずみが作用している[001]方向に配向したシリコン層が挙げられる。層面に平行な両方向におけるひずみ値は同一であるため\(\varepsilon_{xx}=\varepsilon_{yy}=\varepsilon_{\parallel}\)。一方、層面に垂直な方向のひずみ値\(\varepsilon_{zz}\)は、結晶がその方向で弾性的に緩和するため通常は異なる値となる。

したがって、我々の歪み方程式により、2つのΔ₂バレー極小点には1つのエネルギーシフトが、4つのΔ₄バレー極小点には別のエネルギーシフトが生じることになる。

\[ \begin{aligned} \Delta E_{\Delta_2} &=\Xi_d\operatorname{Tr}(\varepsilon) +\Xi_u\varepsilon_{zz},\\[5pt] \Delta E_{\Delta_4} &=\Xi_d\operatorname{Tr}(\varepsilon) +\Xi_u\varepsilon_{\parallel}. \end{aligned} \]

これら二つの式を差し引くことで、バレー分裂の理由が非常に明確になる。すなわち、共通する膨張に起因する項が相殺され、残るのは

\[ \boxed{ \Delta E_{\Delta_2}-\Delta E_{\Delta_4} =\Xi_u\big(\varepsilon_{zz}-\varepsilon_{\parallel}\big) }. \]

シリコンに生じる引張り性の面内ひずみの場合、垂直方向のひずみは圧縮性となる。通常の正の値を持つ\(\Xi_u\)を用いると、??に示すようにΔ₂バレー極小点はΔ₄バレー極小点よりも低エネルギー側へ移動する。これにより、電子が各バレー極小点間でどのように分布するかが変化する。

シリコン量子井戸は、前述した方向依存性を持つ閉じ込めエネルギーと、ひずみによって生じる方向依存性のあるエネルギーシフトという二つのメカニズムの影響を受ける。これら両方が、最終的にΔ₂およびΔ₄サブバンドの位置を決定することになる。

OghmaNanoでは、シリコン量子井戸をどのように計算するのか？

6つのバレー極小点を考慮するモデルは一見すると大規模な多バンド問題のように思われるかもしれませんが、各バレーは当サイトのパラボリックバンドページで紹介したスカラー型有効質量モデルを用いて扱うことが可能です。主な相違点としては、各バレーごとに有効質量の方向性が異なり、ひずみによってシフトしたバンド端の位置もそれぞれ異なる点が挙げられます。

特定のバレー極小点に対して、OghmaNanoは量子井戸内において一次元の包絡関数方程式を解く。

\[ -\frac{\hbar^2}{2}\frac{d}{dz} \left[\frac{1}{m_z(z)}\frac{d\psi(z)}{dz}\right] +V_{\Delta}(z)\psi(z)=E\psi(z). \]

有効質量 \(m_z(z)\) は、バレーの向きや局所的な半導体材料に応じて選定され、\(V_{\Delta}(z)\) には対応するバンド端の形状およびひずみによるエネルギーシフトが含まれる。その後、適切なx方向およびy方向の有効質量を用いて面内運動の項が加えられる。

\[ E_n(k_x,k_y)=E_n(0,0) +\frac{\hbar^2 k_x^2}{2m_x} +\frac{\hbar^2 k_y^2}{2m_y}. \]

[001]方向の構造においては、この独立バレーモデル近似の下で+zおよび−zバレーは同じ有効質量値を持ち、同様に±xおよび±yのバレー群もその向きによってグループ化できる。このため計算によって6つのシリコンバレーそれぞれに由来する閉じ込めエネルギーや面内分散が得られるが、大規模な結合ハミルトニアンを構築する必要はない。このモデルを用いたシリコン/シリコンゲルマニウム系の完全な例が、シリコンΔバレー量子井戸チュートリアルに記載されている。

しかしながら、このモデルには重要な制限がある。このモデルでは、同一軸上にある2つの対向するバレー極小点は等価な独立した状態として扱われる。+z方向および−z方向のバレー極小点を結合させる原子レベルで急峻な界面によって生じるさらなるエネルギー分裂は、前述の単純な有効質量・ひずみ方程式では記述されない。そのため、バレー間の結合現象を明示的に取り扱う必要がある。

なぜバレー分裂が有用なのか？

Δ₂群とΔ₄群の相対位置を変化させることで、特定の温度やキャリア密度条件下でどの電子状態が占有されるかが変わる。これらのバレー群では有効質量が異なるため、その相対的な占有数を変えると半導体層に沿った電子輸送特性も変化する。これこそが、ひずみを加えたシリコンやSi/SiGeヘテロ構造において重要となる物理的メカニズムの一つである。

シリコンはまた、量子井戸モデリングにおけるより広範な教訓を示している。すなわち、層の厚さやバンドオフセットの値のみを知っているだけでは不十分であり、逆空間上でバンド極小点がどの位置にあるか、有効質量が方向によってどのように変化するか、そしてひずみ下で結晶構造がどう変わるかも把握する必要があるのだ。