传输矩阵方法理论

在界面左侧，电场由下式给出

\[E_{1}=E^{+}_{1} e^{-j k_1 z}+E^{-}_{1} e^{j k_1 z} \label{efield1}\]，而在 界面右侧，电场由下式给出 \[E_{2}=E^{+}_{2} e^{-j k_2 z}+E^{-}_{2} e^{j k_2 z} \label{efield2}\]

Maxwel 方程给出了平面波中电场与磁场之间的关系。

\[\nabla \times E=-j\omega \mu H\]，其可简化为：\[\frac{\partial E} {\partial z}=-j\omega \mu H \label{maxwel}\]

将方程 ?? 应用于方程 ??-??，可得到界面左侧的磁场 \[-j \mu \omega H^{y}_{1}=-j k_1 E^{+}_{1} e^{-j k_1 z}+j k_1 E^{-}_{1} e^{j k_1 z}\]，以及界面右侧的磁场 \[-j \mu \omega H^{y}_{2}=-j k_2 E^{+}_{2} e^{-j k_2 z}+j k_2 E^{-}_{2} e^{j k_2 z}.\]

整理可得，\[H^{y}_{1}=\frac{k}{\omega \mu}E^{+}_{1} e^{-j k_1 z}-\frac{k}{\omega \mu} E^{-}_{1} e^{j k_1 z}\]

\[H^{y}_{2}=\frac{k}{\omega \mu}E^{+}_{2} e^{-j k_2 z}-\frac{k}{\omega \mu} E^{-}_{2} e^{j k_2 z}\]

边界条件

现在应用电场与磁场的边界条件 \[\mathbf{n} \times (\mathbf{E_2}-\mathbf{E_1})=0\]

\[\mathbf{n} \times (\mathbf{H_2}-\mathbf{H_1})=0\]

令界面位于 z=0，可得 \[(E_{2}^{+}+E_{2}^{-})-(E_{1}^{+}+E_{1}^{-})=0 \label{electric_boundary}\]，以及 \[\frac{k_1}{\omega \mu}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})-(E_{1}^{+}-E_{1}^{-})\frac{k_2}{\omega \mu}=0\] 。波矢由下式给出 \[k=\frac{2 \omega }{\lambda}=\frac{\omega n}{c}\] 。 因此可以将磁场边界条件写为 \[n_2 (E_{2}^{+}-E_{2}^{-}) - n_1 (E_{1}^{+}-E_{1}^{-})=0 \label{mag_boundary}\]

前向传播波

整理方程 ?? 得到：

\[E_{1}^{-} = E_{1}^{+}-\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})\] 将其代入 方程 ??，得到 \[E_{2}^{+}+E_{2}^{-}=E_{1}^{+}+E_{1}^{+}-\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})\]

\[2E_{1}^{+}=E_{2}^{+}+E_{2}^{-}+\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})\]

\[2E_{1}^{+}\frac{n_1}{n_1+n_2}=E_{2}^{+}+E_{2}^{-}\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\]

后向传播波

整理方程 ?? 得到：

\[E_{1}^{+}=E_{1}^{-} +\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})\]

将其代入方程 ??，得到 \[E_{2}^{+}+E_{2}^{-}=E_{1}^{-} +\frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})+E_{1}^{-}\]

\[2E_{1}^{-}=E_{2}^{+}+E_{2}^{-}- \frac{n_2}{n_1}(E_{2}^{+}-E_{2}^{-})\]

\[2E_{1}^{-}\frac{n_1}{n_1+n_2}=E_{2}^{+}\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}+E_{2}^{-}\] 这与在 . 中得到的结果相同。

这些方程变为：

\[E_{1}^{-}t_{12}=E_{2}^{+}r_{12}+E_{2}^{-}\]

以及 \[E_{1}^{+}t_{12}=E_{2}^{+}+E_{2}^{-}r_{12}\]

考虑传播后可写为。注意 与 本工作之间符号的变化，这是因为我 定义波动方程的方式不同。\[E_{1}^{+}t_{12}=E_{2}^{+}e^{\zeta_2 d_1}+E_{2}^{-}r_{12}e^{-\zeta_2 d_1}\]，以及

\[E_{1}^{-}t_{12}=E_{2}^{+}r_{12}e^{\zeta_2 d_1}+E_{2}^{-}e^{-\zeta_2 d_1}\]

其中 \[\zeta=\frac{2\pi}{\lambda} \bar{n}\]

对于具有非反射背电极的器件：

\(\begin{pmatrix} e^{\zeta d} & 0 & 0 & 0 &r_{01}e^{-\zeta d} & 0 & 0 & 0 \\ -t_{12} & e^{\zeta d} & 0 & 0 &0 & r_{12}e^{-\zeta d} & 0 & 0 \\ 0 & -t_{23} & e^{\zeta d} & 0 &0 & 0 & r_{23}e^{-\zeta d} & 0 \\ 0 & 0 & -t_{34} & e^{\zeta d} & 0 & 0 & 0 & r_{34}e^{-\zeta d} \\ 0 &r_{12}e^{\zeta d_1} & 0 & 0 & -t_{12} &e^{-\zeta d} & 0 & 0 \\ 0 &0 & r_{23}e^{\zeta d} & 0 & 0 &-t_{23} & e^{-\zeta d} & 0 \\ 0 &0 & 0 & r_{34}e^{\zeta d} & 0 &0 & -t_{34} & e^{-\zeta d} \\ 0 &0 & 0 & 0 & 0 &0 & 0 & -t_{45} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_{1}^{+} \\ E_{2}^{+} \\ E_{3}^{+} \\ E_{4}^{+} \\ E_{1}^{-} \\ E_{2}^{-} \\ E_{3}^{-} \\ E_{4}^{-} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t_{01}E_{external} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)

折射率与吸收

\[E(z,t)=Re(E_0 e^{j(-kz+\omega t)})= Re(E_0 e^{j(\frac{-2 \pi (n+j\kappa)}{\lambda}z + \omega t)})=e^{\frac{2\pi\kappa z}{\lambda}}Re(E_0 e^{\frac{j(-2 \pi (n+j\kappa)}{\lambda}z +\omega t})\] 并且由于强度与电场的平方成正比，吸收系数 变为

\[e^{-\alpha x}=e^{\frac{2\pi\kappa z}{\lambda}}\]

\[\alpha=-\frac{4\pi\kappa}{\lambda_0}\]