バー・ピクス歪みハミルトニアン

ひずみは結晶のポテンシャルを変形させるため、価電子帯のエネルギー準位がシフトしたり混ざり合ったりする。バー・ピクス歪みハミルトニアンは、運動量k・pに基づく価電子帯ハミルトニアンのひずみ版に相当し、その構造は全く同一であるが、波数ベクトルの積の代わりにひずみ成分が用いられる。OghmaNanoではこのハミルトニアンが2種類の等価な形式で実装されており、1つはLuttinger–Kohnソルバー向けの簡潔な\(P, Q, R, S\)形式、もう1つは8バンドソルバー向けの直交座標系形式である。

1. \(P, Q, R, S\)形式

全角運動量基底において、価電子帯の歪みハミルトニアンは4つの量から構成される。変形ポテンシャルである等方性ひずみ用の\(a_v\)およびせん断ひずみ用の\(b, d\)を用いて、OghmaNanoは計算を行う

\[ \begin{aligned} P &= a_v\,\mathrm{Tr}(\varepsilon), \\ Q &= \tfrac{1}{2}\,b\,(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}-2\varepsilon_{zz}), \\ R &= -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\,b\,(\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{yy}) + i\,d\,\varepsilon_{xy}, \\ S &= -\,d\,(\varepsilon_{xz} - i\,\varepsilon_{yz}), \end{aligned} \]

\(\mathrm{Tr}(\varepsilon)=\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}\)を用いる。\(P\)は平均価電子帯の等方圧縮シフトを表し、\(Q\)は重正孔と軽正孔の間の二軸性分裂を示す。また\(R, S\)はせん断結合項であり、せん断のない[001]方向のひずみ条件下ではゼロとなる。これら4つのひずみ量は、Luttinger–Kohnハミルトニアンの運動量項\(P, Q, R, S\)に直接加算されるため、同一の\(6\times6\)行列が運動論的現象とひずみ効果の両方を記述することになる。

2. デカルト座標系におけるX/Y/Z表記法

8バンドの亜鉛華構造モデルは直交座標系における軌道基底で機能するため、OghmaNanoでは同様の物理現象を\(3\times3\)行列が\(|X\rangle, |Y\rangle, |Z\rangle\)に作用する形で表現している。

\[ H^{\varepsilon} = \begin{pmatrix} a_v\mathrm{Tr}\varepsilon + b(2\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{yy}-\varepsilon_{zz}) & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xy} & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xz} \\[3pt] \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xy} & a_v\mathrm{Tr}\varepsilon + b(2\varepsilon_{yy}-\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{zz}) & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{yz} \\[3pt] \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{xz} & \sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{yz} & a_v\mathrm{Tr}\varepsilon + b(2\varepsilon_{zz}-\varepsilon_{xx}-\varepsilon_{yy}) \end{pmatrix}. \]

対角成分は等方圧縮シフト \(a_v\mathrm{Tr}(\varepsilon)\) と軸方向の効果 \(b(2\varepsilon_{ii}-\varepsilon_{jj}-\varepsilon_{kk})\) を組み合わせたものであり、[001]方向の二軸性ひずみ条件下では非対角のせん断結合項 \(\sqrt{3}\,d\,\varepsilon_{ij}\) はゼロとなる。この歪みポテンシャルはスピンに依存しないため、OghmaNanoではこの \(3\times3\) ブロックをスピンアップおよびスピンダウンの価電子軌道に対して同一に適用する。

3. なぜ二つの定式化が一致するのか

直交座標系形式と\(P, Q, R, S\)形式は、\(|X\rangle,|Y\rangle,|Z\rangle\)軌道と\(|J,m_j\rangle\)状態を結びつけるユニタリ変換によって相互に変換可能である。例えば、直交座標系における対角成分の差である\(b(2\varepsilon_{zz}-\varepsilon_{xx}- \varepsilon_{yy})\)は、前述の通り\(Q\)を用いて表される\(-2Q\)と完全に一致し、せん断項もそれぞれ\(R\)および\(S\)に対応する。両形式とも同じ3種類の変形ポテンシャルを用いており、価電子帯のエネルギー値も同一となる。どちらの形式を選ぶかは、各ソルバーが利用する基底の利便性次第である。

4. 変形ポテンシャル

3つの変形ポテンシャル値が価電子帯の歪み応答を決定する。等方性ひずみに対する変形ポテンシャル \(a_v\) は体積変化に伴う価電子帯エネルギーの平均的移動量を規定し、伝導帯用の変形ポテンシャル \(a_c\) と組み合わせることでバンドギャップ変形ポテンシャル \(a = a_c - a_v\) が得られる。\(b\) は [001] 方向の二軸性歪み下における重い正孔と軽い正孔の分裂挙動を制御し、\(d\) は他方向のせん断歪みに対する応答を決定する。これら3つの変形ポテンシャルはいずれもエネルギー単位（eV）を取り、価電子帯においては通常負の値をとる。その具体的な数値および符号規則については material-parameters ページ に記載されている。