8バンド構造を持つ亜鉛ブレンデ型半導体のk·pモデルについて

なぜ8バンドモデルが必要なのか？

私たちの場合 放物線型バンドモデルのチュートリアルこれまで我々は伝導帯および価電子帯を互いに独立した放物線形状のエネルギー分散曲線として扱ってきた。これは有用な出発点となる。量子井戸内でシュレーディンガー方程式を解くことで閉じ込められた状態が得られ、キャリアが層に平行に移動する場合にはこれらの状態が電子サブバンドへと変化するからだ。ただしこのモデルでは、各バンドを記述するのに単一の有効質量で十分であるという仮定が置かれている。

実際の半導体のバンドは互いに独立しているわけではない。電子の波数ベクトルが変化すると、異なる原子軌道から生じる状態同士が相互作用し、それらのエネルギーや波動関数の形状が変化する。この効果は、重ホール、軽ホール、スプリットオフバンドが互いに近接して存在する価電子帯において特に重要となる。8バンドk·pモデルは、こうした相互作用をすべて単一の有効質量に吸収しようとするのではなく、直接的に記述するものである。

ここでは、GaAsやInAs、InPといった亜鉛ブレンデ型半導体を取り上げる。8バンドモデルを段階的に構築することを目的としており、まずは各状態を特定し、次にそれらがどのように相互作用するかを調べ、最後に得られた行列方程式を解くことで量子井戸の性質がどのように明らかになるかを理解する。

8つの状態とは何か？

ブリルアンゾーンの中心付近（ガンマ点）においては、伝導帯状態は主としてS様対称性を持つと記述するのが適切である。一方、価電子帯状態は主としてp様対称性を持ち、その直交座標系における方向性を示すためにX、Y、Zという記号が用いられる。これらは個々の原子軌道ではなく結晶状態であるが、これらの軌道記号を用いることで状態間の相互作用を理解するのに役立つ。

スピンを考慮しない場合、ここで4つの状態が存在することになる：

\[ |S\rangle,\qquad |X\rangle,\qquad |Y\rangle,\qquad |Z\rangle. \]

各状態はスピン上向きまたは下向きのいずれかで存在し得る。この直交座標表現において実際に用いられる基底は以下の通りである：

\[ \begin{gathered} |S\uparrow\rangle,\quad |S\downarrow\rangle,\\[3pt] |X\uparrow\rangle,\quad |Y\uparrow\rangle,\quad |Z\uparrow\rangle,\\[3pt] |X\downarrow\rangle,\quad |Y\downarrow\rangle,\quad |Z\downarrow\rangle. \end{gathered} \]

「8バンドモデル」という名称は、4つの軌道関数に2つのスピン成分が掛け合わさることに由来する。まずはスピン相互作用を無視し、より単純な4状態問題を理解することにする。軌道間相互作用の仕組みが明確になった後で、スピン軌道結合の影響を取り入れていく。

二つのバンドが結合するとはどういう意味か？

ガンマ点においてS状態およびX状態のエネルギー値が既知であると仮定しよう。もしこれら二つの状態が全く相互作用しないのであれば、波数ベクトルを変化させても各々のエネルギー値は単純に変動するだけである。しかし実際の結晶中では、周期的なポテンシャル場内での電子の運動がこれら状態間の結合を引き起こす。その結果、電子の波動関数は単一の状態にのみ属するのではなく、S状態的性質とX状態的性質の両方を含む混合状態となるのである。

波動関数を基底状態の和として表現することでこれを記述する。4つの軌道を用いた例としては以下のようになる：

\[ |\Psi\rangle = c_S|S\rangle+c_X|X\rangle+c_Y|Y\rangle+c_Z|Z\rangle. \]

これらの係数は、各基底状態が特定の解にどの程度寄与しているかを示している。各軌道ごとに個別の方程式を解く代わりに、すべての係数を同時に決定するための行列シュレーディンガー方程式を解くのである。

\[ H\,\mathbf{c}=E\,\mathbf{c},\qquad \mathbf{c}=\begin{pmatrix}c_S\\c_X\\c_Y\\c_Z\end{pmatrix}. \]

対角線上の要素は各状態のエネルギーを表す。対角線から外れた要素は異なる状態間の相互作用を表す。これら非対角要素がゼロの場合、各状態は互いに独立したままとなる。一方、非対角要素がゼロでない場合、行列の求解によって許容されるエネルギー値および生成される波動関数の構成も変化する。

ケイン結合：伝導帯と価電子帯を結ぶ相互作用

k·p理論において、S型の伝導状態とX、Y、Z型の価電子状態間の相互作用は電子の波数ベクトルに依存する。この相互作用はケイン結合によって記述される。例えば、S状態とX状態はx軸方向の波数ベクトル成分に比例する項によって結合しており、S状態からY状態およびZ状態への結合はそれぞれy軸およびz軸方向の波数ベクトル成分に依存する。

ケイン結合パラメータPに対してエネルギー×長さの単位系を用いると、各結合は次のように記述できる：

\[ H_{SX}\propto iPk_x,\qquad H_{SY}\propto iPk_y,\qquad H_{SZ}\propto iPk_z. \]

ここで、Pは相互作用の強度を制御するパラメータである。その大きさは通常、ケインエネルギーを通じて表現される。\(E_p\)

\[ P=\sqrt{A_0E_p},\qquad A_0=\frac{\hbar^2}{2m_0}, \]

ここで\(m_0\)は自由電子の質量を表す。ケインパラメータの値が大きいほど、波数ベクトルがガンマ点から離れるにつれて伝導帯と価電子帯の状態間の混成が強くなる。完全なハミルトニアンにおける虚数項や符号は選択した基底の規約に依存するが、物理的に重要な点は非対角項が各バンド間を結びつけているということである。

二状態モデルの例

まずは8つの状態すべてを考慮する前に、最も単純な例を見てみるのが有益である。伝導帯および価電子帯からそれぞれ1つの状態のみを取り出すとしよう。これらの非結合時のエネルギーが\(E_c\)および\(E_v\)である場合、適切なエルミートモデルは次のようになる：

\[ H=\begin{pmatrix} E_c & Pk\\ Pk & E_v \end{pmatrix}. \]

この例示的な二状態モデルにおいて、結合項が実数となるよう基底関数の位相を定めている。この行列を解くことで得られる二つのエネルギー値は以下の通りである：

\[ E_{\pm}(k)=\frac{E_c+E_v}{2} \pm\sqrt{\left(\frac{E_c-E_v}{2}\right)^2+P^2k^2}. \]

波数ベクトルがゼロの場合、結合作用は消滅し元のバンド端が再現される。波数ベクトルがゼロから離れると、上側および下側の解は互いに離れていく。この分離の度合いは結合強度Pに依存し、対応する波動関数は元の2つの基底状態の混合体となる。この単純な例が、完全な8バンド計算における核心的な原理を示している。すなわち、結合作用は既存の放物線形状を単に平行移動させるのではなく、バンド分散そのものを変化させるのである。

なぜ結合作用が有効質量を変化させるのか？

以前のチュートリアルで取り上げた放物線型バンド方程式を思い出してほしい。伝導帯の極小点付近では、エネルギーは波数ベクトルの二乗にほぼ比例し、その曲率は有効質量によって決定される。先に述べた二状態モデルは、他のバンドがなぜその有効質量に影響を与えうるのかを説明している。

結合パラメータ \(Pk\) がバンドギャップ \(E_g=E_c-E_v\) に比べて小さい場合、上方解は \(k=0\) 付近で展開可能となる。

\[ E_+(k)\simeq E_c+\frac{P^2}{E_g}k^2. \]

なお、この追加項は比例関係にあることをご留意ください \(k^2\)kに比例する形で結合項を導入したにもかかわらず、バンド端付近におけるエネルギーへの影響は二次関数的となる。このため伝導帯の曲率が変化し、結果として電子の有効質量も変動するのである。

実際のモデルでは、直接的な運動エネルギーの寄与や、スピン軌道相互作用によって生じるスプリットオフ状態を含む複数の価電子状態への結合も存在する。これらの寄与を総合することで、観測されるバンド端における有効質量が再現されるのである。このため有効質量は自由電子質量の単なる代替値ではなく、特定のバンド端付近における電子の運動に周囲の結晶バンドが与える影響を要約した値となるのである。

なぜ価電子帯には3つの軌道が存在するのか？

伝導帯の状態自体は比較的単純である。一方、価電子帯の取り扱いにはより注意が必要だ。なぜなら価電子帯には互いに相互作用しうるX型、Y型、Z型の状態が存在するからだ。これらの振る舞いは波数ベクトルの大きさだけでなくその方向にも依存する。したがって、単純な下向きの放物線モデルでは価電子帯構造の重要な特徴を見落としてしまうことになる。

直交座標系において、各軌道に対応する対角成分と、それらの結合を表す非対角成分を用いて価電子帯ブロックを構築する。係数L、M、Nを用いると、典型的な軌道ブロックは次のような形となる：

\[ H_{vv}^{\mathrm{orb}}= \begin{pmatrix} D_X & Nk_xk_y & Nk_xk_z\\ Nk_xk_y & D_Y & Nk_yk_z\\ Nk_xk_z & Nk_yk_z & D_Z \end{pmatrix}, \]

ここで、対角項は次のような形をとる：

\[ \begin{aligned} D_X&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+Lk_x^2+M(k_y^2+k_z^2),\\[3pt] D_Y&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+Lk_y^2+M(k_x^2+k_z^2),\\[3pt] D_Z&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+Lk_z^2+M(k_x^2+k_y^2). \end{aligned} \]

この行列を暗記する必要はなく、その目的を理解するだけで十分です。LおよびMは各軌道成分のエネルギーが方向によってどのように変化するかを決定し、Nは異なる軌道成分間の混成を制御します。完全な8バンド計算では、この価電子帯ブロックが両スピン成分に対して用いられ、伝導帯状態と結合されます。

重ホール、軽ホール、およびスプリットオフバンドはどのようにして生じるのか？

これまでS、X、Y、Zを軌道状態として説明してきました。電子にはスピンも存在し、各軌道に対して上向きスピン成分と下向きスピン成分が存在します。もしスピンが軌道運動と相互作用しないのであれば、基底状態を単純に倍増させるだけで済むでしょう。しかし半導体には「スピン軌道相互作用」と呼ばれる別の相互作用が存在するのです。

価電子帯において、この結合作用によって軌道成分とスピン成分が混ざり合う。ひずみのない亜鉛ブレンデ型結晶のガンマ点においては、6つのp型スピン軌道状態が4つからなる群（重ホール状態および軽ホール状態を含む）と、いわゆるスプリットオフ帯と呼ばれる2つからなる群に分離する。これらの間のエネルギー差は\(\Delta_{\mathrm{so}}\)で表される。

「ヘビーホール」および「ライトホール」という名称は、ガンマ点付近におけるこれらのバンドの曲率の違い、ひいては有効質量の差異を表している。波数ベクトルが変化すると、これらのバンドが独立したままである必要はない。量子井戸構造においては、閉じ込め効果やひずみがこれらのバンドをさらに混ざり合わせる可能性があり、これこそが完全な多バンドモデルを用いる主要な理由の一つである。

価電子帯の頂点を基準エネルギーとして選ぶ場合、直交座標系における平均的な未摂動価電子エネルギーは次のように表されることが多い：

\[ E_{v,\mathrm{av}}=E_v-\frac{\Delta_{\mathrm{so}}}{3}. \]

スピン軌道結合行列は、上側の価電子帯状態とスプリットオフ状態を分離し、ガンマ点におけるそれぞれのエネルギー値を再現する。OghmaNanoでは、すべての価電子帯を単一の正孔有効質量を用いてモデル化しようとするのではなく、この結合を明示的に保持している。

8バンドハミルトニアンの構築方法

これで、各構成要素がどのように組み合わさるかが理解できる。S型の伝導状態が2つ存在し（それぞれスピンに対応）、p型の価電子状態が6つ存在する。ハミルトニアンは4つのブロックに分けられる：

\[ \boxed{ H=\begin{pmatrix} H_{cc} & H_{cv}\\[3pt] H_{cv}^{\dagger} & H_{vv} \end{pmatrix} } \]

伝導ブロック\(H_{cc}\)には伝導帯のエネルギー端およびその運動エネルギーが含まれる。価電子ブロック\(H_{vv}\)にはX/Y/Z軌道の項およびスピン軌道相互作用が含まれる。結合ブロック\(H_{cv}\)には伝導状態と価電子状態を結びつけるケイン相互作用が含まれる。記号\(\dagger\)はエルミート共役を表し、ハミルトニアンが必要なエルミート構造を有することを保証する。

均一なバルク材料において、特定の波数ベクトルに対してこの行列は8行8列となるが、その各要素の意味は次第に明確になってくる。各要素は、基底状態にエネルギー値を割り当てるか、あるいは2つの状態間の相互作用を記述するものである。我々はこの行列の固有値問題を解くことで、許容されるバンドエネルギー値およびそれらに対応する波動関数の構成を求めるのである。

モデルパラメータはどのように決定されるのか？

実験的および理論的な半導体データは、通常、バンドギャップ\(E_g\)、伝導帯の有効質量、ケインエネルギー\(E_p\)、スピン軌道分裂\(\Delta_{\mathrm{so}}\)、ならびにルッティンガーパラメータ\(\gamma_1\)、\(\gamma_2\)、\(\gamma_3\)といった値で表される。これらの値がモデルの対角方向の分散関係や、各状態間の相互作用の強さを決定するのである。

重要な計算上の注意点が存在します。放物線型モデルにおいては、測定された有効質量には既に隣接するバンドの影響が含まれています。しかし8バンドモデルでは、これらの隣接バンドの一部がケイン結合を通じて明示的に取り入れられることになります。したがって、同一の物理的相互作用が二重にカウントされないよう、残りの運動エネルギー係数を調整する必要があるのです。

OghmaNanoにおけるパラメータ化において、伝導帯の遠方バンド係数は\(A_c\)と表記され、価電子帯の軌道係数はL、M、Nと記される。測定された物質パラメータからの変換処理はモデル定義の一部であり、得られたこれらの係数を、独立した放物線型バンドの裸の有効質量と混同してはならない。

伝導帯の補正

伝導帯における遠隔バンドの寄与を表す式として用いられるものは次の通りである：

\[ A_c=A_0\left( \frac{m_0}{m_e^{*}} -\frac{2E_p}{3E_g} -\frac{E_p}{3(E_g+\Delta_{\mathrm{so}})} \right), \]

\(A_0=\hbar^2/(2m_0)\)を用いる。最初の項は測定されたバンド端の曲率を定義し、\(E_p\)を含む2つの項は、現在明示的に結合している価電子帯状態によって生じる部分を除去する。ここで\(m_e^{*}\)はSI単位系における質量値であり、材料データベースに相対質量値\(m_e^{*}/m_0\)が記録されている場合はその逆数が使用される。

同様の補正が、ルッティンガーパラメータを介してL、M、Nにも影響を与える。使用する基底やハミルトニアンに応じて、パラメータの定義規則を一貫して維持する必要がある。異なる定義規則から得られた混合係数を用いると、行列の次元が適切に見えても誤ったバンド曲率が算出される可能性がある。

量子井戸内にこのモデルを適用した際、何が変化するのか？

これまでの説明は、特定の三次元結晶波ベクトルを持つ半導体に関するものでした。量子井戸の場合も同様に、層に垂直な方向として\(z\)を、層に平行な方向として\(x\)および\(y\)を選定します。キャリアは層に沿って自由に移動できるため、\(k_x\)および\(k_y\)は通常の面内波ベクトル成分のままとなります。

しかし層方向においては、閉じ込められた波動関数を求める必要がある。そのため \(z\) 成分は微分演算子によって表現される。

\[ \boxed{k_z\longrightarrow -i\frac{d}{dz}} \]

これは、前ページで紹介したシュレーディンガー方程式法の多バンド拡張版である。単一のスカラー型エンベロープ関数のみを求めるのではなく、8つの連成したエンベロープ成分を求めるのである。

\[ \boldsymbol{\Psi}(z)= \begin{pmatrix} \psi_{S\uparrow}(z)\\ \psi_{S\downarrow}(z)\\ \psi_{X\uparrow}(z)\\ \psi_{Y\uparrow}(z)\\ \psi_{Z\uparrow}(z)\\ \psi_{X\downarrow}(z)\\ \psi_{Y\downarrow}(z)\\ \psi_{Z\downarrow}(z) \end{pmatrix}. \]

ウェル内の各数値格子点において、8つの連成した値が存在する。 空間格子点の数がN個である場合、離散化されたハミルトニアンの次元は \(8N\)この方程式を解くことで、閉じ込められたエネルギー準位ならびに算出された各サブバンドの軌道構成およびスピン分布が得られる。この計算の完全な例が文書中に示されている。 GaAs/AlGaAsにおける8バンド・亜鉛ブレンデ型k·p量子井戸モデルのチュートリアル.

物質パラメータは界面を跨いで変化することもある。微分演算子に係数が掛かる場合、エルミート性や正しい界面挙動を維持するため、その係数の配置順序を慎重に決定する必要がある。例えば、空間的に変化するケイン係数は、微分演算子外で定数として扱うのではなく、対称化された演算子を通じて導入されるのが一般的である。

ひずみはどのように影響するのか？

異なる格子定数を持つ半導体層の上に別の半導体層を成長させると、その層は圧縮または伸長される可能性がある。これによりひずみが生じ、伝導帯および価電子帯の相対的なエネルギー準位が変化する。

伝導帯は静水圧によるエネルギーシフトを受ける一方、価電子帯は互いに相対的に移動し、混合することもある。亜鉛ブレンデ型半導体のモデルにおいては、これらの効果は通常以下を用いて表現される バー・ピクス歪みハミルトニアンこの項を8バンドハミルトニアンに加えることで、量子井戸を解いた後に各バンドを個別に補正するのではなく、閉じ込め効果とひずみがどのように連携して作用するかを計算できるのである。

なぜこれが光学計算において重要なのか？

このoptical-transitions tutorialでは、電子および正孔のサブバンドがどのようにして可能な光子エネルギーを決定するかが説明されている。放物線近似の下では、2つのスカラーエンベロープ関数の重なりとバルクにおける光学行列要素を用いることで、遷移強度を推定することができる。

8バンドモデルにおいては、各状態はS成分、X成分、Y成分、Z成分の混合体となります。その光学応答はこれらの成分ならびに光の偏光方向に依存します。このため、多バンド計算によって、単一有効質量モデルでは表現不可能な遷移強度の変化やTE/TM応答の変動を予測することが可能になるのです。

最も重要な改善点は、単により多くの曲線を算出するという点ではありません。我々は各状態がどのような構成要素から成るか、すなわち波数ベクトルや量子閉じ込め効果、ひずみの影響によって各状態の軌道特性がどのように変化するかをも計算しているのです。