6バンドルッティンガー・コーン価電子帯モデルの理解

なぜホールに対して別個のモデルが必要なのか？

放物線型バンドチュートリアルにおいては、電子およびホールをそれぞれ別個の放物線で取り扱った。これは有用な出発点ではあるが、多くの半導体の価電子帯上部ははるかに複雑な構造をしている。単一のホールバンドではなく、互いに相互作用しうる複数の近接したバンドが存在するのである。

これらは通例、重ホール（HH）、軽ホール（LH）、およびスプリットオフ帯（SO）と呼ばれ、??に示されている。重ホールおよび軽ホールという名称は、それぞれのバンドの曲率の違い、ひいては有効質量の違いを表しており、物理的には二種類の異なるホールが存在することを意味するものではない。

この6バンドのルッティンガー・コーン模型は、上記の各価電子状態をまとめて記述するものである。本模型は特にシリコン、ゲルマニウムおよびSiGe量子井戸において有用であり、そこでは伝導帯状態は別個のsilicon valley modelを用いて取り扱うことができる。8バンド模型とは異なり、6バンドのLK模型では伝導帯は明示的に含まれておらず、主にホールの物理現象に焦点を当てている。

なぜ6つの状態が存在するのか？

6つの状態が生じる理由を理解するためには、まず価電子帯の軌道から考察するのが適切である。領域中心付近において、ダイヤモンド構造や亜鉛鉱石構造を持つ半導体における関連する状態は3つのp型軌道成分から成り、これらをそれぞれX、Y、Zと表記できる。電子にはまた2つのスピン状態が存在する。したがって、3つの軌道成分に2つのスピン状態を掛け合わせることで合計6つの状態が得られるのである。

結晶内のスピン軌道相互作用により、軌道角運動量とスピン角運動量が結合する。このため、個別の軌道およびスピンのラベルに代えて、全角運動量を表すJおよびその射影値mJを用いるのが便利である。こうして得られる6つの状態は、J = 3/2となる4つの状態群とJ = 1/2となる2つの状態群に分類される。

\[ \underbrace{4\text{ states}}_{J=3/2} \quad+\quad \underbrace{2\text{ states}}_{J=1/2} \quad=\quad 6\text{ states}. \]

J = 3/2の4つの状態が、ゾーン中心において重ホールおよび軽ホールの状態群を形成する。残りの2つの状態はスプリットオフ帯を構成しており、スピン軌道相互作用のエネルギー分だけ下方にシフトしている。 \(\Delta_{\mathrm{so}}\)これらは互いに関連性のない6つの放物線ではない。キャリアがブリルアンゾーンの中心から離れるにつれて、各成分同士が混ざり合う可能性があるため、これらを一緒に解く必要があるのである。

6つのバンドからなる基底の選定方法

OghmaNanoでは全角運動量基底が用いられ、状態の順序は以下の通りです：

\[ \begin{aligned} &\left|\tfrac32,+\tfrac32\right\rangle,\quad \left|\tfrac32,+\tfrac12\right\rangle,\quad \left|\tfrac32,-\tfrac12\right\rangle,\\[4pt] &\left|\tfrac32,-\tfrac32\right\rangle,\quad \left|\tfrac12,+\tfrac12\right\rangle,\quad \left|\tfrac12,-\tfrac12\right\rangle. \end{aligned} \]

最初の状態と4番目の状態は重ホールの性質を持ち、J＝3/2群に属する中央の2つの状態は軽ホールの性質を持ちます。最後の2つの状態はスプリットオフ状態です。この順序は有用であり、なぜならスピン軌道相互作用による分裂が既に基底状態に組み込まれているからです。すなわち、領域中心においてはスプリットオフ状態のペアが上側の価電子帯状態よりも\(\Delta_{\mathrm{so}}\)だけ低いエネルギー位置に存在するのです。

したがって、個々の状態およびそれらの間の相互作用を記述する6×6のハミルトニアンを構築することができる。許容されるエネルギー値はこのハミルトニアンの固有値から求められ、固有ベクトルからは各状態が持つ重ホール、軽ホール、およびスプリットオフ帯としての性質が判明する。

ホールの運動をどのように記述すればよいか？

単一の放物線型バンドにおいては、有効質量が波数ベクトルに対するエネルギーの変化の速さを決定する。しかし本モデルでは複数の結合した価電子状態が存在するため、単一の質量値だけでは不十分となる。そこでルッティンガー・コーン模型では、バンドの曲率および混合状態を記述するために3つの物質パラメータ、すなわち\(\gamma_1\)、\(\gamma_2\)、\(\gamma_3\)が用いられる。

これらのパラメータは、慣例的に\(P\)、\(Q\)、\(R\)、\(S\)と呼ばれる4つの数学的量にまとめられる。これらの物理的な役割は、完全な数式形を確認する前の方が理解しやすい。

• \(P\): 価電子帯状態の曲率に対する共通の寄与分である。
• \(Q\): 重ホールおよび軽ホール状態の異なる向きを区別し、それぞれのエネルギーを分離することが可能である。
• \(R\)：半導体層の面内運動を通じて価電子帯の各状態間を結合させる。
• \(S\)：半導体層面内の運動および層に垂直な方向の運動の組み合わせによって状態間を結合させる。

基礎となる波数ベクトルは3つの成分から成る：\(k_x\)および\(k_y\)は量子井戸層に平行な運動を表し、\(k_z\)はそれらに垂直な成長方向の運動を表す。さらに\(A_0=\hbar^2/(2m_0)\)も定義するが、ここで\(m_0\)は自由電子の質量である。

提供されているOghmaNanoの定式化で用いられる符号規約において、運動エネルギー項は以下の通りである：

\[ \begin{aligned} P_k &= -A_0\gamma_1(k_x^2+k_y^2+k_z^2),\\[5pt] Q_k &= -A_0\gamma_2(k_x^2+k_y^2-2k_z^2),\\[5pt] R_k &= \sqrt{3}A_0\left[\gamma_2(k_x^2-k_y^2) -2i\gamma_3k_xk_y\right],\\[5pt] S_k &= 2\sqrt{3}A_0\gamma_3(k_x-ik_y)k_z. \end{aligned} \]

この式群を暗記する必要はなく、モデルを理解するためには十分です。重要な点は、いくつかの項が\(k_x\)および\(k_y\)に依存する仕方が\(k_z\)の場合と異なっていることです。このような数学的構造によって、結晶の異なる方向における重ホールおよび軽ホールの振る舞いの違いをモデルが記述できるのです。\(R\)および\(S\)に現れる虚数因子は選択された量子基底の一部に過ぎず、結果として得られるハミルトニアンは依然としてエルミート行列であり、固有値は実数となります。

有用な例：成長方向に移動するホール

完全な行列を検討する前に、まずは面内波数ベクトルがゼロである単純なケース、すなわち\(k_x=k_y=0\)の場合を考えてみましょう。このとき運動エネルギー項は次のように簡略化されます：

\[ \begin{aligned} P_k &=-A_0\gamma_1k_z^2,\\[3pt] Q_k &=+2A_0\gamma_2k_z^2,\\[3pt] R_k &=0,\qquad S_k=0. \end{aligned} \]

したがって、重ホールの対角成分には\(P+Q\)が、軽ホールの対角成分には\(P-Q\)が含まれる。完全な固有値を計算しなくても、どのようにして異なるエネルギー曲線が生じるかを理解できる。

\[ \begin{aligned} E_{\mathrm{HH}}(k_z)&=E_v-A_0(\gamma_1-2\gamma_2)k_z^2,\\[4pt] E_{\mathrm{LH,diag}}(k_z)&=E_v-A_0(\gamma_1+2\gamma_2)k_z^2. \end{aligned} \]

これらの式は、成長方向におけるエネルギー曲率の違いを示している。ただし重要な点として、完全な6×6ハミルトニアンにおける軽ホール成分は依然として\(Q\)を介してスプリットオフ帯と結合し得る。したがって2番目の式は対角成分に過ぎず、一般的には6バンドモデルにおける軽ホールの正確な固有値とはならない。この事実こそが、各価電子帯が独立して放物線的であると仮定するのではなく、なぜ行列を解く必要があるのかを明確に示しているのである。

6つの状態を統合する

個々の項が物理的意味を持つようになったので、全体のハミルトニアンを構築することができる。その行および列は、前述した6つの状態に対応している。エネルギーは価電子帯基準値 \(E_v\) を基準として測定し、次のように表記する \(\Delta=\Delta_{\mathrm{so}}\)：

\[ \small H=E_v\mathbb{1}+ \begin{pmatrix} P+Q & S & R & 0 & -S/\sqrt2 & -\sqrt2 R\\ S^\dagger & P-Q & 0 & R & \sqrt2 Q & \sqrt{3/2}S\\ R^\dagger & 0 & P-Q & -S & \sqrt{3/2}S^\dagger & -\sqrt2 Q\\ 0 & R^\dagger & -S^\dagger & P+Q & \sqrt2 R^\dagger & -S^\dagger/\sqrt2\\ -S^\dagger/\sqrt2 & \sqrt2 Q & \sqrt{3/2}S & \sqrt2 R & P-\Delta & 0\\ -\sqrt2 R^\dagger & \sqrt{3/2}S^\dagger & -\sqrt2 Q & -S/\sqrt2 & 0 & P-\Delta \end{pmatrix}. \]

これは単一のシュレーディンガー方程式よりもはるかに複雑に見えますが、その構造は実のところ単純です。最初の4行および4列は重ホールと軽ホールの状態を表しており、最後の2行はスプリットオフ帯の状態を表しています。対角線上の要素は各状態のエネルギーを示し、非対角要素はそれら状態間の混合を表します。ダガー記号は項のエルミート共役を意味し、スカラー係数の場合はその複素共役を指します。

ゾーン中心においてかつひずみが存在しない場合、運動エネルギー項はゼロとなる。このとき、J = 3/2の4つの状態が価電子帯の上端を共有し、スプリットオフ対はその下に\(\Delta\)位置する。ゾーン中心から離れると、これらの状態間の混合により各バンドのエネルギーや性質が変化する。

半導体にひずみが生じた場合、どのような現象が起こるのか？

シリコンやゲルマニウムの量子井戸は、格子定数がわずかに異なる基板上に成長されることが多い。このことによりひずみが生じ、価電子帯のエネルギー準位が変化するとともに、重ホール状態と軽ホール状態の縮退が解消される。

ルッティンガー・コーン模型の利点の一つは、別の一連の\(P,Q,R,S\)項を用いることでひずみをモデルに導入できる点である。ここでは運動エネルギー項とひずみによる寄与を単純に組み合わせるだけでよい。

\[ \begin{aligned} P&=P_k+P_{\varepsilon}, &Q&=Q_k+Q_{\varepsilon},\\ R&=R_k+R_{\varepsilon}, &S&=S_k+S_{\varepsilon}. \end{aligned} \]

例えば、静水圧ひずみの影響は物質の体積変化全体に応答するのに対し、二軸ひずみ成分は成長方向における変形と面内変形とを区別するのである。

\[ \begin{aligned} P_{\varepsilon}&=a_v(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}),\\[4pt] Q_{\varepsilon}&=\frac{b}{2} (\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}-2\varepsilon_{zz}). \end{aligned} \]

残りのひずみ成分は\(R_{\varepsilon}\)および\(S_{\varepsilon}\)に寄与し、これによりせん断ひずみが価電子帯状態を混合させることになる。これらの完全な数式表現および変形ポテンシャルの定義規則についてはビア・ピクスひずみページに記載されている。その後、ひずみ項を含めた形で先述の6×6ハミルトニアンを解くことが可能となる。

このモデルを量子井戸に適用する

これまで、波数ベクトルの3つの成分を用いてバンド構造を説明してきました。量子井戸構造においては、キャリアは成長方向に沿って閉じ込められることになります。 \(z\)ただし、平面内方向への移動は自由である \(x\) および \(y\)面内の波数ベクトルは数値としてそのまま保持されるが、成長方向への運動は… \(z\) 演算子によって表現されなければならない：

\[ k_z\longrightarrow-i\frac{d}{dz}. \]

\(k_z\)を含むすべての項は、エンベロープ波動関数の微分項となる。こうして得られた6バンド問題を、半導体層全体にわたって解くことで、ポテンシャル分布や物質パラメータ、ひずみの影響も考慮される。その結果、閉じ込められた価電子帯サブバンド群が得られ、各サブバンドには6成分からなるエンベロープ波動関数が対応する。これらの成分から、各状態にどの程度の重ホール、軽ホール、およびスプリットオフ帯の特性が含まれているかが判明する。

成長方向の格子点の数が\(N_z\)個である場合、離散化されたハミルトニアンは\(6N_z\)×\(6N_z\)の次元を持つ。OghmaNanoではこの多バンド計算を用いて価電子帯の状態を解析しており、一方で伝導帯の状態はシリコンΔ谷ソルバーによって別途処理される。単純な放物線近似とは異なり、この手法では面内波数ベクトルに応じて変化する価電子帯の混成現象も記述可能である。このモデルを用いたシリコン／SiGe系の完全な計算例は、六バンドルッティンガー・コーン量子井戸チュートリアルに示されている。

このモデルは8バンドモデルとどのように関連しているのか？

6バンドのルッティンガー・コーン模型および8バンド亜鉛鉱型k·p模型はいずれも関連する物理現象を記述するものであるが、どの状態を明示的に取り入れるかについては異なる選択を行っている。両模型ともに相互作用する価電子帯状態を含んでいる。8バンド模型ではさらにスピン分解された2つのs様の伝導帯状態ならびにそれらと価電子帯との間のケイン結合も加えられている。

シリコンのような半導体においては、最も低い伝導帯極小点がブリルアンゾーンの中心から離れた位置に存在するため、ゾーン中心を基準とした8バンドハミルトニアンではこれら6つの極小点を直接記述することはできない。したがって、価電子帯には6バンドのルッティンガー・コーン模型を、伝導帯には専用の極小点モデルを用いるのが有効となる。