固有状態、正規化および状態特性

固有値ソルバーはエネルギー値およびエンベロープベクトルを出力する。本ページでは、OghmaNanoがこれらのエンベロープをどのように正規化し、各状態の軌道特性をどのように測定し、面内波数ベクトルを走査する際にどのようにサブバンドの対応関係を維持するかを説明する。これらはすべて、後続の光学計算および輸送計算ルーチンに不可欠な情報である。

1. 正規化

多バンドエンベロープにおいては、各ノードごとに基底関数ごとに1つの成分が存在する。OghmaNanoでは、全バンドにわたって合計し格子空間上で積分した結果得られる確率の総和が1となるよう正規化が行われる。

\[ \sum_{z}\sum_{b} \big|\psi_b(z)\big|^2\,\Delta z = 1. \]

この物理的な正規化処理により、波動関数の重み和は波動ベクトル空間内の任意の点において1となり、これによって\(|\psi_b(z)|^2\Delta z\)は波動ベクトル空間内の点\(z\)付近でキャリアがバンド\(b\)内に存在する確率を表すことになる。またこの処理により、光学行列要素や面密度の絶対値スケールも正しく保たれる。スカラー型（放物線近似およびシリコン用）のソルバーにおいても、単一バンド成分に対して同様の規則が適用される。

2. 状態の特性

複数バンド状態ではs様軌道とp様軌道が混在するため、各固有状態は各軌道における確率の割合によって特定の特性を持つことになる。OghmaNanoでは波動関数の各成分の二乗値を積分処理する。

\[ w_S = \sum_z\big(|\psi_{S\uparrow}|^2+|\psi_{S\downarrow}|^2\big)\Delta z, \quad w_X, w_Y, w_Z \ \text{likewise}, \]

これにより \(w_S+w_X+w_Y+w_Z=1\) （窒素の重みも加算される） \(w_N\) 10バンドモデルにおいて）。S特性重みが大きい状態は \(w_S\) 電子特性を示す状態である。一方、X・Y・Z特性が支配的な状態は \(w_X, w_Y, w_Z\) 正孔のような特性を持つ（正孔）。個々の \(X, Y, Z\) これらの重み値から、ある価電子状態が重正孔状態に類似しているかどうかも判別できる （主に \(X, Y\)電子的または軽正孔的な特性を示し、それがその光学特性を決定する 選択規則.

3. S特性重みによる状態の分類

伝導帯および価電子帯の状態が単一のスペクトル内で同時に解かれる際、それらを電子および正孔に分類する必要がある。OghmaNanoではこの目的のためにS特性重み \(w_S\) を利用する。すなわち、ある状態が電子的である度合いは \(w_S\) に比例し、正孔的である度合いは \(1-w_S\) に比例することになる。このような連続的な重み付けは、伝導帯と価電子帯が強く混在する狭バンドギャップ材料のバンド端付近において特に重要であり、この領域では電子・正孔の区別が本質的に分数値となるからである。同様の重みが gain の計算にも用いられ、各遷移における放射および吸収の強度を決定する。

4. 分散曲線に沿ったサブバンドの追跡

面内分散関係は、一連の\(k_\parallel\)点においてハミルトニアンを解くことで構築される。固有値計算プログラムは状態をエネルギーの低い順に返すが、サブバンド間で交差や反交差が生じるとエネルギー順序が変化するため、単純なエネルギー順ソートではバンドラベルが混乱してしまう。そこでOghmaNanoでは状態の追跡に重なり積分を用いる。各新規\(k_\parallel\)点において、各既存の固有ベクトルと最も大きな重なり積分値を持つ新しい固有ベクトルとを対応付けるのである。

\[ \text{match}(i) = \arg\max_j \Big|\textstyle\sum_z\sum_b \psi^{(k-1)}_{i,b}(z)^\*\,\psi^{(k)}_{j,b}(z)\,\Delta z\Big|^2, \]

これにより、各サブバンドは分散関係全体にわたって一貫した識別性を維持する。このような連続的なラベリングこそが、サブバンドエネルギーが光学的・輸送的積分に適した滑らかな関数となるための条件なのである \(E_n(k_\parallel)\)。

5. 波動関数の読み取り方

局在化した包絡関数には直接的な物理的意味がある。その節点の数がサブバンド指数を決定し、空間的な広がり具合はその状態がどの程度狭く局在しているか、また障壁領域へどの程度漏れ出しているかを示す。さらに電子と正孔の包絡関数間の重なり具合が、両者間の光学的遷移の強度を決定する。ひずみが生じている構造や非対称な構造においては、電子および正孔の包絡関数が量子井戸の反対側へと移動し、その結果重なり具合や光学的効率が低下する。このような効果は多バンド包絡関数によって直接的に捉えられ、matrix-elementの計算にも反映される。