光モード方程式の導出

光モードとは、フォトニック構造内を伝搬可能な電磁場分布のことである。これらのモードは、屈折率分布によって定められる物質の境界条件と共にマクスウェル方程式を解くことで自然に得られる。

このページでは、マクスウェル方程式から出発して、導波路やフォトニック構造のシミュレーションに用いられる光モード方程式を導出する。最終的には、光モード求解器によって数値的に解かれる有限差分法に基づく行列の固有値問題へと至る。

マクスウェル方程式

無源かつ非磁性な誘電体材料中において、マクスウェル方程式は次のように表される：

\[ \nabla \cdot \mathbf{D}=0 \]

\[ \nabla \cdot \mathbf{B}=0 \]

\[ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \]

\[ \nabla \times \mathbf{H} = \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \]

等方性誘電体材料の場合：

\[ \mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E} \]

\[ \mathbf{B}=\mu \mathbf{H} \]

調和振動的な時間依存性を仮定する：

\[ e^{-i\omega t} \]

回転演算子を適用した方程式は次のようになる：

\[ \nabla \times \mathbf{E} = i\omega\mu \mathbf{H} \]

\[ \nabla \times \mathbf{H} = -i\omega\epsilon \mathbf{E} \]

波動方程式の導出

ファラデーの法則に対して回転演算を施すと次式が得られる：

\[ \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{E} \right) = i\omega\mu \left( \nabla \times \mathbf{H} \right) \]

アンペールの法則を代入すると：

\[ \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{E} \right) = \omega^2\mu\epsilon\mathbf{E} \]

ベクトル恒等式を用いると：

\[ \nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E} \]

そして、電源のない誘電体材料を仮定すると、以下のようになる：

\[ \nabla\cdot\mathbf{E}\approx0 \]

これによりベクトル形式のヘルムホルツ方程式が得られる：

\[ \nabla^2\mathbf{E} + k_0^2 n^2 \mathbf{E} = 0 \]

ここで：

\[ k_0=\frac{2\pi}{\lambda} \]

ここでk₀は自由空間における波数であり、次のように表される：

\[ n^2=\frac{\epsilon}{\epsilon_0} \]

これが屈折率分布である。

導波モードの仮定

縦方向の\(z\)軸に沿って伝搬する光モードは、次のような形をとると仮定される：

\[ \mathbf{E}(x,y,z) = \mathbf{E}(x,y)e^{i\beta z} \]

ここで：

• \( \mathbf{E}(x,y) \) これが横モード分布である。
• \( \beta \)は伝搬定数を表す。

この形をヘルムホルツ方程式に代入すると、次式が得られる：

\[ \nabla_\perp^2\mathbf{E} + \left( k_0^2n^2-\beta^2 \right)\mathbf{E} = 0 \]

この方程式は固有値問題を定義しており、許容される\( \beta \)の値は構造体で伝播可能な光モードに対応する。

実効屈折率

伝搬定数は、通常、実効屈折率を用いて表される：

\[ n_{\mathrm{eff}} = \frac{\beta}{k_0} \]

実効屈折率は、光の閉じ込め効果を評価するための便利な指標となる。\(n_{\mathrm{eff}}\)の値が大きいモードほど、一般に高屈折率領域内でより強く閉じ込められる傾向がある。

横電界（TE）モード

TE偏光の場合、電場は伝搬面に対して横方向となる。支配方程式は次のように簡略化される：

\[ \nabla_\perp^2 E + \left( k_0^2 n^2 - \beta^2 \right)E = 0 \]

このスカラー形式のヘルムホルツ方程式は、一般に平板導波路や多層誘電体構造における光モードの計算に用いられる。

横磁場（TM）モード

TM偏光の場合、磁場は伝搬面に対して横方向に存在する。誘電率関数の空間的変化により、支配方程式が変化することになる。

\[ \nabla_\perp \cdot \left( \frac{1}{n^2} \nabla_\perp H \right) + \left( k_0^2 - \frac{\beta^2}{n^2} \right)H = 0 \]

TMモードは一般に屈折率の不連続性に対してより敏感であり、特にプラズモニクスや高屈折率コントラストを有する系において重要となる。

有限差分法による離散化

解析解は比較的単純な構造に対してのみ得られる。そのため、実際の光デバイスの多くでは数値計算手法が必要となる。

この光モード求解器は、長方形メッシュ上で有限差分近似を用いて横方向の微分演算子を離散化する。

例えば、\(y\)方向における二階微分は次のように近似することができる：

\[ \frac{\partial^2E}{\partial y^2} \approx \frac{ E_{y-1} - 2E_y + E_{y+1} }{ \Delta y^2 } \]

\(x\)方向においても同様の式が構築される。非一様メッシュの場合には、局所的な左右のメッシュ間隔を用いて非対称な有限差分係数が求められる。

行列の固有値問題

離散化処理の後、光モード方程式は疎行列の固有値問題へと変換される。

\[ A\psi = \beta^2\psi \]

ここで：

• \(A\)には有限差分法によるラプラシアン項および屈折率に関する項が含まれている。
• \( \psi \) これが離散化された光電場である。
• \( \beta^2 \) これが固有値である。

この疎行列構造が生じる理由は、各メッシュ点が有限差分ステンシル内の隣接する点のみと結合するためである。

物理的な解釈

得られた固有ベクトルは、フォトニック構造において存在しうる光モードに対応し、固有値はそれらの実効屈折率を決定する。

各固有モードは、デバイス内部における電磁場の分布や閉じ込め特性を表している。一部のモードは強く閉じ込められたままであるが、他のモードではエネルギーが周囲の層へ漏れ出したり、自由空間へ放射されたりする。