광학 모드 방정식의 유도

광모드는 광학 구조물 내에서 전파될 수 있는 전자기장 분포들입니다. 이러한 모드들은 맥스웰 방정식의 해와 굴절률 분포에 의해 결정되는 경계 조건들을 통해 자연스럽게 발생합니다.

이 페이지에서는 맥스웰 방정식으로부터 출발하여 광모드 해석기에서 수치적으로 해결되는 유한차분 행렬 고유값 문제에 이르기까지, 도파관 및 광학 시뮬레이션에 사용되는 광학 모드 방정식들을 유도한다.

맥스웰 방정식

자기장이 없는 비자성 유전체 물질에서는 맥스웰 방정식을 다음과 같이 표현할 수 있다:

\[ \nabla \cdot \mathbf{D}=0 \]

\[ \nabla \cdot \mathbf{B}=0 \]

\[ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \]

\[ \nabla \times \mathbf{H} = \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \]

등방성 유전체 재료의 경우:

\[ \mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E} \]

\[ \mathbf{B}=\mu \mathbf{H} \]

조화 진동 시간 의존성을 가정할 경우:

\[ e^{-i\omega t} \]

컬 방정식은 다음과 같이 된다:

\[ \nabla \times \mathbf{E} = i\omega\mu \mathbf{H} \]

\[ \nabla \times \mathbf{H} = -i\omega\epsilon \mathbf{E} \]

파동 방정식의 유도

패러데이 법칙에 컬 연산을 적용하면 다음과 같은 식이 얻어진다:

\[ \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{E} \right) = i\omega\mu \left( \nabla \times \mathbf{H} \right) \]

암페어 법칙을 대입하면:

\[ \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{E} \right) = \omega^2\mu\epsilon\mathbf{E} \]

벡터 항등식을 이용하면:

\[ \nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E} \]

또한, 전원이 없는 유전체 물질을 가정할 때:

\[ \nabla\cdot\mathbf{E}\approx0 \]

다음과 같은 벡터 헬름홀츠 방정식이 도출된다:

\[ \nabla^2\mathbf{E} + k_0^2 n^2 \mathbf{E} = 0 \]

여기서:

\[ k_0=\frac{2\pi}{\lambda} \]

이는 자유공간 파수벡터이며 다음과 같다:

\[ n^2=\frac{\epsilon}{\epsilon_0} \]

이는 굴절률 분포를 나타냅니다.

유도 모드 가정식

종방향 \(z\) 방향으로 전파되는 광모드는 다음과 같은 형태를 갖는 것으로 가정한다:

\[ \mathbf{E}(x,y,z) = \mathbf{E}(x,y)e^{i\beta z} \]

여기서:

• \( \mathbf{E}(x,y) \)은 횡방향 모드를 나타냅니다.
• \( \beta \)은 전파 상수입니다.

이 형태를 헬름홀츠 방정식에 대입하면 다음과 같은 결과가 도출된다:

\[ \nabla_\perp^2\mathbf{E} + \left( k_0^2n^2-\beta^2 \right)\mathbf{E} = 0 \]

이 방정식은 고유값 문제를 정의하며, 여기서 허용되는 \( \beta \) 값들은 해당 구조에서 지원되는 광모드들에 대응합니다.

유효 굴절률

전파 상수는 일반적으로 유효 굴절률을 이용해 표현됩니다:

\[ n_{\mathrm{eff}} = \frac{\beta}{k_0} \]

유효 굴절률은 광학적 구속 정도를 측정하는 편리한 지표입니다. \(n_{\mathrm{eff}}\) 값이 더 큰 모드일수록 일반적으로 고굴절률 영역 내에서 보다 강하게 구속됩니다.

횡방향 전기장(TE) 모드

TE 편광의 경우 전기장은 전파 평면에 수직입니다. 이때 지배 방정식은 다음과 같이 단순화됩니다:

\[ \nabla_\perp^2 E + \left( k_0^2 n^2 - \beta^2 \right)E = 0 \]

이 스칼라 형태의 헬름홀츠 방정식은 슬래브 도파관 및 다층 유전체 구조에서 광모드를 계산하는 데 흔히 활용된다.

횡자기(TM) 모드

TM 편광의 경우 자기장은 전파 평면에 대해 횡방향으로 배열됩니다. 유전 함수의 공간적 변화는 관련 지배 방정식을 변형시킵니다.

\[ \nabla_\perp \cdot \left( \frac{1}{n^2} \nabla_\perp H \right) + \left( k_0^2 - \frac{\beta^2}{n^2} \right)H = 0 \]

TM 모드는 일반적으로 굴절률의 불연속성에 더 민감하게 반응하며, 플라즈모닉 및 고굴절률 대비 시스템에서 특히 중요하다.

유한차분 이산화

해석적 해법은 비교적 단순한 구조에 대해서만 얻을 수 있다. 따라서 대부분의 실제 광자 소자들은 수치적 방법을 필요로 한다.

이 광학 모드 해석기는 직사각형 메쉬 상에서 유한차분 근사를 이용해 횡방향 미분 연산자들을 이산화합니다.

예를 들어, \(y\) 방향에 대한 2차 도함수는 다음과 같이 근사할 수 있습니다:

\[ \frac{\partial^2E}{\partial y^2} \approx \frac{ E_{y-1} - 2E_y + E_{y+1} }{ \Delta y^2 } \]

\(x\) 방향에 대해서도 동등한 수식들이 도출된다. 불균일 메쉬의 경우, 국소적인 좌우 메쉬 간격을 활용하여 비대칭적인 유한차분 계수들을 구성한다.

행렬 고유값 문제

이산화 과정을 거친 후 광학 모드 방정식은 희소 행렬 고유값 문제로 전환된다:

\[ A\psi = \beta^2\psi \]

여기서:

• \(A\)에는 유한차분 라플라시안 및 유전율 관련 항들이 포함되어 있습니다.
• \( \psi \)은 이산화된 광학 장이다.
• \( \beta^2 \)은 고유값입니다.

희소 행렬 구조는 각 메쉬 점이 유한차분 스텐실 내에서 오직 인접한 점들과만 결합하기 때문에 발생한다.

물리적 해석

생성된 고유벡터들은 광학 구조에서 존재 가능한 광모드들을 나타내며, 고유값들은 각 모드의 유효 굴절률을 결정한다.

서로 다른 고유모드들은 소자 내부에서의 전기장 분포 및 에너지 구속 특성을 나타낸다. 일부 모드들은 에너지가 강하게 구속되는 반면, 다른 모드들은 주변 층으로 에너지가 새어나가거나 자유 공간으로 방사된다.