Condiciones de validez de la ecuación de Mott-Gurney

La ecuación de Mott-Gurney es una de las expresiones analíticas más utilizadas en la física de los dispositivos semiconductores. Describe la densidad de corriente en un dispositivo de corriente limitada por la carga espacial (SCLC) sin trampas:

$$ J = \frac{9}{8}\varepsilon\mu\frac{V^2}{L^3} $$

donde \(J\) es la densidad de corriente, \(\varepsilon\) es la permitividad dieléctrica, \(\mu\) es la movilidad de los portadores de carga, \(V\) es el voltaje aplicado y \(L\) es el grosor del dispositivo.

Aunque esta ecuación se utiliza con frecuencia para determinar la movilidad de los portadores de carga a partir de mediciones experimentales de la relación corriente-voltaje, su deducción depende de varias hipótesis físicas importantes. Los dispositivos semiconductores reales a menudo incumplen una o más de estas hipótesis, especialmente en los semiconductores orgánicos desordenados, las perovskitas, los OLED y los materiales con baja movilidad.

En consecuencia, es importante comprender no solo cómo se obtiene la ecuación de Mott-Gurney, sino también las condiciones físicas bajo las cuales sigue siendo válida. No tener en cuenta estas condiciones puede dar lugar a errores importantes al interpretar las mediciones experimentales de SCLC.

Transporte sin trampas.

La ecuación clásica de Mott-Gurney parte de la premisa de que todos los portadores inyectados permanecen móviles. En otras palabras, se asume que el semiconductor no contiene trampas.

En muchos semiconductores reales, sin embargo, los portadores de carga pueden quedar atrapados en estados localizados asociados con:

• trastorno estructural,
• impurezas,
• defectos,
• límites de grano,
• o trastorno energético.

Los portadores atrapados siguen contribuyendo a la carga espacial dentro del dispositivo, pero no contribuyen de manera eficiente a la conducción eléctrica. Como resultado, la dependencia de la corriente con respecto al voltaje se desvía del comportamiento cuadrático ideal previsto por la ecuación de Mott-Gurney.

En lugar de:

$$ J \propto V^2 $$

el cáncer de células pequeñas de pulmón con metástasis limitadas suele presentar las siguientes características:

$$ J \propto V^m $$

con:

$$ m > 2 $$

Por lo tanto, la presencia de trampas constituye una de las limitaciones más importantes de la teoría ideal de la célula de Lewis.

Transporte con una sola onda portadora.

La derivación de la ecuación de Mott-Gurney parte de la premisa de que solo una especie de portador de carga contribuye de manera significativa al transporte. Esto implica que el dispositivo debe comportarse de una de las siguientes maneras:

• un dispositivo que solo funciona con tarjetas perforadas, o
• un dispositivo que funciona únicamente con electrones.

En los experimentos prácticos con células solares de contacto lateral, esta condición se logra diseñando cuidadosamente las características energéticas del contacto de manera que un tipo de portador de carga se inyecte de forma eficiente, mientras que el tipo opuesto de portador de carga se bloquea.

Si tanto los electrones como las «huecos» se inyectan simultáneamente en el dispositivo, los procesos de recombinación cobran importancia y las hipótesis en las que se basa la derivación de Mott-Gurney dejan de ser válidas. La corriente resultante ya no puede describirse utilizando un modelo simple de SCLC de un solo tipo de portador.

Esta es una de las razones por las que los dispositivos fotovoltaicos estándar no suelen ser adecuados para el análisis ideal de las estructuras de capa semiconductora con transporte de carga limitado (SCLC, por sus siglas en inglés). Las células solares están diseñadas específicamente para facilitar el transporte bipolar y la separación de cargas, mientras que los dispositivos SCLC se diseñan deliberadamente para suprimir uno de los tipos de portadores de carga.

Contactos óhmicos y barreras de inyección

Otra hipótesis fundamental de la ecuación de Mott-Gurney es que los contactos inyectan portadores de manera eficiente en el semiconductor. Esto exige, aproximadamente, condiciones de inyección óhmica.

Si existe una barrera de inyección considerable en la interfaz metal-semiconductor, la corriente se ve limitada por la inyección de portadores y no por la carga espacial en el interior del material.

En condiciones óptimas para el cáncer de pulmón de células pequeñas:

• la barrera de contacto debe ser pequeña.
• la inyección de portadores debe ser eficiente.
• y la densidad de portadores inyectados debe superar considerablemente la densidad de portadores en equilibrio.

Si no se cumplen estas condiciones, el dispositivo pasa a un modo de funcionamiento en el que la inyección está limitada.

Esta distinción es de suma importancia a nivel experimental, ya que un contacto no óhmico puede generar curvas de corriente-voltaje que, en apariencia, se asemejan al comportamiento de un dispositivo con transporte de carga limitado por la corriente, cuando en realidad están dominadas por la física del contacto.

Corriente de difusión insignificante.

La derivación de Mott-Gurney parte de la premisa de que el transporte de portadores se debe exclusivamente a la corriente de deriva. No se tiene en cuenta la contribución debida a la difusión.

La ecuación completa de deriva-difusión es:

$$ J = q\mu nE + qD\frac{dn}{dx} $$

donde:

• \(q\mu nE\) es la corriente de deriva.
• y \(qD\frac{dn}{dx}\) es la corriente de difusión.

La aproximación de Mott-Gurney parte de los siguientes supuestos:

$$ qD\frac{dn}{dx} \ll q\mu nE $$

Esta aproximación suele ser aceptable en campos eléctricos elevados y con altas densidades de portadores inyectados, donde el transporte impulsado por el campo es el factor dominante. Sin embargo, a voltajes bajos o en condiciones cercanas al equilibrio, la difusión puede adquirir importancia y la aproximación ideal de la capa de carga espacial (SCLC) se vuelve menos precisa.

En los semiconductores con baja movilidad y un alto grado de desorden, los procesos de difusión y relajación energética pueden modificar significativamente la distribución interna de los portadores de carga.

Movilidad uniforme

La derivación clásica de Mott-Gurney parte de la premisa de que la movilidad de los portadores de carga es uniforme en el espacio y no depende del campo eléctrico.

En muchos materiales reales, esta hipótesis no es válida. Los semiconductores orgánicos suelen presentar una movilidad que depende del campo eléctrico:

$$ \mu(E) = \mu_0 \exp(\gamma\sqrt{E}) $$

donde \(\gamma\) es el coeficiente de Poole-Frenkel.

Esta dependencia del campo se debe a que el desorden energético modifica las velocidades de salto de los portadores entre los estados localizados. A medida que aumenta el campo eléctrico, el transporte por salto se vuelve más eficiente y la movilidad aparente aumenta.

En estas condiciones, la relación entre la corriente y el voltaje se desvía del comportamiento cuadrático simple que predice la ecuación ideal de Mott-Gurney.

Recombinación insignificante.

La ecuación de Mott-Gurney parte de la premisa de que la recombinación es insignificante. Esta suposición suele ser válida en dispositivos de un solo tipo de portador que están diseñados adecuadamente, ya que solo se inyecta intencionadamente un tipo de portador.

No obstante, si están presentes portadores minoritarios, se producirán procesos de recombinación como los siguientes:

• Recombinación de Shockley-Read-Hall,
• Recombinación de Langevin.
• o recombinación bimolecular

puede modificar la distribución de la densidad de portadores e invalidar la derivación ideal del modelo SCLC.

Identificación experimental del verdadero CCLC.

Desde el punto de vista experimental, el régimen de corriente-tensión continua (SCLC) se identifica generalmente a partir de la pendiente de la curva corriente-tensión en una gráfica logarítmica doble.

En el régimen óhmico:

$$ J \propto V $$

y la pendiente es de aproximadamente 1.

En un escenario ideal, sin la presencia de factores de confusión:

$$ J \propto V^2 $$

y la pendiente se acerca a 2.

El transporte limitado por trampas suele generar pendientes superiores a 2, mientras que el transporte limitado por inyección puede dar lugar a un comportamiento más complejo.

Por lo tanto, es necesaria una interpretación cuidadosa. Una relación cuadrática entre la corriente y el voltaje por sí sola no constituye una prueba suficiente de que se esté produciendo un transporte ideal de Mott-Gurney.

Relación con la simulación de deriva-difusión.

Las herramientas modernas de simulación basadas en modelos de deriva-difusión, como OghmaNano, resuelven numéricamente las ecuaciones de Poisson, continuidad y transporte, que están interrelacionadas. Esto permite incluir de forma explícita efectos no ideales realistas, entre ellos:

• distribuciones de trampas,
• movilidad dependiente del campo,
• recombinación de portadores,
• contactos no óhmicos,
• y campos eléctricos que varían en el espacio.

Como resultado, la simulación numérica suele ofrecer una descripción más precisa de los dispositivos SCLC reales que la simple teoría analítica ideal.