Умови застосовності рівняння Мотта–Герні.

Рівняння Мотта–Герні є одним із найпоширеніших аналітичних виразів у фізиці напівпровідникових приладів. Воно описує щільність струму в приладі з обмеженим струмом у просторі, де відсутні пастки (SCLC):

$$ J = \frac{9}{8}\varepsilon\mu\frac{V^2}{L^3} $$

де \(J\) – густина струму, \(\varepsilon\) – діелектрична проникність, \(\mu\) – рухливість носіїв заряду, \(V\) – прикладена напруга, а \(L\) – товщина пристрою.

Хоча ця формула часто використовується для визначення рухливості носіїв заряду на основі експериментальних вимірювань залежності струму від напруги, її виведення ґрунтується на кількох важливих фізичних припущеннях. У реальних напівпровідникових пристроях часто спостерігається відхилення від одного або кількох із цих припущень, особливо у випадку невпорядкованих органічних напівпровідників, перовськитів, OLED-дисплеїв і матеріалів з низькою рухливістю.

Отже, важливо не лише розуміти, як виводиться рівняння Мотта–Герні, але й які фізичні умови забезпечують його дійсність. Нехтування цими умовами може призвести до значних помилок під час інтерпретації експериментальних вимірювань SCLC.

Транспорт без пасток.

Класичне рівняння Мотта–Герні передбачає, що всі введені носії заряду зберігають рухливість. Іншими словами, вважається, що в напівпровіднику відсутні пастки.

Однак, у багатьох реальних напівпровідниках носії заряду можуть потрапляти в локалізовані стани, пов’язані з:

• структурна дезорганізація,
• домішки,
• дефекти,
• межі зерен,
• або розлад, пов’язаний з енергетичним обміном.

Затримані носії заряду все ще впливають на формування просторового заряду всередині пристрою, але не сприяють ефективній провідності електричного струму. Як наслідок, залежність напруги від струму відхиляється від ідеальної квадратичної залежності, передбаченої рівнянням Мотта — Ґерні.

Замість:

$$ J \propto V^2 $$

у випадках, коли поширення дрібноклітинного раку легені обмежене пухлиною:

$$ J \propto V^m $$

разом із:

$$ m > 2 $$

Отже, наявність пасток є однією з найважливіших перешкод для реалізації ідеальної теоретичної моделі дрібноклітинного раку легені.

Транспортування з використанням єдиного несучого сигналу

Виведення рівняння Мотта–Герні базується на припущенні, що лише один тип носіїв заряду суттєво впливає на процес переносу. Це означає, що пристрій повинен поводитися як:

• пристрій, який має лише отвір, або
• пристрій, який працює лише з електронами.

У практичних експериментах із використанням SCLC цю умову досягають шляхом ретельного проєктування контактних характеристик, щоб забезпечити ефективне введення одного типу носіїв заряду та блокування іншого.

Якщо електрони та дірки одночасно вводяться в пристрій, процеси рекомбінації стають важливими, і припущення, на яких ґрунтується виведення Мотта – Ґерні, перестають бути дійсними. Отриманий струм більше не можна описати за допомогою простої моделі SCLC, що передбачає наявність лише одного типу носіїв заряду.

Ось одна з причин, чому стандартні фотоелектричні пристрої зазвичай не підходять для ідеального аналізу SCLC (структур із шаром, що проводить струм). Сонячні елементи спеціально розробляються для забезпечення біполярного транспортування та розділення зарядів, тоді як пристрої SCLC навмисно конструюються для пригнічення одного типу носіїв заряду.

Омічні контакти та бар’єри для ін’єкції.

Ще одне важливе припущення, що лежить в основі рівняння Мотта–Герні, полягає в тому, що контакти ефективно вводять носії заряду в напівпровідник. Для цього необхідні умови, близькі до омічного введення.

Якщо на межі між металом і напівпровідником існує значний бар’єр для ін’єкції, то струм обмежується ін’єкцією носіїв заряду, а не просторовим зарядом всередині об’ємного матеріалу.

За ідеальних умов розвитку дрібноклітинного раку легені:

• контактний бар’єр має бути невеликим.
• ін’єкція носіїв заряду має бути ефективною.
• і концентрація носіїв заряду, що вводиться, має значно перевищувати рівноважну концентрацію носіїв заряду.

Якщо ці умови не виконуються, пристрій переходить в режим, обмежений інтенсивністю ін’єкції.

Ця відмінність має надзвичайно важливе значення в експериментальних дослідженнях, оскільки неомний контакт може створювати характеристики струм-напруга, які на перший погляд нагадують поведінку SCLC, хоча насправді на них домінують фізичні процеси, що відбуваються в контакті.

Незначний дифузійний струм

У виводі Мотта–Герні передбачається, що транспортування носіїв заряду повністю визначається струмом дрейфу. Внесок дифузії не враховується.

Повна дифузійно-дрейфова рівняння має такий вигляд:

$$ J = q\mu nE + qD\frac{dn}{dx} $$

де:

• \(q\mu nE\) – це струм дрейфу.
• а \(qD\frac{dn}{dx}\) — це дифузійний струм.

Наближення Мотта–Герні базується на таких припущеннях:

$$ qD\frac{dn}{dx} \ll q\mu nE $$

Зазвичай, ця наближена формула є достатньо точною при високих значеннях електричного поля та великій концентрації ін’єкційних носіїв заряду, коли домінуючим процесом є транспорт, зумовлений електричним полем. Однак, при низькій напрузі або в умовах, близьких до рівноваги, дифузія може відігравати важливу роль, і ідеальна наближена формула для SCLC стає менш точною.

У напівпровідниках з низькою рухливістю носіїв заряду та значною мірою дефектами, процеси дифузії та енергетичної релаксації можуть суттєво змінювати внутрішній розподіл носіїв заряду.

Однорідна мобільність

Класичне виведення рівняння Мотта–Герні передбачає, що рухливість носіїв заряду є однорідною в просторі та не залежить від електричного поля.

У багатьох реальних матеріалах це припущення не є обґрунтованим. Органічні напівпровідники зазвичай демонструють рухливість, яка залежить від прикладеного електричного поля:

$$ \mu(E) = \mu_0 \exp(\gamma\sqrt{E}) $$

де \(\gamma\) – коефіцієнт Пула–Френкеля.

Ця залежність від зовнішнього поля виникає через те, що енергетичний хаос змінює швидкість переміщення носіїв заряду між локалізованими станами. У міру збільшення напруженості електричного поля, транспорт за рахунок стрибкоподібного переміщення стає ефективнішим, і видима рухливість зростає.

За таких умов залежність між струмом і напругою відхиляється від простої квадратичної поведінки, передбаченої ідеальною формулою Мотта — Герні.

Незначна рекомбінація

Рівняння Мотта–Герні передбачає, що рекомбінація незначна. Це припущення зазвичай є справедливим у належним чином розроблених пристроях з одним типом носіїв заряду, оскільки в них навмисно вводять лише один тип носіїв.

Однак, якщо присутні неосновні носії заряду, відбуваються процеси рекомбінації, такі як:

• Рекомбінація за Шоклі–Рідом–Голлом,
• Рекомбінація за Ланжевеном,
• або бімолекулярна рекомбінація

може змінювати розподіл концентрації носіїв заряду та нівелювати ідеальне обґрунтування моделі SCLC.

Експериментальне визначення справжнього типу дрібноклітинного раку легені.

Експериментально режим SCLC зазвичай визначають за кутом нахилу кривої залежності струму від напруги на логарифмічній шкалі.

В омічній області:

$$ J \propto V $$

і нахил становить приблизно 1.

В ідеальних умовах, де повністю відсутні пастки:

$$ J \propto V^2 $$

і нахил наближається до значення 2.

Транспорт, обмежений наявністю пасток, часто призводить до утворення схилів, більших за 2, тоді як транспорт, обмежений швидкістю введення, може спричиняти більш складну поведінку.

Отже, необхідна обережна інтерпретація. Лише наявність квадратичної залежності між струмом і напругою не є достатнім доказом того, що відбувається ідеальний моттівський–ґерніївський транспорт.

Зв’язок із методом моделювання, що базується на принципах дрейфу та дифузії.

Сучасні інструменти моделювання, що використовують методи дрейфу-дифузії, такі як OghmaNano, чисельно розв’язують систему рівнянь Пуассона, рівняння неперервності та рівняння переносу. Це дає змогу явно враховувати реалістичні неефекти, зокрема:

• розподіл за типами пасток,
• рухливість, що залежить від поля.
• рекомбінація носіїв заряду,
• нелінійні контакти,
• та електричні поля, що змінюються в просторі.

У результаті чисельне моделювання часто дає точніший опис реальних пристроїв SCLC, ніж окрема ідеальна аналітична теорія.