Виведення рівняння Мотта — Ґерні

Струм, обмежений просторовим зарядом (SCLC), є одним із найважливіших режимів транспорту в фізиці напівпровідникових приладів. Він виникає, коли концентрація носіїв заряду, що вводяться через контакти, стає значно більшою за рівноважну концентрацію носіїв, яка вже присутня всередині напівпровідника. За таких умов струм більше не обмежується власне провідністю матеріалу, а натомість обмежується електричним полем, яке створюється самими введеними зарядами.

Вимірювання за допомогою методу SCLC широко застосовуються в органічних напівпровідниках, OLED-дисплеях, перовськитних пристроях і аморфних матеріалах для оцінки рухливості носіїв заряду та дослідження станів пасток. Експериментально метод SCLC зазвичай вимірюють, використовуючи структуру, яка проводить лише дірки або лише електрони, де обидва контакти переважно вводять один і той самий тип носіїв заряду. Це пригнічує рекомбінацію електронів і дірок і дозволяє домінуючому транспортуванню одного типу носіїв заряду.

Найбільш відомим аналітичним описом напівпровідника з малою концентрацією пасток є рівняння Мотта — Герні, яке передбачає, що щільність струму змінюється квадратично зі збільшенням прикладеної напруги:

$$ J = \frac{9}{8}\varepsilon\mu\frac{V^2}{L^3} $$

де \(J\) – це щільність струму, \(\varepsilon\) – діелектрична проникність матеріалу, \(\mu\) – рухливість носіїв заряду, \(V\) – прикладена напруга, а \(L\) – товщина пристрою.

Хоча сама формула досить лаконічна, фізичні припущення, на яких вона базується, мають надзвичайно важливе значення. У процесі виведення формули передбачається відсутність пасток, наявність лише одного типу носіїв заряду, омічні контакти, однорідна рухливість, незначний дифузійний струм і незначна рекомбінація. Розуміння цих припущень є важливим під час інтерпретації експериментальних вимірювань SCLC.

Фізична природа струму, обмеженого просторовим зарядом

За звичайних умов омічної провідності концентрація носіїв заряду всередині напівпровідника є приблизно постійною, а щільність струму лінійно залежить від напруги. У цьому режимі електричне поле всередині пристрою майже однорідне, а концентрація введених носіїв заряду відносно невелика.

Однак, коли контакт ефективно вводить носії заряду в напівпровідник з низькою провідністю, введений заряд починає накопичуватися всередині пристрою. Цей накопичений заряд змінює внутрішнє електричне поле за допомогою рівняння Пуассона. Як наслідок, електричне поле стає залежним від положення, а струм обмежується електростатичною взаємодією самого введеного заряду.

Ця поведінка ілюструється в ??. На відміну від омічної провідності, внутрішнє поле в режимі SCLC не є однорідним. Натомість, електричне поле збільшується зі збільшенням відстані всередині пристрою, оскільки додатково введена заряджена частинка безперервно змінює електростатичний потенціал.

Початкові рівняння

Виведення рівняння Мотта — Ґерні починається з двох основних рівнянь: рівняння Пуассона та рівняння струму зносу.

Рівняння Пуассона встановлює зв’язок між градієнтом електричного поля та щільністю заряду:

$$ \frac{dE}{dx} = \frac{\rho}{\varepsilon} $$

де \(E\) — це електричне поле, \(\rho\) — об’ємна густина заряду, а \(\varepsilon\) — діелектрична проникність напівпровідника.

Припускаючи, що існує лише один вид носіїв заряду з концентрацією \(n\), щільність заряду набуває такого вигляду:

$$ \rho = qn $$

де \(q\) — елементарний заряд.

Щільність дрейфового струму визначається за формулою:

$$ J = q\mu nE $$

де \(\mu\) – рухливість носіїв заряду.

У виводі Мотта — Ґерні дифузійний струм не враховується. Це наближення є дійсним, коли електричне поле достатньо сильне, і домінуючим процесом є дрейфовий транспорт, а не дифузія.

Повне рівняння дрейф-дифузії має такий вигляд:

$$ J = q\mu nE + qD\frac{dn}{dx} $$

але за умов SCLC вважається, що внесок дифузії незначний порівняно з внеском дрейфу:

$$ qD\frac{dn}{dx} \ll q\mu nE $$

Виведення рівняння Мотта — Ґерні

Ми починаємо з того, що об’єднуємо рівняння Пуассона з рівнянням струму зносу. Підставляємо:

$$ n = \frac{\varepsilon}{q}\frac{dE}{dx} $$

у формулу, що описує дрейфовий струм:

$$ J = q\mu nE $$

надає:

$$ J = q\mu \left( \frac{\varepsilon}{q}\frac{dE}{dx} \right) E $$

яке можна спростити до:

$$ J = \varepsilon\mu E\frac{dE}{dx} $$

Перестановка:

$$ E\,dE = \frac{J}{\varepsilon\mu}\,dx $$

Забезпечення взаємодії між пристроями:

$$ \int_0^{E} E\,dE = \frac{J}{\varepsilon\mu} \int_0^x dx $$

надає:

$$ \frac{E^2}{2} = \frac{Jx}{\varepsilon\mu} $$

Отже:

$$ E(x) = \sqrt{ \frac{2Jx}{\varepsilon\mu} } $$

Напруга на пристрої визначається шляхом інтегрування електричного поля:

$$ V = \int_0^L E(x)\,dx $$

Підстановка значення поля:

$$ V = \int_0^L \sqrt{ \frac{2Jx}{\varepsilon\mu} } \,dx $$

Винесення сталих величин за знак інтеграла:

$$ V = \sqrt{ \frac{2J}{\varepsilon\mu} } \int_0^L x^{1/2}\,dx $$

Виконання інтеграції:

$$ V = \sqrt{ \frac{2J}{\varepsilon\mu} } \cdot \frac{2}{3}L^{3/2} $$

Підносимо обидві частини до квадрату:

$$ V^2 = \frac{8JL^3}{9\varepsilon\mu} $$

Зрештою, перегрупування виразу для поточної густини дає рівняння Мотта — Герні:

$$ J = \frac{9}{8} \varepsilon\mu \frac{V^2}{L^3} $$

Фізичні передумови, на яких ґрунтується виведення.

Хоча отримане рівняння здається математично простим, воно ґрунтується на кількох важливих фізичних припущеннях.

Транспорт без пасток.

У цій моделі передбачається, що всі введені носії заряду залишаються рухливими та безпосередньо сприяють електричному транспорту. У реальних невпорядкованих напівпровідниках носії заряду часто затримуються в локалізованих станах. Затримання змінює розподіл носіїв заряду та впливає на залежність струму від напруги.

Транспортування з використанням єдиного несучого сигналу

Рівняння Мотта — Ґерні передбачає, що лише один тип носіїв заряду суттєво впливає на процес переносу. У біполярних пристроях, які містять як електрони, так і дірки, ефекти рекомбінації та нейтралізації заряду роблять просте виведення SCLC недійсним.

Омічні контакти

У цій моделі передбачається, що носії заряду можуть вільно вводитися в напівпровідник. Якщо на контакті існує бар’єр Шотткі або бар’єр для ін’єкції, струм обмежується ін’єкцією на контакті, а не просторовим зарядом всередині пристрою.

Однорідна мобільність

У цій моделі припускається, що рухливість не залежить від електричного поля та концентрації носіїв заряду. Однак, у багатьох органічних напівпровідниках рухливість значною мірою залежить від поля, ступеня дефектності та заповненості пасток.

Незначний дифузійний струм

Упродовж усього процесу виведення явища дифузійного транспорту не враховується. Ця наближена модель стає менш точною за низьких значень електричного поля або поблизу умов рівноваги.

Коли рівняння Мотта — Ґерні перестає бути дієвим.

Реальні напівпровідникові пристрої часто відхиляються від ідеальної моделі Мотта — Герні. Однією з найпоширеніших причин цього є наявність станів-пасток. У випадку SCLC, де струм обмежується наявністю пасток, він часто підпорядковується степеневій залежності:

$$ J \propto V^m $$

де \(m > 2\).

Рухливість, яка залежить від прикладеного поля, також може суттєво змінювати залежність між струмом і напругою. Багато невпорядкованих органічних напівпровідників демонструють поведінку, що відповідає ефекту Пула-Френкеля, коли рухливість експоненціально зростає зі збільшенням електричного поля.

При дуже високих напругах послідовний опір і ефекти самонагрівання також можуть відігравати важливу роль. Аналогічно, якщо електрони та дірки присутні одночасно, рекомбінація може змінити розподіл електричного поля та зробити недійсним припущення про наявність лише одного типу носіїв заряду.

З огляду на ці причини, для точного моделювання реальних напівпровідникових пристроїв часто необхідні чисельні симуляції, що базуються на моделях дрейфу та дифузії.

Зв’язок із моделюванням за допомогою методів дрейфу та дифузії

Рівняння Мотта — Ґерні є надзвичайно корисним, оскільки воно дає змогу отримати аналітичне уявлення про транспорт, обмежений просторовим зарядом. Однак реальні напівпровідникові пристрої часто містять розподіли пасток, рухливості, що залежать від поля, неомнічні контакти, процеси рекомбінації та просторово змінні електричні поля, які неможливо описати за допомогою простої аналітичної моделі.

Інструменти моделювання, що використовують метод дрейфу-дифузії, такі як OghmaNano, чисельно розв’язують пов’язані рівняння Пуассона та рівняння неперервності, що дає змогу явно враховувати ці неідеальні ефекти. Це дозволяє досліджувати реалістичні пристрої SCLC, які містять дефекти, стани пасток, градієнти рухливості та складні багатошарові структури.