吸収、誘導放出、および光学的利得

光学的利得こそが量子井戸における光増幅の原因となる。誘導放出が吸収を上回る際にこの利得が生じるが、そのためには伝導帯および価電子帯のサブバンド間で粒子数反転が起きている必要がある。本ページでは、OghmaNanoにおける光学的利得の計算を構成する物理的要素、すなわちキャリア統計、二次元状態密度、光学的行列要素、および線形形状の広がりをまとめ、現在の実装において含まれている機能と含まれていない機能を明確に示している。

1. 状態の占有確率と準フェルミ準位

光励起または電気的励起の下では、電子および正孔はそれぞれ内部で熱平衡状態に達するものの互いに平衡状態にはないため、各キャリア種類ごとに独自の準フェルミ準位が存在する。エネルギー値が\(E\)である状態の占有確率はフェルミ・ディラック関数によって与えられる。

\[ f(E) = \frac{1}{1 + \exp\!\big((E - E_F)/k_B T\big)}, \]

\(E_F=E_{F,c}\)は伝導帯状態を、\(E_F=E_{F,v}\)は価電子帯状態を表す。励起強度が増すにつれて2つの準フェルミ準位は互いに離れていく。つまり、粒子数反転、ひいては正味利得が生じるためには、これらの準フェルミ準位間のエネルギー差が遷移エネルギーを上回る必要がある。

2. シート密度と二次元積分

面内方向には運動が自由であるため、各サブバンドは二次元バンドとなり、そのキャリア密度は面内波数ベクトルに関する積分によって求められる。二次元状態密度はスピンや縮退度ごとの積分重みを与えるため \(k\,dk/2\pi\)、電子の面密度は

\[ n_{2D} = \sum_{n} g\!\int \frac{k\,dk}{2\pi}\; f\!\big(E_n(k)\big), \]

ここで \(g\) は状態の縮退度を表し、和はすべてのサブバンドにわたって取られる。OghmaNanoではこの積分を計算された分散関係に基づき数値的に評価する。所定の面密度が与えられると、二分法を用いて準フェルミ準位を求める。すなわち \(E_F\) を調整し、積分値が目標値に一致するまで計算を繰り返す。正孔についても同様に \(1-f\) を用いて処理される。電子状態および正孔状態が混在する全スペクトルモードでは、各状態のS特性重みがその寄与度を決定する。

3. 光学的行列要素の導入

各遷移は、エンベロープ関数から算出される重なり・特性因子の二乗値である光学的matrix element \(M^2\)に比例して寄与する。絶対的なスケールは、ケインエネルギーおよび光学定数から構成される前置因子によって決定される。

\[ \text{prefactor} \propto \frac{\pi\,q^2\,p^2}{n_r\,c\,\varepsilon_0\,m_0^2\,\omega\,W}, \qquad p^2 = \tfrac{1}{2} m_0 E_p q, \]

ここで\(n_r\)は屈折率、\(W\)は量子井戸の幅、\(\omega\)は光の角周波数、\(E_p\)はケインエネルギーを表す。\(1/W\)はシート状の応答をバルクに相当する利得係数（単位は長さの逆数）へと変換する。

4. 線形の広がり

実際の遷移現象は、散乱の影響により鋭いデルタ関数ではなくある線形形状に広がる。OghmaNanoでは半値幅が\(\gamma\)であるローレンツ関数が用いられる。

\[ L(E - \hbar\omega) = \frac{1}{\pi}\,\frac{\gamma}{(E - \hbar\omega)^2 + \gamma^2}, \]

各遷移エネルギーを中心に分布しており \(E = E_e(k) - E_v(k)\)、これにより各遷移がさまざまな光子エネルギー範囲に広がり、スペクトルが平滑化される。

5. 誘導放出、吸収および正味利得

ある光子エネルギー\(\hbar\omega\)において、各遷移は確率\(f_c(1-f_v)\)で誘導放出に寄与する（電子が上準位に、正孔が下準位に存在する場合）一方で、確率\(f_v(1-f_c)\)で吸収にも寄与する。これらをすべてのサブバンドおよび2次元積分の範囲にわたって合計する。

\[ \begin{aligned} g_{\text{stim}}(\hbar\omega) &= C\!\sum \int \frac{k\,dk}{2\pi}\; M^2\, f_c(1-f_v)\, L, \\ \alpha(\hbar\omega) &= C\!\sum \int \frac{k\,dk}{2\pi}\; M^2\, f_v(1-f_c)\, L, \end{aligned} \]

ここで\(C\)は前置因子である。正味利得はこれら二つの値の差となる。

\[ g_{\text{net}}(\hbar\omega) = g_{\text{stim}}(\hbar\omega) - \alpha(\hbar\omega). \]

正味利得が正の値を示すのは、キャリア分布が反転状態にある場合のみである。 \(f_c > f_v\) これが、準フェルミ準位間のエネルギー差が光子エネルギーを上回ることを示すバーナード・デュラフォージ条件である。閾値以下ではこの式の値は負となり、吸収が起こることを正しく表している。

6. TEおよびTMスペクトルと面密度のスキャン

ウルツァイトモデルにおいて、OghmaNanoは利得積分を2回実行する。1回目はTE用の行列要素（底面方向、\(P_2\)）を用い、2回目はTM用の行列要素（c軸方向、\(P_1\)）を用いる。これによりTEおよびTMそれぞれのスペクトルが得られ、その比は最上準位の価電子軌道の性質を反映する。この計算はさまざまなシート密度に対して繰り返され、その結果としてポンピングに伴う利得の増加の様子を示す一連のスペクトルが出力される。また、バルク値との比較用として大まかな体積密度の値\(n_{3D}\approx n_{2D}/W\)も報告される。