半導体における音響フォノン散乱

1. 音響フォノン散乱とは何か？

半導体内部の原子は静止しておらず、それぞれの平衡位置の周りで振動している。これらの振動は、まるで音が空気中を伝わるように結晶内を伝播する。量子物理学において、格子振動の単位パケットはフォノンと呼ばれる。音響フォノンとは、結晶内を伝わる音波の量子力学的な表現である。

図 ?? には、2種類の基本的な音響振動が示されている。縦波音響（LA）では、原子が波の進行方向に沿って前後に動くため、格子が圧縮または伸張される領域が生じる。一方、横波音響（TA）では、原子が進行方向に対して横方向に動き、単なる体積変化ではなくせん断運動が生じる。三次元結晶においては通常、1つの縦波音響モードと2つの横波音響モードが存在するが、異方性材料ではこれらの運動が混在することもある。

なぜこれらの格子振動が電子にとって重要なのでしょうか？結晶を圧縮、伸長、またはせん断することで、そこに存在する電荷キャリアが受ける環境がわずかに変化します。したがって、伝播する振動は半導体内の電子エネルギー状態に動的な乱れを生じさせるのです。この乱れと相互作用する電子や正孔は、その進行方向を変えることになります。これがいわゆる音響フォノン散乱です。

散乱現象が必ずしもキャリアが多くのエネルギーを失うことを意味するわけではない。音響フォノンは電子とごくわずかなエネルギーのやり取りしか行わない場合が多いが、それでも電子の進行方向を大きく変えることが可能である。この点は重要である。なぜなら、方向が繰り返し変化することでキャリアがデバイス内を安定して移動することが困難になり、その結果移動度が低下するからだ。本チュートリアルの後半にある図??では、方向変化の度合いが大きいほど移動度への影響も大きくなる理由が示されている。

音響フォノンはシリコンやGaAs、GaNといった材料中に存在し、バルク半導体および量子井戸構造内においてもキャリアを散乱させる。これらはFröhlich散乱チュートリアルで説明されている光学フォノンとは異なり、音波に類似した格子振動であり、波長が長くなるとそのエネルギーは極めて小さくなる。以下の各節では、まず変形ポテンシャルが電子のバンドエネルギーに与える影響から始め、その物理現象を定量的に解説する。

2. 格子振動がどのようにキャリアを散乱させるか

音響フォノンとは音波に似た波動であり、波長が長いほど振動周波数は低くなる。十分に長い波長領域においては、周波数は波数ベクトルにほぼ比例する。最も単純な音響フォノンによる散乱メカニズムは変形ポテンシャル結合である。結晶格子が圧縮または伸長されると、電子のバンドエネルギーが変化する。したがって、通過する音響波は電子および正孔が受ける空間的・時間的に変化するポテンシャルを生み出す。等方的なバンド構造の場合、このエネルギーシフトは次式で表すことができる

\[ \Delta E(\mathbf r,t)=D_{\mathrm{ac}}\,\nabla\!\cdot\mathbf u(\mathbf r,t) =D_{\mathrm{ac}}\,\mathrm{Tr}\,\boldsymbol\varepsilon(\mathbf r,t), \]

ここで\(\mathbf u\)は格子の変位量、\(\boldsymbol\varepsilon\)はひずみテンソル、\(D_{\mathrm{ac}}\)はエネルギー単位を持つ音響変形ポテンシャルである。縦波は局所的な圧縮・膨張を引き起こすため、ひずみテンソルのトレース値はゼロではなくなる。一方、純粋な横波の場合はひずみトレースがゼロとなり、このスカラー量である静水圧ひずみ項を介してはキャリア散乱に寄与しない。ただし、これは横波の音響フォノンが決してキャリアを散乱させ得ないことを意味するわけではない。異方性や多バンド構造を持つ変形ポテンシャルもまた、せん断ひずみと結合し得るからである。

より一般的には、対称なひずみテンソルは

\[ \varepsilon_{ij}=\frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right). \]

ひずみによって生じる電子ハミルトニアンには、単一の定数ではなく複数の独立した変形ポテンシャルが含まれる場合がある。このような記述は、異方性を持つ伝導帯の谷構造や、軌道およびスピン特性が混在する価電子帯において特に重要となる。

3. フォノンの占有数と準弾性近似

音響フォノンは、キャリアのエネルギーおよび運動方向の両方を変化させることができる。図??は、これらの効果の数学的記述を導入する前に、それらを視覚的に示している。

キャリアは移動可能である 吸収される 音響フォノンがエネルギーを得る \(\hbar\omega_\lambda\)、または 放出される 電子は同じエネルギーを失う。格子温度におけるあるモードの音響フォノンの平均数 \(T\) ボース＝アインシュタイン分布によって与えられる：

\[ N_{\mathbf q\lambda}= \frac{1}{\exp[\hbar\omega_\lambda(\mathbf q)/(k_BT)]-1}. \]

吸収は\(N_{\mathbf q\lambda}\)に比例し、放射は\(N_{\mathbf q\lambda}+1\)に比例します。この際の余分な1という値は自発放射を表しています。運動量の移動を担う音響フォノンの数が十分に多い高温状態下では、\(k_BT\gg\hbar\omega_\lambda\)の値に基づきフォノンの占有数が近似的に求められます。

\[ N_{\mathbf q\lambda}\simeq\frac{k_BT}{\hbar\omega_\lambda(\mathbf q)}. \]

音響フォノンのエネルギーは、関連するキャリアのエネルギーに比べて小さい場合が多く、 そのため準弾性近似が適用可能となる 準弾性近似およびエネルギー等分配近似 \(E_f\simeq E_i\)吸収および放出の過程が、ほぼ等しいエネルギーを持つ電子状態間の遷移に寄与する。これはあくまで近似であり、音響フォノンがエネルギーを運ばないということを意味するものではない。低温下やフォノンの波数ベクトルが大きい場合、あるいは交換されるエネルギーがキャリアのエネルギーと同程度である場合には、この近似の精度は低下する。

4. 変形ポテンシャルによる行列要素

等方的かつ長波長近似モデルにおいては、縦波音響フォノンは変形ポテンシャルを介してキャリアと相互作用する。平面波状の電子状態においては、単一フォノンによる結合の大きさは通常の値となる。

\[ |M_{\mathbf q,\mathrm{LA}}|^2= D_{\mathrm{ac}}^2\frac{\hbar|\mathbf q|}{2\rho V v_{\mathrm{LA}}}, \]

ここで\(\rho\)は質量密度、\(V\)はフォノンの規格化体積を表す。より一般的な電子状態の場合、結合項には初期状態と終状態の波動関数間の重なりも含まれる。したがって散乱の強度は、格子振動と電子のバンド特性の両方に依存することになる。

高温下における準弾性極限において音響フォノンの吸収および放出を組み合わせることで、等方的な縦波成分に関して特に有用な結果が得られる。

\[ |M_{\mathrm{LA}}|^2_{\mathrm{thermal}} \simeq\frac{D_{\mathrm{ac}}^2 k_BT}{\rho V v_{\mathrm{LA}}^2} \,\mathcal F_{if}, \]

ここで \(\mathcal F_{if}\) は適切な電子状態の重なり係数を表す。この式から、温度が上昇するにつれて音響フォノン散乱が通常強くなる理由がわかる。また、この散乱現象は単なる可調整な移動度パラメータのみならず、変形ポテンシャルや結晶密度、弾性的応答にも依存することが示されている。

5. 縦波、横波および異方性音響モード

多くの半導体材料において、音波は結晶学的な方向によって異なる速度で伝播する。音響フォノンの振動数や変位の偏極性は、結晶の弾性剛性テンソルから決定される。 \(C_{ijkl}\)連続体近似において、これらは次のように求められる クリストフェル方程式:

\[ \sum_{j}\Gamma_{ij}(\hat{\mathbf q})e_j^{(\lambda)} =\rho v_\lambda^2 e_i^{(\lambda)}, \qquad \Gamma_{ij}(\hat{\mathbf q}) =\sum_{k,l} C_{ikjl}\hat q_k\hat q_l. \]

固有値によって音速が決定され、固有ベクトルがそれに続く \(\mathbf e^{(\lambda)}\) 音響フォノンの偏極状態を決定する。これらの偏極状態は、各モードによって生じる圧縮およびせん断の組み合わせを規定しており、それによってどのような変形ポテンシャル結合が可能となるかも決まる。

立方晶においては、弾性応答は通常\(C_{11}\)、\(C_{12}\)、\(C_{44}\)という3つの独立した剛性定数によって記述される。一方、六方晶ウルツァイト構造の結晶では、結晶の\(c\)軸方向における応答が底面内の応答と一般に異なるため、さらに多くの独立した弾性定数が必要となる。このような弾性異方性のために、電子バンドの異方性を考慮する前からでも、散乱率や移動度が方向に依存することになる。

6. 各電子バンドにおける変形ポテンシャル

スカラー型の変形ポテンシャルは理解を深めるための出発点として有用ですが、実際の半導体には複数のバンドやバレー、波動関数成分が存在します。このような材料においては、音響フォノンによるひずみが電子状態のシフトや分裂、さらには混合を引き起こす可能性があります。

シリコンにおける伝導帯のバレー：各バレーの応答はその向きに依存する。一般的な記述法として、静水圧変形ポテンシャル\(\Xi_d\)と一軸性変形ポテンシャル\(\Xi_u\)を分離して扱う方法がある。

\[ \Delta E_{\nu}=\Xi_d\,\mathrm{Tr}\,\boldsymbol\varepsilon +\Xi_u\,\hat{\mathbf a}_{\nu}\!\cdot\boldsymbol\varepsilon\!\cdot\hat{\mathbf a}_{\nu}, \]

ここで \(\hat{\mathbf a}_{\nu}\) はバレー軸の単位ベクトルである。したがって、ひずみは結晶の異なる軸上にあるバレーにそれぞれ異なる影響を与え得る。

価電子帯および多バンド半導体：重ホール状態、軽ホール状態、ならびにスピン軌道結合状態は、せん断ひずみや一軸性ひずみ、さらには静水圧ひずみの影響を受ける。Bir–Pikusひずみハミルトニアンは、亜鉛鉱型構造を有する半導体やそれに類似する多バンド系を記述するための標準的な手法である。状態\(|i\rangle\)と\(|f\rangle\)間の散乱確率は、ひずみ摂動の行列要素によって決定される。

\[ M_{fi}^{(\lambda)}\propto \langle f|H_{\mathrm{strain}}(\boldsymbol\varepsilon^{(\lambda)})|i\rangle. \]

この形式により、せん断応力に起因する結合現象やバンド混合、選択則が散乱確率に影響を与える。関与する変形ポテンシャルおよびひずみハミルトニアンは半導体の対称性やバンド構造に依存するため、すべての場合を記述できるような普遍的なスカラー定数は存在しない。

7. 量子井戸における音響フォノン散乱

量子井戸構造においては、電子の運動は成長方向（ここでは\(z\)方向とする）においてのみ束縛され、その平面内では自由に移動可能である。電子状態は、平面内の平面波と束縛された包絡波動関数の積として模式的に表現できる。この電子状態が音響フォノンと相互作用する際の応答は、初期状態および終状態における束縛状態間の重なり具合に依存する。

スカラー型の変形ポテンシャルにおいて、関連する閉じ込め因子は次のような形をとる。

\[ I_{fi}(q_z)=\int dz\,\psi_f^*(z) D_{\mathrm{ac}}(z)\psi_i(z)e^{iq_z z}. \]

ここで\(q_z\)は量子井戸に対して垂直な方向のフォノンの波数成分であり、\(\psi_i\)および\(\psi_f\)は閉じ込められた電子の波動関数である。この振動性の因子は、量子井戸内におけるフォノンの分布の変化を表している。同様の物理原理は複数成分からなる波動関数にも適用可能であり、その場合にはスカラー量である変形ポテンシャルが適切なひずみハミルトニアンに置き換えられる。

音響フォノンは、電子状態が二次元的であっても三次元的な振動を呈する。量子井戸における通常のバルクフォノン記述においては、キャリアは面内運動量を交換することが可能である。 \(\mathbf q_\parallel=\mathbf k'_\parallel-\mathbf k_\parallel\) また、面外方向のフォノン成分とも結合する。 \(q_z\)このため、閉じ込められた波動関数の重なりは、サブバンド内遷移およびサブバンド間遷移の両方において重要となる。一方で、自由に浮遊する膜構造や音響フォノンが強く閉じ込められている他の構造においては、別の記述方法が必要となる場合もある。

8. フェルミの黄金律から散乱率へ

音響フォノンを介した遷移の確率は、フェルミの黄金則から導き出される。初期電子状態\(i\)において、許容されるすべての終状態、フォノン分枝およびフォノン波数ベクトルについて総和を取ることで、全散乱率が求められる。

\[ \begin{aligned} \frac{1}{\tau_i} = \frac{2\pi}{\hbar} \sum_{f,\mathbf q,\lambda}|M_{fi}^{(\lambda)}(\mathbf q)|^2 \Big[&N_{\mathbf q\lambda}\, \delta(E_f-E_i-\hbar\omega_{\mathbf q\lambda})\\ &+(N_{\mathbf q\lambda}+1)\, \delta(E_f-E_i+\hbar\omega_{\mathbf q\lambda})\Big]. \end{aligned} \]

第1項は音響フォノンの吸収過程を、第2項はその放出過程を表している。ディラックのデルタ関数がエネルギー保存則を保証しており、電子波数ベクトルとフォノン波数ベクトルの関係により運動量も保存される。縮退した系においては、終状態となる電子状態の占有状態も重要となり、パウリの排他律に基づくブロッキング因子が現れる。

高温下における準弾性近似のもとでは、吸収および放出に関する二つの寄与項は、前述した熱的行列要素を伴う単一の等エネルギー散乱過程へと収束する。一般的な電子分散関係式\(E_b(\mathbf k)\)においては、存在しうる終状態はすべて同一エネルギー値を持つ等エネルギー面または等エネルギー輪郭上に位置することになる。

\[ E_{b_f}(\mathbf k')=E_{b_i}(\mathbf k). \]

これは重要な違いを示している。すなわち、音響フォノンによる散乱は、利用可能な電子状態の密度や幾何学的配置、ならびにフォノンとの結合の影響を受ける。したがって、非放物線的または異方的なバンド構造を持つ場合、散乱率は等方的な有効質量モデルで得られる結果とは大きく異なり、エネルギーに依存する可能性がある。

9. 散乱寿命、輸送寿命および移動度

すべての衝突が電流を減少させる上で同等の効果を持つわけではない。進行方向の変化がごくわずかな衝突であっても全体的な散乱率には寄与するが、運動量の減少効果は弱い。等方的なバンド構造を持つ場合、このような違いは輸送重み係数によって表現されることが多い。

\[ \frac{1}{\tau_{\mathrm{tr}}(\mathbf k)} =\sum_{\mathbf k'}W_{\mathbf k\rightarrow\mathbf k'} \bigl(1-\cos\theta\bigr), \]

ここで\(W_{\mathbf k\rightarrow\mathbf k'}\)は遷移率を表し\(\theta\)は散乱角を示します。前方散乱は運動量緩和にほとんど影響を与えませんが、後方散乱の方がより大きな影響をもたらします。異方性を持つ材料や多バンド構造を持つ材料においては、運動量または速度の緩和を完全に記述するにはこの単純な角度因子よりも複雑な取り扱いが必要となります。

基本的な放物線型バンドモデルにおける緩和時間近似において、移動度は

\[ \mu=\frac{q\tau_{\mathrm{tr}}}{m^*}. \]

実際のデバイスでは、さまざまなエネルギーを持つキャリアが存在し、複数の伝導帯やサブバンドが占有されている場合もある。このような場合、導電率はキャリア分布、群速度、およびエネルギーに依存する輸送寿命に左右される。音響フォノンによる散乱は、不純物、界面の粗さ、光学フォノンなど他の要因と同様に、最終的な移動度を制限する要因の一つである。半導体輸送モデリングの全体的な背景については、バンド構造および移動度に関するドキュメントを参照されたい。

10. いつ単純な音響フォノンモデルでは不十分となるか？

変形ポテンシャル近似および等分配近似は音響フォノン散乱の記述に有用であるが、それぞれの仮定内容を十分に理解しておく必要がある。低温下ではフォノンの存在数や電子を散乱させ得るフォノンのエネルギーを正確に扱う必要があり、ブロッホ・グリューナイゼン領域における状況は高温時のそれとは大きく異なる場合がある。結晶の強い異方性、複数バンド間の結合、量子閉じ込め効果も散乱の選択則に影響を及ぼし得る。また、中心対称性を持たない結晶における圧電散乱といった他の音響相互作用は全く別の物理的機構に基づくものであり、変形ポテンシャル散乱と混同してはならない。

主要な結論として、音響フォノンは時間的に変化する格子ひずみを生じさせることでキャリアを散乱させる。この相互作用の強度は、電子状態がひずみにどのように応答するか、結晶が音波をどの程度効率よく伝播させるか、どのような終状態のキャリアが存在しうるか、そして各遷移過程において運動量がどの程度効果的に緩和されるかといった要因に依存する。これらの原理はバルク半導体のみならず、量子井戸や多バンド電子系にも適用可能である。