Obtenção da Equação de Mott-Gurney

A corrente limitada pela carga espacial (SCLC) é um dos regimes de transporte mais importantes na física dos dispositivos semicondutores. Ocorre quando a densidade de portadores injetados a partir dos contactos se torna muito maior do que a densidade de portadores em equilíbrio já presente no interior do semicondutor. Nestas condições, a corrente deixa de ser limitada pela condutividade intrínseca do material, passando a ser limitada pelo campo elétrico gerado pela própria carga injetada.

As medições de SCLC são amplamente utilizadas em semicondutores orgânicos, OLEDs, dispositivos de perovskite e materiais amorfos para estimar a mobilidade dos portadores de carga e investigar os estados de armadilhamento. Experimentalmente, o SCLC é geralmente medido utilizando uma estrutura que permite apenas o transporte de lacunas ou de eletrões, onde ambos os contactos injetam preferencialmente o mesmo tipo de portador de carga. Isto suprime a recombinação eletrão-lacuna e permite que o transporte de uma única espécie de portador de carga seja o processo dominante.

A descrição analítica mais conhecida de um semicondutor amorfo sem armadilhas é a equação de Mott-Gurney, que prevê que a densidade de corrente varia quadraticamente com a tensão aplicada:

$$ J = \frac{9}{8}\varepsilon\mu\frac{V^2}{L^3} $$

onde \(J\) é a densidade de corrente, \(\varepsilon\) é a permissividade do material, \(\mu\) é a mobilidade dos portadores de carga, \(V\) é a tensão aplicada e \(L\) é a espessura do dispositivo.

Embora a equação em si seja concisa, os pressupostos físicos que a sustentam são extremamente importantes. A dedução da equação assume um transporte sem armadilhas, um único tipo de portador de carga, contactos óhmicos, mobilidade uniforme, corrente de difusão desprezível e recombinação desprezível. Compreender estes pressupostos é fundamental ao interpretar as medições experimentais de SCLC.

Origem física da corrente limitada pela carga espacial

Na condução ôhmica normal, a densidade de portadores no interior do semicondutor é aproximadamente constante e a densidade de corrente varia linearmente com a tensão. Neste regime, o campo elétrico no interior do dispositivo é quase uniforme e a densidade de portadores injetados é relativamente pequena.

No entanto, quando um contato injeta eficientemente portadores de carga num semicondutor de baixa condutividade, a carga injetada começa a acumular-se no interior do dispositivo. Esta carga acumulada modifica o campo elétrico interno através da equação de Poisson. Como resultado, o campo elétrico passa a depender da posição e a corrente é limitada pela interação eletrostática da própria carga injetada.

Este comportamento é ilustrado em ??. Ao contrário da condução ôhmica, o campo interno no regime SCLC não é uniforme. Em vez disso, o campo elétrico aumenta com a distância ao longo do dispositivo, porque a carga adicional injetada modifica continuamente o potencial eletrostático.

Equações iniciais

A dedução da equação de Mott-Gurney começa com duas equações fundamentais: a equação de Poisson e a equação da corrente de deriva.

A equação de Poisson relaciona o gradiente do campo elétrico com a densidade de carga:

$$ \frac{dE}{dx} = \frac{\rho}{\varepsilon} $$

onde \(E\) representa o campo elétrico, \(\rho\) representa a densidade de carga e \(\varepsilon\) representa a permissividade do semicondutor.

Partindo do princípio de que existe uma única espécie portadora com densidade \(n\), a densidade de carga passa a ser:

$$ \rho = qn $$

onde \(q\) é a carga elementar.

A densidade de corrente de deriva é dada por:

$$ J = q\mu nE $$

onde \(\mu\) representa a mobilidade dos portadores de carga.

Na derivação de Mott-Gurney, a corrente de difusão é desconsiderada. Esta aproximação é válida quando o campo elétrico é suficientemente forte, de modo que o transporte por derivação predomina sobre a difusão.

A equação completa de deriva-difusão é:

$$ J = q\mu nE + qD\frac{dn}{dx} $$

no entanto, nas condições do SCLC, assume-se que o termo de difusão é pequeno em comparação com o termo de deriva:

$$ qD\frac{dn}{dx} \ll q\mu nE $$

Obtenção da equação de Mott-Gurney

Começamos combinando a equação de Poisson com a equação da corrente de deriva. Substituindo:

$$ n = \frac{\varepsilon}{q}\frac{dE}{dx} $$

na expressão da corrente de deriva:

$$ J = q\mu nE $$

oferece:

$$ J = q\mu \left( \frac{\varepsilon}{q}\frac{dE}{dx} \right) E $$

o que se simplifica para:

$$ J = \varepsilon\mu E\frac{dE}{dx} $$

Reorganizando:

$$ E\,dE = \frac{J}{\varepsilon\mu}\,dx $$

Integração entre os dispositivos:

$$ \int_0^{E} E\,dE = \frac{J}{\varepsilon\mu} \int_0^x dx $$

oferece:

$$ \frac{E^2}{2} = \frac{Jx}{\varepsilon\mu} $$

Portanto:

$$ E(x) = \sqrt{ \frac{2Jx}{\varepsilon\mu} } $$

A tensão através do dispositivo é obtida pela integração do campo elétrico:

$$ V = \int_0^L E(x)\,dx $$

Substituindo a expressão do campo:

$$ V = \int_0^L \sqrt{ \frac{2Jx}{\varepsilon\mu} } \,dx $$

Retirar as constantes do integrando:

$$ V = \sqrt{ \frac{2J}{\varepsilon\mu} } \int_0^L x^{1/2}\,dx $$

Realizando a integração:

$$ V = \sqrt{ \frac{2J}{\varepsilon\mu} } \cdot \frac{2}{3}L^{3/2} $$

Elevando ambos os lados ao quadrado:

$$ V^2 = \frac{8JL^3}{9\varepsilon\mu} $$

Por fim, ao reorganizar a equação para expressar a densidade de corrente, obtemos a equação de Mott-Gurney:

$$ J = \frac{9}{8} \varepsilon\mu \frac{V^2}{L^3} $$

Pressupostos físicos subjacentes à dedução.

Embora a dedução pareça matematicamente simples, ela depende de várias premissas físicas importantes.

Transporte sem armadilhas.

A dedução parte do princípio de que todos os portadores injetados permanecem móveis e contribuem diretamente para o transporte elétrico. Em semicondutores reais e desordenados, os portadores são frequentemente aprisionados em estados localizados. Esse aprisionamento modifica a distribuição dos portadores e altera a dependência da corrente em relação à tensão.

Transporte com um único veículo.

A equação de Mott-Gurney parte do princípio de que apenas um tipo de portador de carga contribui significativamente para o transporte. Em dispositivos bipolares que contêm tanto eletrões como lacunas, os efeitos de recombinação e de neutralidade de carga invalidam a derivação simples do modelo SCLC.

Contactos óhmicos

A derivação parte do princípio de que os portadores de carga podem ser injetados livremente no semicondutor. Se existir uma barreira de Schottky ou uma barreira de injeção no ponto de contato, a corrente passa a ser limitada pela injeção no contato, em vez de pela carga espacial no interior do dispositivo.

Mobilidade uniforme

A derivação parte do pressuposto de que a mobilidade é independente do campo elétrico e da densidade de portadores. No entanto, em muitos semicondutores orgânicos, a mobilidade depende fortemente do campo, do grau de desordem e do preenchimento das armadilhas.

Corrente de difusão insignificante.

O transporte por difusão é desconsiderado ao longo de todo o processo de cálculo. Esta aproximação torna-se menos precisa em campos elétricos baixos ou em condições próximas do equilíbrio.

Quando a equação de Mott-Gurney deixa de ser válida.

Os dispositivos semicondutores reais desviam-se frequentemente do comportamento ideal de Mott-Gurney. Uma das causas mais comuns é a presença de estados de armadilhamento. Em dispositivos SCLC com limitação por armadilhas, a corrente segue frequentemente uma lei de potência:

$$ J \propto V^m $$

onde \(m > 2\).

A mobilidade dependente do campo elétrico também pode modificar significativamente a relação corrente-tensão. Muitos semicondutores orgânicos desordenados exibem o comportamento de Poole-Frenkel, no qual a mobilidade aumenta exponencialmente com o campo elétrico.

Em tensões muito elevadas, a resistência em série e os efeitos de autoaquecimento também podem tornar-se relevantes. Da mesma forma, se estiverem presentes simultaneamente eletrões e lacunas, a recombinação pode alterar a distribuição do campo elétrico e invalidar a premissa de que apenas um tipo de portador de carga está presente.

Por estas razões, as simulações numéricas de deriva e difusão são frequentemente necessárias para descrever com precisão o comportamento de dispositivos semicondutores reais.

Relação com as simulações de deriva-difusão

A equação de Mott-Gurney é extremamente útil, pois oferece uma compreensão analítica do transporte limitado pela carga espacial. No entanto, os dispositivos semicondutores reais contêm frequentemente distribuições de armadilhas, mobilidades dependentes do campo, contactos não óhmicos, processos de recombinação e campos elétricos que variam espacialmente, elementos que não podem ser abrangidos por um modelo analítico simples.

Ferramentas de simulação de deriva-difusão, como o OghmaNano, resolvem numericamente as equações de Poisson e de continuidade acopladas, permitindo que esses efeitos não ideais sejam incluídos explicitamente. Isso torna possível estudar dispositivos SCLC realistas que contêm desordem, estados de armadilha, gradientes de mobilidade e estruturas multicamadas complexas.