Condições de validade da equação de Mott–Gurney

A equação de Mott–Gurney é uma das expressões analíticas mais utilizadas na física de dispositivos semicondutores. Ela descreve a densidade de corrente num dispositivo de corrente limitada por carga espacial (SCLC) sem armadilhas:

$$ J = \frac{9}{8}\varepsilon\mu\frac{V^2}{L^3} $$

onde \(J\) é a densidade de corrente, \(\varepsilon\) é a permissividade dielétrica, \(\mu\) é a mobilidade dos portadores de carga, \(V\) é a tensão aplicada e \(L\) é a espessura do dispositivo.

Embora a equação seja frequentemente utilizada para determinar a mobilidade dos portadores de carga a partir de medições experimentais de corrente e tensão, a sua dedução depende de várias premissas físicas importantes. Os dispositivos semicondutores reais frequentemente não cumprem uma ou mais dessas premissas, especialmente no caso de semicondutores orgânicos amorfos, perovskitas, OLEDs e materiais com baixa mobilidade.

Consequentemente, é importante compreender não só como a equação de Mott–Gurney é obtida, mas também as condições físicas em que ela permanece válida. Não levar em consideração essas condições pode levar a erros significativos na interpretação das medições experimentais de SCLC.

Transporte sem armadilhas.

A equação clássica de Mott–Gurney parte do princípio de que todos os portadores injetados permanecem móveis. Em outras palavras, assume-se que o semicondutor não contém armadilhas.

Em muitos semicondutores reais, no entanto, os portadores de carga podem ficar retidos em estados localizados associados a:

• distúrbio estrutural,
• impurezas,
• defeitos,
• limites de grão,
• ou distúrbio energético.

Os portadores aprisionados continuam a contribuir para a carga espacial no interior do dispositivo, mas não contribuem de forma eficiente para a condução elétrica. Como resultado, a dependência da corrente em relação à tensão desvia-se do comportamento quadrático ideal previsto pela equação de Mott–Gurney.

Em vez de:

$$ J \propto V^2 $$

o SCLC com metástases limitadas geralmente apresenta o seguinte padrão:

$$ J \propto V^m $$

com:

$$ m > 2 $$

A presença de armadilhas é, portanto, uma das limitações mais importantes da teoria ideal de SCLC.

Transporte com um único veículo.

A dedução da equação de Mott–Gurney parte do pressuposto de que apenas uma espécie de portador de carga contribui significativamente para o transporte. Isso significa que o dispositivo deve comportar-se de uma das seguintes formas:

• um dispositivo que só funciona com cartões perfurados ou
• um dispositivo que utiliza apenas eletrões.

Em experimentos práticos de células solares de contacto lateral, esta condição é alcançada através de uma cuidadosa otimização das características energéticas do contacto, de modo que um tipo de portador de carga seja injetado de forma eficiente, enquanto o tipo oposto de portador de carga é bloqueado.

Se tanto os eletrões como as lacunas forem injetados simultaneamente no dispositivo, os processos de recombinação tornam-se importantes e as premissas subjacentes à derivação de Mott-Gurney deixam de ser válidas. A corrente resultante já não pode ser descrita utilizando um modelo simples de camada condutora semicondutora com um único tipo de portador de carga.

Esta é uma das razões pelas quais os dispositivos fotovoltaicos convencionais geralmente não são adequados para uma análise ideal de SCLC. As células solares são projetadas intencionalmente para suportar o transporte bipolar e a separação de cargas, enquanto os dispositivos SCLC são projetados especificamente para suprimir um tipo de portador de carga.

Contactos óhmicos e barreiras de injeção

Outra premissa fundamental da equação de Mott–Gurney é que os contactos injetam portadores de carga de forma eficiente no semicondutor. Isto exige, aproximadamente, condições de injeção óhmica.

Se existir uma barreira de injeção significativa na interface metal-semicondutor, a corrente será limitada pela injeção de portadores, e não pela carga espacial no interior do material.

Em condições ideais de CCLC:

• a barreira de contato deve ser pequena.
• a injeção de portadores deve ser eficiente.
• e a densidade de portadores injetados deve ser significativamente superior à densidade de portadores em equilíbrio.

Caso estas condições não sejam cumpridas, o dispositivo passa a operar num regime com injeção limitada.

Esta distinção é extremamente importante do ponto de vista experimental, pois um contacto não óhmico pode gerar curvas corrente-tensão que, à primeira vista, se assemelham ao comportamento de uma camada condutora, mas que, na realidade, são dominadas pela física do contacto.

Corrente de difusão insignificante.

A dedução de Mott–Gurney parte do princípio de que o transporte de portadores é dominado exclusivamente pela corrente de deriva. A contribuição da difusão é desconsiderada.

A equação completa de deriva-difusão é:

$$ J = q\mu nE + qD\frac{dn}{dx} $$

onde:

• \(q\mu nE\) é a corrente de deriva.
• e \(qD\frac{dn}{dx}\) é a corrente de difusão.

A aproximação de Mott–Gurney parte do princípio de que:

$$ qD\frac{dn}{dx} \ll q\mu nE $$

Esta aproximação é geralmente razoável em campos elétricos elevados e em concentrações elevadas de portadores injetados, onde o transporte induzido pelo campo elétrico é o fator dominante. No entanto, em baixas tensões ou em condições próximas do equilíbrio, a difusão pode tornar-se importante e a aproximação ideal do SCLC torna-se menos precisa.

Em semicondutores com baixa mobilidade e forte desordem, a difusão e o relaxamento energético podem modificar significativamente a distribuição interna de portadores de carga.

Mobilidade uniforme

A dedução clássica de Mott–Gurney parte do princípio de que a mobilidade dos portadores de carga é espacialmente uniforme e independente do campo elétrico.

Em muitos materiais reais, esta premissa não é válida. Os semicondutores orgânicos apresentam, geralmente, uma mobilidade que varia em função do campo elétrico:

$$ \mu(E) = \mu_0 \exp(\gamma\sqrt{E}) $$

onde \(\gamma\) é o coeficiente de Poole–Frenkel.

Esta dependência do campo elétrico surge porque a desordem energética modifica as taxas de transição dos portadores de carga entre os estados localizados. À medida que o campo elétrico aumenta, o transporte por salto torna-se mais eficiente e a mobilidade aparente aumenta.

Nestes casos, a relação entre corrente e tensão desvia-se do comportamento quadrático simples previsto pela equação ideal de Mott-Gurney.

Recombinação insignificante.

A equação de Mott–Gurney parte do princípio de que a recombinação é insignificante. Esta premissa é geralmente válida em dispositivos de transporte de carga única, devidamente concebidos, porque apenas um tipo de portador de carga é intencionalmente injetado.

No entanto, se existirem portadores minoritários, os processos de recombinação podem ser os seguintes:

• Recombinação de Shockley–Read–Hall,
• Recombinação de Langevin.
• ou recombinação bimolecular

pode modificar a distribuição da densidade de portadores e invalidar a derivação ideal do modelo SCLC.

Identificação experimental do verdadeiro CCLC (carcinoma de pequenas células).

Na prática, o regime de corrente-tensão em dispositivos SCLC é geralmente identificado pela inclinação da curva corrente-tensão num gráfico logarítmico em ambos os eixos.

No regime ôhmico:

$$ J \propto V $$

e a inclinação é de aproximadamente 1.

Em condições ideais, sem a presença de armadilhas, no caso do carcinoma de pequenas células:

$$ J \propto V^2 $$

e a inclinação aproxima-se de 2.

O transporte limitado por armadilhas produz frequentemente declives superiores a 2, enquanto o transporte limitado por injeção pode gerar um comportamento mais complexo.

É, portanto, necessária uma interpretação cuidadosa. Uma simples relação quadrática entre a corrente e a voltagem não é uma prova suficiente de que o transporte ideal de Mott-Gurney está a ocorrer.

Relação com a simulação de deriva-difusão

As ferramentas modernas de simulação de deriva e difusão, como o OghmaNano, resolvem numericamente as equações de Poisson, de continuidade e de transporte, que estão interligadas. Isso permite incluir explicitamente efeitos não ideais realistas, incluindo:

• distribuições de armadilhas,
• mobilidade dependente do campo,
• recombinação de portadores,
• contatos não óhmicos,
• e campos elétricos que variam no espaço.

Como resultado, a simulação numérica oferece, muitas vezes, uma descrição mais precisa dos dispositivos reais de células solares de contacto em superfície do que a teoria analítica ideal isoladamente.