Herleitung der Gleichungen für die optischen Moden

Optische Moden sind die zulässigen Verteilungen des elektromagnetischen Feldes, die sich durch eine photonische Struktur ausbreiten können. Diese Moden ergeben sich auf natürliche Weise aus den Lösungen der Maxwell-Gleichungen in Verbindung mit den durch die Brechungsindexverteilung vorgegebenen Randbedingungen des Materials.

Auf dieser Seite werden die für die Simulation von Lichtwellenleitern und photonischen Systemen verwendeten Gleichungen für die optischen Moden hergeleitet. Dabei wird ausgehend von den Maxwell-Gleichungen zunächst das finite-Differenzen-Matrix-Eigenwertproblem formuliert, das anschließend numerisch mit dem Solver für optische Moden gelöst wird.

Maxwells Gleichungen

In quellenfreien, nichtmagnetischen dielektrischen Materialien können die Maxwell-Gleichungen wie folgt formuliert werden:

\[ \nabla \cdot \mathbf{D}=0 \]

\[ \nabla \cdot \mathbf{B}=0 \]

\[ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \]

\[ \nabla \times \mathbf{H} = \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \]

Für isotrope dielektrische Materialien:

\[ \mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E} \]

\[ \mathbf{B}=\mu \mathbf{H} \]

Unter der Annahme einer harmonischen zeitlichen Abhängigkeit:

\[ e^{-i\omega t} \]

die Gleichungen für die Krümmung lauten dann:

\[ \nabla \times \mathbf{E} = i\omega\mu \mathbf{H} \]

\[ \nabla \times \mathbf{H} = -i\omega\epsilon \mathbf{E} \]

Herleitung der Wellengleichung

Wenn man die Rotation der Faraday’schen Gesetzformel berechnet, erhält man:

\[ \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{E} \right) = i\omega\mu \left( \nabla \times \mathbf{H} \right) \]

Das Ampèresche Gesetz einsetzen:

\[ \nabla \times \left( \nabla \times \mathbf{E} \right) = \omega^2\mu\epsilon\mathbf{E} \]

Unter Verwendung der Vektoridentität:

\[ \nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E} \]

wobei von verlustfreien dielektrischen Materialien ausgegangen wird:

\[ \nabla\cdot\mathbf{E}\approx0 \]

liefert die Vektor-Helmholtz-Gleichung:

\[ \nabla^2\mathbf{E} + k_0^2 n^2 \mathbf{E} = 0 \]

wo:

\[ k_0=\frac{2\pi}{\lambda} \]

ist der Wellenvektor im freien Raum und:

\[ n^2=\frac{\epsilon}{\epsilon_0} \]

ist die Verteilung des Brechungsindex.

Ansatz für einen geführten Modus

Es wird davon ausgegangen, dass sich die optischen Moden, die sich entlang der Längsrichtung \(z\) ausbreiten, in folgender Form darstellen lassen:

\[ \mathbf{E}(x,y,z) = \mathbf{E}(x,y)e^{i\beta z} \]

wo:

• \( \mathbf{E}(x,y) \) ist das Quermodensignal.
• \( \beta \) ist die Ausbreitungskonstante.

Setzt man diese Form in die Helmholtz-Gleichung ein, so erhält man:

\[ \nabla_\perp^2\mathbf{E} + \left( k_0^2n^2-\beta^2 \right)\mathbf{E} = 0 \]

Diese Gleichung definiert ein Eigenwertproblem, bei dem die zulässigen Werte von \( \beta \) den in der Struktur vorhandenen optischen Moden entsprechen.

Effektiver Brechungsindex

Die Ausbreitungskonstante wird häufig mithilfe des effektiven Brechungsindex ausgedrückt:

\[ n_{\mathrm{eff}} = \frac{\beta}{k_0} \]

Der effektive Brechungsindex bietet ein praktisches Maß für die optische Einschränkung. Moden mit einem größeren \(n_{\mathrm{eff}}\)-Wert werden in der Regel stärker in Bereichen mit hohem Brechungsindex eingeschränkt.

Transversal-elektrische (TE-)Moden

Für TE-Polarisation ist das elektrische Feld senkrecht zur Ausbreitungsebene ausgerichtet. Die zugehörige Gleichung vereinfacht sich zu:

\[ \nabla_\perp^2 E + \left( k_0^2 n^2 - \beta^2 \right)E = 0 \]

Diese skalare Helmholtz-Gleichung wird häufig zur Berechnung optischer Moden in planaren Lichtleitern und mehrschichtigen dielektrischen Strukturen verwendet.

Transversale magnetische (TM-)Moden

Bei TM-Polarisation ist das Magnetfeld senkrecht zur Ausbreitungsebene angeordnet. Die räumliche Veränderung der dielektrischen Funktion verändert die zugrunde liegende Gleichung:

\[ \nabla_\perp \cdot \left( \frac{1}{n^2} \nabla_\perp H \right) + \left( k_0^2 - \frac{\beta^2}{n^2} \right)H = 0 \]

TM-Moden reagieren im Allgemeinen empfindlicher auf Änderungen des Brechungsindex und sind besonders wichtig in plasmonischen Systemen und Systemen mit hohem Brechungsindexkontrast.

Finite-Differenzen-Diskretisierung

Analytische Lösungen sind nur für relativ einfache Strukturen verfügbar. Die meisten realen photonischen Bauelemente erfordern daher numerische Methoden.

Der Solver für die optischen Moden diskretisiert die transversalen Differentialoperatoren mithilfe von Finite-Differenzen-Approximationen auf einem rechteckigen Gitter.

Beispielsweise kann die zweite Ableitung in Richtung \(y\) wie folgt angenähert werden:

\[ \frac{\partial^2E}{\partial y^2} \approx \frac{ E_{y-1} - 2E_y + E_{y+1} }{ \Delta y^2 } \]

Entsprechende Ausdrücke werden für die \(x\)-Richtung erstellt. Bei nichtuniformen Gittern werden lokale linke und rechte Gitterabstände verwendet, um asymmetrische Finite-Differenzen-Koeffizienten zu erstellen.

Eigenwertproblem einer Matrix

Nach der Diskretisierung werden die Gleichungen für die optischen Moden zu einem dünnbesetzten Eigenwertproblem:

\[ A\psi = \beta^2\psi \]

wo:

• \(A\) enthält die Terme für die Finite-Differenzen-Laplace-Gleichung und den Brechungsindex.
• \( \psi \) stellt das diskretisierte optische Feld dar.
• \( \beta^2 \) ist der Eigenwert.

Die spärliche Matrixstruktur entsteht, weil jeder Knotenpunkt des Netzes nur mit den benachbarten Knotenpunkten im Rahmen des Finite-Differenzen-Schemas verbunden ist.

Physikalische Interpretation

Die resultierenden Eigenvektoren entsprechen den unterstützten optischen Moden der photonischen Struktur, während die Eigenwerte deren effektive Brechungsindizes bestimmen.

Verschiedene Eigenmoden stellen unterschiedliche Feldverteilungen und Einschlusscharakteristiken innerhalb des Bauelements dar. Einige Moden bleiben stark lokalisiert, während andere Energie in die umgebenden Schichten abgeben oder in den freien Raum abstrahlen.