Conditions de validité de l’équation de Mott-Gurney

L’équation de Mott-Gurney est l’une des expressions analytiques les plus utilisées en physique des dispositifs à semi-conducteurs. Elle décrit la densité de courant dans un dispositif à courant limité par l’espace de charge, dépourvu de pièges :

$$ J = \frac{9}{8}\varepsilon\mu\frac{V^2}{L^3} $$

où \(J\) représente la densité de courant, \(\varepsilon\) la permittivité diélectrique, \(\mu\) la mobilité des porteurs de charge, \(V\) la tension appliquée et \(L\) l’épaisseur du dispositif.

Bien que cette équation soit fréquemment utilisée pour déterminer la mobilité des porteurs de charge à partir de mesures expérimentales de courant en fonction de la tension, sa dérivation repose sur plusieurs hypothèses physiques importantes. Les dispositifs semi-conducteurs réels ne respectent souvent pas une ou plusieurs de ces hypothèses, en particulier dans le cas des semi-conducteurs organiques désordonnés, des pérovskites, des OLED et des matériaux à faible mobilité.

Par conséquent, il est important de comprendre non seulement comment l’équation de Mott-Gurney est établie, mais aussi les conditions physiques dans lesquelles elle reste valide. Le fait de ne pas tenir compte de ces conditions peut entraîner des erreurs importantes lors de l’interprétation des mesures expérimentales de la couche conductrice semi-cristalline (SCLC).

Transport sans pièges.

L’équation classique de Mott-Gurney suppose que tous les porteurs injectés restent mobiles. En d’autres termes, on suppose que le semi-conducteur ne contient pas de pièges.

Dans de nombreux semi-conducteurs réels, les porteurs de charge peuvent toutefois se retrouver piégés dans des états localisés associés à :

• trouble structurel,
• impuretés,
• défauts,
• limites de grains,
• ou trouble énergétique.

Les porteurs piégés contribuent toujours à la charge spatiale à l’intérieur du dispositif, mais ne contribuent pas de manière efficace à la conduction électrique. Par conséquent, la dépendance de la tension par rapport au courant s’écarte du comportement quadratique idéal prévu par l’équation de Mott-Gurney.

Au lieu de :

$$ J \propto V^2 $$

le carcinome à petites cellules pulmonaires, dont la progression est limitée par le traitement, est souvent suivi de :

$$ J \propto V^m $$

avec :

$$ m > 2 $$

La présence de pièges est donc l’une des principales limites de la théorie idéale du modèle SCLC.

Transport par un seul opérateur.

La dérivation de l’équation de Mott-Gurney suppose qu’une seule espèce de porteurs de charge contribue de manière significative au transport. Cela signifie que le dispositif doit se comporter comme l’un des éléments suivants :

• un appareil qui ne comporte qu’un seul orifice, ou
• un appareil fonctionnant uniquement avec des électrons.

Dans les expériences pratiques sur les cellules solaires à couches minces, cette condition est obtenue en ajustant avec précision les caractéristiques énergétiques du contact, de manière à ce qu’un type de porteur de charge soit injecté efficacement, tandis que l’autre type de porteur de charge est bloqué.

Si les électrons et les trous sont injectés simultanément dans le dispositif, les processus de recombinaison deviennent importants et les hypothèses sur lesquelles repose la dérivation de Mott-Gurney ne sont plus valables. Le courant résultant ne peut plus être décrit à l’aide d’un simple modèle SCLC à porteur unique.

C’est l’une des raisons pour lesquelles les dispositifs photovoltaïques classiques ne sont généralement pas adaptés à une analyse idéale des structures SCLC. Les cellules solaires sont conçues de manière à favoriser le transport bipolaire et la séparation des charges, tandis que les dispositifs SCLC sont délibérément conçus pour supprimer un type de porteur de charge.

Contacts ohmiques et barrières d’injection

Une autre hypothèse essentielle de l’équation de Mott-Gurney est que les contacts injectent efficacement les porteurs de charge dans le semi-conducteur. Cela implique des conditions d’injection approximativement ohmiques.

Si une barrière d’injection importante est présente à l’interface métal-semiconducteur, le courant est alors limité par l’injection de porteurs plutôt que par la charge d’espace à l’intérieur du matériau.

Dans des conditions idéales pour le cancer du poumon à petites cellules :

• la barrière de contact doit être faible.
• l’injection de porteurs doit être efficace.
• et la concentration des porteurs injectés doit être nettement supérieure à la concentration des porteurs à l’équilibre.

Si ces conditions ne sont pas remplies, l’appareil passe alors à un mode de fonctionnement limité par l’injection.

Cette distinction est d’une importance capitale sur le plan expérimental, car un contact non ohmique peut générer des courbes courant-tension qui ressemblent superficiellement au comportement d’un dispositif à transport limité par la capacité, alors qu’en réalité, il est régi par les phénomènes physiques qui se produisent au niveau du contact.

Courant de diffusion négligeable.

La dérivation de Mott-Gurney part du principe que le transport des porteurs est entièrement dominé par le courant de dérive. La contribution due à la diffusion est négligée.

L’équation complète de dérive-diffusion est la suivante :

$$ J = q\mu nE + qD\frac{dn}{dx} $$

où :

• \(q\mu nE\) représente le courant de dérive.
• et \(qD\frac{dn}{dx}\) représente le courant de diffusion.

L’approximation de Mott-Gurney repose sur les hypothèses suivantes :

$$ qD\frac{dn}{dx} \ll q\mu nE $$

Cette approximation est généralement valable dans les cas de champs électriques élevés et de fortes concentrations de porteurs injectés, où le transport est principalement régi par le champ électrique. Toutefois, à basse tension ou dans des conditions proches de l’équilibre, la diffusion peut devenir un facteur important, et l’approximation idéale du modèle SCLC devient moins précise.

Dans les semi-conducteurs à faible mobilité et présentant un désordre important, la diffusion et la relaxation énergétique peuvent modifier considérablement la distribution interne des porteurs de charge.

Mobilité uniforme

La dérivation classique de Mott-Gurney suppose que la mobilité des porteurs de charge est uniforme dans l’espace et indépendante du champ électrique.

Dans de nombreux matériaux réels, cette hypothèse ne se vérifie pas. Les semi-conducteurs organiques présentent généralement une mobilité qui dépend du champ électrique :

$$ \mu(E) = \mu_0 \exp(\gamma\sqrt{E}) $$

où \(\gamma\) est le coefficient de Poole-Frenkel.

Cette dépendance au champ électrique est due au fait que le désordre énergétique modifie les taux de saut des porteurs entre les états localisés. À mesure que le champ électrique augmente, le transport par saut devient plus efficace et la mobilité apparente augmente.

Dans ces conditions, la relation entre le courant et la tension s’écarte du comportement quadratique simple prévu par l’équation idéale de Mott-Gurney.

Recombinaison négligeable.

L’équation de Mott-Gurney part du principe que la recombinaison est négligeable. Cette hypothèse est généralement valable dans les dispositifs à un seul type de porteur, lorsqu’ils sont conçus de manière appropriée, car un seul type de porteur est injecté intentionnellement.

Cependant, si des porteurs minoritaires sont présents, des processus de recombinaison tels que :

• Recombinaison de Shockley-Read-Hall,
• Recombinaison de Langevin,
• ou recombinaison bimoléculaire

peut modifier la distribution de la densité des porteurs de charge et invalider le modèle idéal de la dérivation SCLC.

Identifier expérimentalement le véritable carcinome à petites cellules pulmonaires.

Sur le plan expérimental, le régime de la couche conductrice semi-cristalline est généralement identifié à partir de la pente de la courbe courant-tension représentée sur un graphique à double échelle logarithmique.

Dans le régime ohmique :

$$ J \propto V $$

et la pente est d’environ 1.

Dans le cas idéal d’un carcinome à petites cellules pulmonaires sans présence de pièges :

$$ J \propto V^2 $$

et la pente se rapproche de 2.

Le transport limité par les pièges produit fréquemment des pentes supérieures à 2, tandis que le transport limité par l’injection peut entraîner un comportement plus complexe.

Une interprétation minutieuse est donc nécessaire. Une simple relation quadratique entre le courant et la tension ne constitue pas une preuve suffisante de la présence d’un transport idéal de type Mott-Gurney.

Lien avec la simulation par la méthode de dérive-diffusion.

Les outils de simulation modernes basés sur les modèles de dérive-diffusion, tels qu’OghmaNano, résolvent numériquement les équations de Poisson, de continuité et de transport, qui sont couplées. Cela permet d’intégrer explicitement des effets non idéaux réalistes, notamment :

• répartition des pièges,
• mobilité dépendant du champ,
• recombinaison des porteurs de charge,
• contacts non ohmiques,
• et des champs électriques dont l’intensité varie dans l’espace.

Par conséquent, la simulation numérique permet souvent d’obtenir une description plus précise des dispositifs SCLC réels que ne le ferait une simple théorie analytique idéale.