Poços Quânticos e Confinamento de Portadores de Carga
O que é um poço quântico?
Um poço quântico é uma região do espaço onde a energia potencial diminui em relação à energia do ambiente circundante, criando uma barreira de energia que pode aprisionar uma partícula, como um eletrão. Quando a largura do poço se torna comparável ao comprimento de onda do eletrão, os efeitos da mecânica quântica tornam-se particularmente importantes.
Um poço quântico típico é ilustrado em ??. Em dispositivos semicondutores, essas estruturas podem ser criadas através do crescimento de uma camada fina de um material entre dois materiais com diferentes níveis de energia da banda de condução. Um exemplo comum é um poço quântico de GaAs rodeado por barreiras de AlGaAs.
Descrevendo um poço quântico com a equação de Schrödinger
Quando a largura de um poço de potencial se torna comparável ao comprimento de onda de um eletrão, já não podemos descrever adequadamente o eletrão como uma partícula clássica com uma posição definida. Em vez disso, devemos descrever o seu comportamento ondulatório e a probabilidade de o encontrarmos em diferentes posições dentro do poço.
Para isso, resolvemos a equação de Schrödinger independente do tempo:
\[ \hat H\psi(x)=E\psi(x). \]
Aqui, \(\psi(x)\) representa a função de onda do eletrão, \(E\) representa a sua energia e \(\hat H\) representa o Hamiltoniano, que descreve a energia cinética e potencial do eletrão. A densidade de probabilidade de encontrar o eletrão numa posição específica é dada por \(|\psi(x)|^2\).
Para um poço quântico unidimensional simples, a equação de Schrödinger pode ser escrita da seguinte forma:
\[ \boxed{ -\frac{\hbar^2}{2m^*} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} +V(x)\psi(x) =E\psi(x). } \]
Embora esta equação possa parecer complexa à primeira vista, cada um dos seus termos possui um significado físico simples e direto:
- \(V(x)\) descreve o perfil da energia potencial do poço, incluindo as barreiras circundantes.
- \(\psi(x)\) é a função de onda que descreve o eletrão. O quadrado de sua magnitude fornece a densidade de probabilidade de encontrar o eletrão na posição \(x\).
- \(E\) é a energia associada a esse estado quântico específico.
- \(m^*\) é a massa efetiva do eletrão, que descreve a sua resposta às forças no interior do semicondutor. O primeiro termo representa a sua energia cinética.
Ao fornecer o perfil potencial \(V(x)\) e resolver esta equação, obtemos as energias eletrónicas permitidas e as respetivas funções de onda. Estes são precisamente os resultados ilustrados em ??: os níveis de energia horizontais e as funções de onda coloridas associadas a cada estado. Na secção seguinte, veremos como estas soluções podem ser calculadas para um poço quântico simples.
Qual o Significado Prático Desta Equação?
Uma forma intuitiva de compreender as soluções da equação de Schrödinger é considerar uma corda de violino fixada em ambas as extremidades. Essa corda pode vibrar em um conjunto discreto de harmónicos. O harmónico fundamental tem um único pico, enquanto os harmónicos superiores têm picos e nós adicionais. Cada harmónico tem a sua própria frequência característica.
Um princípio semelhante se aplica a um eletrão confinado dentro de um poço quântico. As dimensões do poço restringem o eletrão a um conjunto específico de funções de onda permitidas, cada uma associada a uma energia específica. Assim como a corda de um violino possui uma harmónica fundamental e harmónicas superiores, o poço quântico possui um estado de menor energia e uma série de estados de energia mais elevada.
Os três primeiros desses estados estão ilustrados em ??. As linhas horizontais tracejadas indicam as energias permitidas \(E_1\), \(E_2\) e \(E_3\), enquanto as curvas coloridas mostram as respetivas funções de onda. O estado de menor energia tem a forma mais simples, enquanto os estados de maior energia apresentam padrões de onda progressivamente mais complexos.
Mas o que é que estas funções de onda realmente nos dizem? Ao contrário do deslocamento de uma corda de violino vibrante, a função de onda de um eletrão tem uma interpretação probabilística. O quadrado da sua magnitude fornece a densidade de probabilidade de encontrar o eletrão numa posição específica:
\[ \boxed{ P(x)=|\psi(x)|^2 } \]
Por exemplo, um eletrão que ocupa o estado de menor energia tem maior probabilidade de ser encontrado perto do centro do poço de potencial. Os estados de energia mais elevada apresentam distribuições de probabilidade mais complexas, com vários picos separados por nós, onde a probabilidade se reduz a zero. Note-se também que as funções de onda se estendem ligeiramente para as barreiras circundantes, o que significa que existe uma pequena probabilidade de encontrar o eletrão fora do próprio poço de potencial.
Dessa forma, resolver a equação de Schrödinger revela-nos duas informações importantes: quais os níveis de energia que um eletrão pode ocupar e a distribuição de probabilidade associada a cada um desses níveis.
Uma Solução Simples: o Poço Quântico Infinito
Vamos agora tentar calcular as funções de onda de um poço quântico. Para simplificar os cálculos, começaremos por imaginar que as barreiras que envolvem o poço têm altura infinita. Isso significa que o eletrão não pode existir fora do poço e que a sua função de onda deve tender para zero em ambas as extremidades.
Consideraremos um poço de largura \(L\), que se estende de \(x=0\) a \(x=L\). Dentro do poço, definimos a energia potencial como zero, ou seja, \(V(x)=0\). Começando com a equação de Schrödinger:
\[ -\frac{\hbar^2}{2m^*} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} +V(x)\psi(x) =E\psi(x), \]
podemos eliminar o termo da energia potencial, obtendo:
\[ -\frac{\hbar^2}{2m^*} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} =E\psi(x). \]
Agora, precisamos encontrar uma função de onda que satisfaça esta equação. Um bom ponto de partida é tentar uma solução sinusoidal:
\[ \psi(x)=A\sin(kx). \]
Aqui, \(A\) determina a amplitude da função de onda, enquanto \(k\) descreve a rapidez com que ela oscila em função da posição. Um valor maior de \(k\) significa um comprimento de onda mais curto, o que permite que um maior número de oscilações ocorra em uma determinada distância.
Podemos verificar se esta é uma solução válida derivando-a duas vezes:
\[ \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} =-k^2A\sin(kx) =-k^2\psi(x). \]
Note que derivar a função que estimámos duas vezes resulta simplesmente na função original multiplicada por uma constante. Este é precisamente o comportamento matemático exigido pela equação de Schrödinger no interior do poço de potencial.
Ao substituir a nossa estimativa na equação, confirmamos que uma função de onda sinusoidal é uma solução válida, desde que a energia associada satisfaça a seguinte condição:
\[ E=\frac{\hbar^2k^2}{2m^*}. \]
Voltaremos a falar sobre energia em breve. No entanto, antes disso, surge uma questão mais interessante: qual destas soluções senoidais pode realmente existir no interior do nosso poço quântico?
Quais comprimentos de onda podem existir dentro do poço?
Embora tenhamos encontrado uma solução senoidal para a equação de Schrödinger, nem todas as funções senoidais podem existir fisicamente dentro do poço de potencial. Lembre-se de que as nossas barreiras têm altura infinita, pelo que a função de onda deve ser nula em ambas as extremidades.
Isto é muito semelhante ao comportamento de uma corda de violino. Como ilustrado em ??, uma corda fixada em ambas as extremidades pode vibrar em um conjunto específico de harmónicos. O harmónico fundamental tem um único pico, o segundo tem dois picos, o terceiro tem três, e assim sucessivamente. Cada harmónico satisfaz o requisito de que o deslocamento da corda seja zero em ambas as extremidades.
A mesma restrição matemática aplica-se ao nosso poço quântico infinito. As funções de onda permitidas devem ajustar-se entre \(x=0\) e \(x=L\), tendo um valor de zero em cada limite.
A nossa função de onda senoidal hipotética já satisfaz a primeira condição de contorno, uma vez que \(\sin(0)=0\). Para satisfazer a segunda condição de contorno, é necessário que:
\[ \psi(L)=A\sin(kL)=0. \]
Uma função seno é igual a zero sempre que o seu argumento é um múltiplo inteiro de \(\pi\). Portanto, os únicos valores permitidos são:
\[ kL=n\pi, \qquad n=1,2,3,\ldots \]
Reorganizando esta expressão, obtemos:
\[ \boxed{ k_n=\frac{n\pi}{L}, \qquad n=1,2,3,\ldots } \]
Descobrimos, portanto, algo importante: embora a equação de Schrödinger admita soluções senoidais, os limites do poço de potencial restringem-nas a um conjunto específico de comprimentos de onda. Estes são diretamente análogos aos harmónicos da corda do nosso violino.
Podemos escrever as funções de onda correspondentes da seguinte forma:
\[ \boxed{ \psi_n(x)= \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \qquad 0 \lt x \lt L } \]
O fator que precede a função seno serve simplesmente para normalizar a função de onda, garantindo que a probabilidade total de encontrar o eletrão em algum ponto dentro do poço de potencial seja igual a um. Cada valor de \(n\) fornece-nos uma distribuição de probabilidade diferente e permitida.
Cálculo dos Níveis de Energia
Agora que compreendemos quais as funções de onda que podem existir no interior do poço quântico, podemos voltar a analisar as suas energias.
Existe uma relação interessante com a analogia que utilizamos para explicar o violino. As harmónicas mais agudas de uma corda de violino têm frequências progressivamente mais elevadas. Da mesma forma, os estados de energia mais elevados de um poço quântico correspondem a energias eletrónicas progressivamente mais elevadas.
Podemos calcular estas energias utilizando a relação obtida anteriormente, quando substituímos a nossa solução senoidal na equação de Schrödinger:
\[ E=\frac{\hbar^2k^2}{2m^*}. \]
Já estabelecemos que apenas determinados valores de \(k\) são permitidos:
\[ k_n=\frac{n\pi}{L}. \]
Ao substituir este valor na expressão da energia, obtemos:
\[ E_n= \frac{\hbar^2}{2m^*} \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2. \]
Reorganizando a equação, obtemos o resultado conhecido para os níveis de energia permitidos de um poço quântico infinito:
\[ \boxed{ E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2m^*L^2} } \]
Este resultado indica que a energia aumenta com o quadrado do número do estado \(n\). Em outras palavras, o segundo estado tem uma energia quatro vezes maior do que o primeiro, enquanto o terceiro tem uma energia nove vezes maior.
Além disso, revela algo particularmente útil para a engenharia de semicondutores: uma vez que a energia depende de \(1/L^2\), podemos aumentar a energia de confinamento simplesmente estreitando o poço quântico. A massa efetiva do eletrão também é importante, sendo que uma massa efetiva menor produz níveis de energia mais elevados para um poço que, de resto, é idêntico.
Por exemplo, um poço de potencial infinito com uma largura de \(12\,\mathrm{nm}\) e uma massa efetiva do eletrão de \(m^*=0.067m_0\) tem uma energia mínima de aproximadamente \(39\,\mathrm{meV}\). As três primeiras energias permitidas são, portanto:
\[ E_1\approx39\,\mathrm{meV}, \qquad E_2=4E_1, \qquad E_3=9E_1. \]
Calculámos agora tanto as funções de onda permitidas como as respetivas energias associadas. No entanto, a nossa suposição de barreiras infinitamente altas é uma simplificação matemática. Para descrever o poço quântico mais realista apresentado em ??, precisamos agora considerar o que acontece quando as barreiras têm uma altura finita.
O que acontece quando as barreiras não são infinitas?
Num poço quântico semicondutor real, as barreiras circundantes têm uma altura finita. Isso introduz uma diferença importante: a função de onda do eletrão não precisa necessariamente tender para zero nas extremidades do poço. Em vez disso, pode estender-se por uma curta distância para o material circundante, mesmo quando a energia do eletrão está abaixo da altura da barreira.
Podemos descrever isto utilizando a mesma equação de Schrödinger, mas agora precisamos considerar duas regiões distintas: o poço em si, onde \(V(x)=0\), e as barreiras circundantes, onde \(V(x)=V_0\). Para um poço centrado em \(x=0\), o potencial é:
\[ V(x)= \begin{cases} 0, & \lvert x\rvert \lt \dfrac{L}{2}, \\[6pt] V_0, & \lvert x\rvert \geq \dfrac{L}{2}. \end{cases} \]
Let us consider an electron with an energy below the barrier
height, so that \(0 A diferença fundamental é que a função de onda passa a comportar-se de forma diferente nas duas regiões. No interior do poço de potencial, continua a oscilar, tal como no exemplo do poço de potencial infinito que utilizamos. No entanto, no interior das barreiras, a sua amplitude diminui exponencialmente, em vez de decair imediatamente para zero. Isto acontece porque a equação de Schrödinger se altera quando a energia potencial se torna superior à energia do eletrão. A taxa com que a função de onda diminui ao atravessar as barreiras é descrita por:
\[
\boxed{
\kappa =
\frac{\sqrt{2m^{*}(V_0-E)}}{\hbar}
}
\]
Para calcular os níveis de energia permitidos, devemos encontrar soluções nas quais a função de onda oscilatória no interior do poço se conecta de forma suave à função de onda que decai exponencialmente nas barreiras. Normalmente, isso é feito numericamente. O resultado é ilustrado em ??. Observe como as funções de onda coloridas se estendem para além das bordas do poço de potencial. Uma vez que o quadrado da função de onda representa a densidade de probabilidade, isso significa que existe uma pequena probabilidade de encontrar o eletrão nas barreiras circundantes. Uma vez que o eletrão está, na prática, confinado numa região ligeiramente maior, os seus níveis de energia são geralmente inferiores aos previstos pela aproximação do poço infinito. Além disso, um poço finito só pode suportar um número finito de estados ligados. A fórmula simples do poço infinito é útil para compreender o confinamento, mas um dispositivo realista geralmente requer que as suas camadas de material, os desfasamentos de banda, as massas efetivas e os campos elétricos reais sejam incluídos no cálculo. A OghmaNano oferece vários níveis de modelação de poços quânticos, dependendo de quais os efeitos que são importantes: 🧪 Experimente isto no OghmaNano:
Analise cuidadosamente.
Tutorial sobre poços quânticos parabólicos de GaAs/AlGaAs
para calcular os estados confinados de eletrões e lacunas, os níveis de energia e as funções de onda, utilizando os conceitos desenvolvidos anteriormente.
Para modelos mais avançados, consulte:
solucionador de estrutura de bandas k·p, poço quântico e mobilidade.
Os autovalores e as funções de onda resultantes podem então ser utilizados em cálculos subsequentes de transições óticas, ganho e dispersão de portadores. Uma introdução prática é fornecida pelo tutorial sobre poços quânticos parabólicos de GaAs/AlGaAs. Cálculos mais avançados, incluindo o método multibanda k·p, poços quânticos de silício/SiGe, espectros óticos e mobilidade de portadores, estão reunidos em solucionador de estrutura de bandas k·p, poços quânticos e mobilidade. Uma das propriedades mais úteis de um poço quântico é que podemos controlar os níveis de energia dos eletrões e das lacunas simplesmente alterando a largura do poço. Reduzir a largura do poço geralmente aumenta a separação entre os níveis de energia confinados, enquanto aumentar a largura os aproxima. Isso oferece-nos uma forma de controlar as propriedades eletrónicas e óticas de um material sem necessariamente alterar a sua composição química. Os poços quânticos são particularmente importantes em dispositivos semicondutores, pois permitem controlar a localização dos portadores de carga e as transições de energia disponíveis para eles. As aplicações incluem: A ideia fundamental é que uma barreira quântica nos permite conceber níveis de energia eletrónicos através da geometria de uma estrutura. Para compreendermos como estes níveis se formam, precisamos de resolver a equação de Schrödinger para uma partícula confinada no interior da barreira.Cálculo de poços quânticos no OghmaNano
Por que as Heteroestruturas Quânticas são tão Interessantes?