Cuantos de potencial y confinamiento de portadores de carga.
¿Qué es un pozo cuántico?
Un pozo cuántico es una región del espacio en la que la energía potencial disminuye por debajo de la energía de su entorno, creando una barrera de energía que puede atrapar una partícula, como un electrón. Cuando el ancho del pozo se vuelve comparable a la longitud de onda del electrón, los efectos de la mecánica cuántica se vuelven especialmente importantes.
Un ejemplo típico de pozo cuántico se muestra en ??. En los dispositivos semiconductores, estas estructuras se pueden crear cultivando una capa delgada de un material entre dos materiales con diferentes bordes de banda electrónica. Un ejemplo común es un pozo cuántico de GaAs rodeado por barreras de AlGaAs.
Descripción de un pozo cuántico mediante la ecuación de Schrödinger
Cuando el ancho de un pozo de potencial se vuelve comparable a la longitud de onda de un electrón, ya no podemos describir adecuadamente al electrón como una partícula clásica con una posición definida. En cambio, debemos describir su comportamiento ondulatorio y la probabilidad de encontrarlo en diferentes posiciones dentro del pozo.
Para ello, resolvemos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:
\[ \hat H\psi(x)=E\psi(x). \]
Aquí, \(\psi(x)\) es la función de onda del electrón, \(E\) es su energía y \(\hat H\) es el hamiltoniano, que describe la energía cinética y potencial del electrón. La densidad de probabilidad de encontrar el electrón en una posición determinada se expresa mediante \(|\psi(x)|^2\).
Para un pozo cuántico unidimensional simple, la ecuación de Schrödinger puede escribirse de la siguiente manera:
\[ \boxed{ -\frac{\hbar^2}{2m^*} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} +V(x)\psi(x) =E\psi(x). } \]
Aunque esta ecuación pueda parecer complicada a primera vista, cada uno de sus términos tiene un significado físico claro y sencillo:
- \(V(x)\) describe el perfil de la energía potencial del pozo, incluyendo las barreras que lo rodean.
- \(\psi(x)\) es la función de onda que describe el electrón. El cuadrado de su magnitud representa la densidad de probabilidad de encontrar el electrón en la posición \(x\).
- \(E\) es la energía asociada a ese estado cuántico en particular.
- \(m^*\) es la masa efectiva del electrón, que describe cómo reacciona a las fuerzas dentro del semiconductor. El primer término representa su energía cinética.
Al proporcionar el perfil potencial \(V(x)\) y resolver esta ecuación, obtenemos las energías permitidas de los electrones y sus correspondientes funciones de onda. Estos son precisamente los resultados que se ilustran en ??: los niveles de energía horizontales y las funciones de onda coloreadas asociadas a cada estado. En la siguiente sección, veremos cómo se pueden calcular estas soluciones para un pozo cuántico simple.
¿Qué significa esta ecuación en la práctica?
Una forma intuitiva de comprender las soluciones de la ecuación de Schrödinger es considerar una cuerda de violín fijada en ambos extremos. Dicha cuerda puede vibrar en un conjunto discreto de armónicos. El armónico fundamental tiene un único pico, mientras que los armónicos superiores tienen picos y nodos adicionales. Cada armónico tiene su propia frecuencia característica.
Un principio similar se aplica a un electrón confinado dentro de un pozo cuántico. Las dimensiones del pozo restringen el electrón a un conjunto específico de funciones de onda permitidas, cada una asociada a una energía determinada. Al igual que la cuerda de un violín tiene una armónica fundamental y armónicas superiores, el pozo cuántico tiene un estado de energía más baja y una serie de estados de energía más alta.
Los tres primeros de estos estados se ilustran en ??. Las líneas horizontales discontinuas indican las energías permitidas \(E_1\), \(E_2\) y \(E_3\), mientras que las curvas de colores muestran sus correspondientes funciones de onda. El estado de menor energía tiene la forma más sencilla, mientras que los estados de mayor energía presentan patrones de onda progresivamente más complejos.
Pero, ¿qué nos dicen realmente estas funciones de onda? A diferencia del desplazamiento de una cuerda de violín que vibra, la función de onda de un electrón tiene una interpretación probabilística. El cuadrado de su magnitud indica la densidad de probabilidad de encontrar el electrón en una posición determinada:
\[ \boxed{ P(x)=|\psi(x)|^2 } \]
Por ejemplo, es más probable que un electrón que ocupa el estado de menor energía se encuentre cerca del centro del pozo. Los estados de mayor energía tienen distribuciones de probabilidad más complejas, con varios picos separados por nodos donde la probabilidad se reduce a cero. Obsérvese también que las funciones de onda se extienden ligeramente hacia las barreras circundantes, lo que significa que existe una pequeña probabilidad de encontrar el electrón fuera del pozo.
Por lo tanto, resolver la ecuación de Schrödinger nos proporciona dos datos importantes: qué niveles de energía puede ocupar un electrón y la distribución de probabilidad asociada a cada uno de esos niveles.
Una solución sencilla: el pozo cuántico infinito.
Intentemos ahora calcular las funciones de onda de un pozo cuántico. Para simplificar las ecuaciones, comenzaremos imaginando que las barreras que rodean el pozo tienen una altura infinita. Esto significa que el electrón no puede existir fuera del pozo, y su función de onda debe anularse en ambos extremos.
Consideraremos un pozo de anchura \(L\), que se extiende desde \(x=0\) hasta \(x=L\). Dentro del pozo, fijaremos la energía potencial a cero, por lo que \(V(x)=0\). Partiendo de la ecuación de Schrödinger:
\[ -\frac{\hbar^2}{2m^*} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} +V(x)\psi(x) =E\psi(x), \]
podemos eliminar el término correspondiente a la energía potencial, quedando:
\[ -\frac{\hbar^2}{2m^*} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} =E\psi(x). \]
Ahora necesitamos encontrar una función de onda que satisfaga esta ecuación. Un buen punto de partida sería proponer una solución sinusoidal:
\[ \psi(x)=A\sin(kx). \]
Aquí, \(A\) determina la amplitud de la función de onda, mientras que \(k\) describe la rapidez con la que oscila en función de la posición. Un valor mayor de \(k\) implica una longitud de onda más corta, por lo que se pueden producir más oscilaciones en una distancia determinada.
Podemos comprobar si esta es una solución válida derivándola dos veces:
\[ \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} =-k^2A\sin(kx) =-k^2\psi(x). \]
Obsérvese que derivar nuestra función estimada dos veces simplemente devuelve la función original multiplicada por una constante. Este es precisamente el comportamiento matemático que exige la ecuación de Schrödinger dentro del pozo de potencial.
Al sustituir nuestra hipótesis en la ecuación, confirmamos que una función de onda sinusoidal es una solución válida, siempre y cuando su energía asociada cumpla con la siguiente condición:
\[ E=\frac{\hbar^2k^2}{2m^*}. \]
Volveremos a hablar de la energía en breve. Pero, antes, hay una pregunta más interesante: ¿cuál de estas soluciones sinusoidales puede existir realmente dentro de nuestro pozo cuántico?
¿Qué longitudes de onda pueden existir dentro del pozo?
Aunque hemos encontrado una solución sinusoidal a la ecuación de Schrödinger, no todas las funciones sinusoidales pueden existir físicamente dentro del pozo de potencial. Recuerden que nuestras barreras son infinitamente altas, por lo que la función de onda debe ser cero en ambos extremos.
Este comportamiento es muy similar al de una cuerda de violín. Como se muestra en ??, una cuerda fijada en ambos extremos puede vibrar en un conjunto específico de armónicos. El armónico fundamental tiene un único pico, el segundo tiene dos picos, el tercero tiene tres, y así sucesivamente. Cada armónico cumple con el requisito de que el desplazamiento de la cuerda es cero en ambos extremos.
La misma restricción matemática se aplica a nuestro pozo cuántico infinito. Las funciones de onda permitidas deben ajustarse entre \(x=0\) y \(x=L\), y su valor debe ser cero en cada límite.
Nuestra función de onda sinusoidal, que hemos obtenido por aproximación, ya cumple con la primera condición de contorno, ya que \(\sin(0)=0\). Para que cumpla con la segunda condición de contorno, necesitamos que se cumpla lo siguiente:
\[ \psi(L)=A\sin(kL)=0. \]
Una función seno es igual a cero siempre que su argumento sea un múltiplo entero de \(\pi\). Por lo tanto, los únicos valores permitidos son:
\[ kL=n\pi, \qquad n=1,2,3,\ldots \]
Si reordenamos esto, obtenemos:
\[ \boxed{ k_n=\frac{n\pi}{L}, \qquad n=1,2,3,\ldots } \]
Por lo tanto, hemos descubierto algo importante: aunque la ecuación de Schrödinger permite soluciones sinusoidales, los límites del pozo las restringen a un conjunto específico de longitudes de onda. Estas son directamente análogas a los armónicos de la cuerda de nuestro violín.
Podemos escribir las funciones de onda correspondientes de la siguiente manera:
\[ \boxed{ \psi_n(x)= \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \qquad 0 \lt x \lt L } \]
El factor que precede a la función seno simplemente normaliza la función de onda, garantizando que la probabilidad total de encontrar el electrón en algún punto dentro del pozo de potencial sea igual a uno. Cada valor de \(n\) nos proporciona una distribución de probabilidad diferente que es posible.
Cálculo de los niveles de energía
Ahora que sabemos qué funciones de onda pueden existir dentro del pozo cuántico, podemos volver a analizar sus energías.
Existe una conexión útil con nuestra analogía del violín. Los armónicos superiores de una cuerda de violín tienen frecuencias cada vez más altas. De manera similar, los estados superiores de un pozo cuántico corresponden a energías electrónicas cada vez más altas.
Podemos calcular estas energías utilizando la relación que obtuvimos anteriormente al sustituir nuestra solución sinusoidal en la ecuación de Schrödinger:
\[ E=\frac{\hbar^2k^2}{2m^*}. \]
Ya hemos establecido que solo se permiten determinados valores de \(k\):
\[ k_n=\frac{n\pi}{L}. \]
Si sustituimos esto en la expresión de la energía, obtenemos:
\[ E_n= \frac{\hbar^2}{2m^*} \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2. \]
Reorganizando la ecuación, obtenemos el resultado conocido para las energías permitidas de un pozo cuántico infinito:
\[ \boxed{ E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2m^*L^2} } \]
Este resultado nos indica que la energía aumenta con el cuadrado del número cuántico \(n\). En otras palabras, el segundo estado tiene cuatro veces más energía que el primero, mientras que el tercero tiene nueve veces más energía.
Además, esto revela algo especialmente útil para la ingeniería de semiconductores: dado que la energía depende de \(1/L^2\), podemos aumentar la energía de confinamiento simplemente reduciendo el ancho del pozo cuántico. La masa efectiva del electrón también es importante; una masa efectiva menor produce niveles de energía más altos en un pozo que, por lo demás, sería idéntico.
Por ejemplo, un pozo infinito con una anchura de \(12\,\mathrm{nm}\) y una masa efectiva del electrón de \(m^*=0.067m_0\) tiene una energía mínima de aproximadamente \(39\,\mathrm{meV}\). Por lo tanto, los tres primeros niveles de energía permitidos son:
\[ E_1\approx39\,\mathrm{meV}, \qquad E_2=4E_1, \qquad E_3=9E_1. \]
Hemos calculado tanto las funciones de onda permitidas como las energías asociadas. Sin embargo, nuestra suposición de barreras infinitamente altas es una simplificación matemática. Para describir el pozo cuántico más realista que se muestra en ??, a continuación debemos considerar qué ocurre cuando las barreras tienen una altura finita.
¿Qué ocurre cuando las barreras no son infinitas?
En una estructura cuántica semiconductora real, las barreras que la rodean tienen una altura finita. Esto introduce una diferencia importante: la función de onda del electrón ya no tiene que anularse en los bordes de la estructura. En cambio, puede extenderse una corta distancia hacia el material circundante, incluso cuando la energía del electrón es inferior a la de la barrera.
Podemos describir esto utilizando la misma ecuación de Schrödinger, pero ahora debemos tener en cuenta dos regiones diferentes: el pozo en sí, donde \(V(x)=0\), y las barreras circundantes, donde \(V(x)=V_0\). Para un pozo centrado en \(x=0\), el potencial es:
\[ V(x)= \begin{cases} 0, & \lvert x\rvert \lt \dfrac{L}{2}, \\[6pt] V_0, & \lvert x\rvert \geq \dfrac{L}{2}. \end{cases} \]
Let us consider an electron with an energy below the barrier
height, so that \(0 La diferencia fundamental es que la función de onda ahora se comporta de manera diferente en las dos regiones. Dentro del pozo, sigue oscilando, tal como lo hacía en nuestro ejemplo de pozo infinito. Sin embargo, dentro de las barreras, su amplitud disminuye exponencialmente en lugar de caer inmediatamente a cero. Esto ocurre porque la ecuación de Schrödinger cambia cuando la energía potencial se vuelve mayor que la energía del electrón. La velocidad a la que la función de onda disminuye al atravesar las barreras se describe mediante:
\[
\boxed{
\kappa =
\frac{\sqrt{2m^{*}(V_0-E)}}{\hbar}
}
\]
Para calcular los niveles de energía permitidos, debemos encontrar las soluciones para las cuales la función de onda oscilante dentro del pozo se une de forma continua a la función de onda que decae exponencialmente en las barreras. Normalmente, esto se hace de forma numérica. El resultado se ilustra en ??. Observe cómo las funciones de onda coloreadas se extienden más allá de los bordes del pozo. Dado que el cuadrado de la función de onda representa la densidad de probabilidad, esto significa que existe una pequeña probabilidad de encontrar el electrón dentro de las barreras circundantes. Dado que el electrón está, en la práctica, confinado en una región ligeramente más amplia, sus niveles de energía suelen ser inferiores a los que predice la aproximación del pozo infinito. Además, un pozo finito solo puede albergar un número finito de estados ligados. La fórmula sencilla del pozo infinito es útil para comprender el confinamiento, pero un dispositivo realista suele requerir que se incluyan en el cálculo sus capas de material reales, los desplazamientos de banda, las masas efectivas y los campos eléctricos. OghmaNano ofrece varios niveles de modelado de pozos cuánticos, según qué efectos sean importantes: 🧪 Prueba esto en OghmaNano:
Repasa/Revisa/Estudia a fondo.
Tutorial sobre pozos cuánticos parabólicos de GaAs/AlGaAs.
para calcular los estados confinados de electrones y huecos, los niveles de energía y las funciones de onda, utilizando las ideas desarrolladas anteriormente.
Para modelos más avanzados, consulte:
Solucionador de la estructura de bandas k·p, de pozos cuánticos y de movilidad..
Los valores propios y las funciones de onda resultantes pueden utilizarse posteriormente en cálculos de transiciones ópticas, ganancia y dispersión de portadores. Se ofrece una introducción práctica en el tutorial sobre pozos cuánticos parabólicos de GaAs/AlGaAs. Los cálculos más avanzados, que incluyen el método multibanda k·p, pozos cuánticos de silicio/SiGe, espectros ópticos y movilidad de portadores, se encuentran en el solucionador de estructura de bandas k·p, pozos cuánticos y movilidad. Una de las propiedades más útiles de un pozo cuántico es que podemos controlar los niveles de energía de los electrones y las huecas simplemente modificando el ancho del pozo. En general, reducir el ancho del pozo aumenta la separación entre los niveles de energía confinados, mientras que aumentar el ancho los acerca. Esto nos proporciona una forma de controlar las propiedades electrónicas y ópticas de un material sin necesidad de modificar necesariamente su composición química. Los pozos cuánticos son especialmente importantes en los dispositivos semiconductores, ya que permiten controlar la ubicación de los portadores de carga y las transiciones energéticas a las que pueden acceder. Entre sus aplicaciones se encuentran: La idea fundamental es que un pozo cuántico nos permite diseñar los niveles de energía electrónicos mediante la geometría de una estructura. Para comprender cómo se originan estos niveles, debemos resolver la ecuación de Schrödinger para una partícula confinada dentro del pozo.Cálculo de pozos cuánticos en OghmaNano
¿Por qué son interesantes los pozos cuánticos?