Comprensión de la teoría k·p: desde las bandas parabólicas hasta los modelos multibanda.

¿Por qué necesitamos otro modelo de estructura de bandas?

En nuestro introducción a las bandas de potencial cuántico parabólicorepresentamos la energía de un electrón mediante una parábola sencilla. Su curvatura se determinaba mediante masa efectivalo que nos permite transformar cada estado cuántico confinado en una subbanda electrónica bidimensional. Esta es una aproximación muy útil, especialmente cerca del extremo inferior de una banda de conducción simple.

No obstante, un semiconductor real contiene varias bandas electrónicas. Estas pueden estar muy próximas entre sí, desviarse de una forma parabólica e interactuar entre ellas. Esto es especialmente importante para las bandas de valencia, donde los estados de agujeros pesados, agujeros ligeros y estados de separación no siempre pueden considerarse como partículas independientes con una única masa.

El método k·p ofrece una forma de describir estos efectos sin tener que recalcular la estructura electrónica a escala atómica para cada vector de onda. Comenzamos con los estados electrónicos en un punto bien conocido de la estructura de bandas del cristal y calculamos cómo cambian a medida que el vector de onda se aleja de ese punto. Lo más importante es que permitimos que diferentes bandas electrónicas interactúen entre sí.

El objetivo de esta página es explicar el origen de las ecuaciones de k·p, por qué la masa efectiva aparece de forma natural y cómo un conjunto de ecuaciones acopladas se convierte en el hamiltoniano de múltiples bandas que se utiliza en un programa de resolución para pozos cuánticos.

Comenzando con un electrón en un cristal.

Para un electrón que se mueve en un cristal semiconductor, partiremos de la conocida ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

\[ \hat H_0\Psi(\mathbf r)=E\Psi(\mathbf r), \qquad \hat H_0=\frac{\hat{\mathbf p}^{\,2}}{2m_0}+V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r). \]

Aquí, \(m_0\) es la masa ordinaria (de electrones libres), \(\hat{\mathbf p}=-i\hbar\nabla\) es el operador de momento y \(V_{\mathrm{crystal}}\) es el potencial que experimenta el electrón debido a la disposición periódica de los átomos. Hemos utilizado deliberadamente \(m_0\), y no la masa efectiva del semiconductor: en esta etapa, la influencia del cristal aún no se ha incorporado en una masa aproximada.

Una propiedad fundamental de un cristal ideal es que su potencial se repite de una celda unitaria a la siguiente. Si \(\mathbf R\) describe una traslación de la red cristalina, entonces:

\[ V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r+\mathbf R) =V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r). \]

Podríamos intentar resolver directamente la ecuación de Schrödinger a lo largo de este potencial periódico, pero el teorema de Bloch nos ofrece una forma mucho más útil de expresar sus soluciones.

El teorema de Bloch: separación de la onda y del cristal.

El teorema de Bloch establece que un estado electrónico en un cristal periódico puede expresarse como el producto de una onda plana y una función que se repite según la red cristalina:

\[ \boxed{ \Psi_{n\mathbf k}(\mathbf r) =e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}\,u_{n\mathbf k}(\mathbf r) } \]

Las dos partes tienen funciones diferentes. El factor de onda plana describe cómo cambia la fase general a medida que nos desplazamos a través del cristal. La función \(u_{n\mathbf k}(\mathbf r)\) describe los detalles de la onda dentro de cada celda unitaria y tiene la misma periodicidad que el cristal:

\[ u_{n\mathbf k}(\mathbf r+\mathbf R) =u_{n\mathbf k}(\mathbf r). \]

La etiqueta \(n\) nos indica qué banda electrónica estamos considerando, mientras que \(\mathbf k=(k_x,k_y,k_z)\) es el vector de onda del cristal. La cantidad \(\hbar\mathbf k\) se denomina momento del cristal. Está estrechamente relacionada con el momento que utilizamos en nuestra analogía anterior sobre la pelota de críquet, aunque no se deben confundir ambos conceptos en un cristal periódico.

Esta es la primera simplificación importante: en lugar de describir una nueva función de onda a escala atómica en todo el cristal para cada \(\mathbf k\), podemos trabajar con funciones periódicas de la celda \(u\). El método k·p investiga cómo cambian esas funciones y sus energías cuando desplazamos una pequeña distancia en el espacio de los vectores de onda.

¿Cuál es el origen del término k·p?

Sustituiremos la expresión de Bloch en la ecuación de Schrödinger. Cuando el operador de momento actúa sobre el producto de la onda plana y la función periódica de la celda, el resultado es:

\[ \hat{\mathbf p}\left(e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}u\right) =e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r} \left(\hat{\mathbf p}+\hbar\mathbf k\right)u. \]

En otras palabras, aplicar una transformación a una onda de Bloch equivale a sustituir el operador de momento que actúa sobre \(u\) por \(\hat{\mathbf p}+\hbar\mathbf k\). Al aplicar esto al término de energía cinética y eliminar el factor común de onda plana, obtenemos:

\[ \left[ \frac{(\hat{\mathbf p}+\hbar\mathbf k)^2}{2m_0} +V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r) \right]u_{n\mathbf k} =E_n(\mathbf k)u_{n\mathbf k}. \]

Ampliar la superficie del cuadrado es el paso fundamental. Dado que \(\mathbf k\) es un parámetro y no una derivada espacial, obtenemos:

\[ \boxed{ \left[ \hat H_0 +\frac{\hbar}{m_0}\mathbf k\cdot\hat{\mathbf p} +\frac{\hbar^2 k^2}{2m_0} \right]u_{n\mathbf k} =E_n(\mathbf k)u_{n\mathbf k} } \]

El primer término es nuestro Hamiltoniano cristalino original. El último término es una contribución de energía cuadrática simple. El término central, \(\hbar\mathbf k\cdot\hat{\mathbf p}/m_0\), es el que da nombre al método: k·p.

Desde el punto de vista físico, esto nos indica que alejarnos del vector de onda de referencia que hemos elegido puede provocar la mezcla de estados electrónicos a través del operador de momento. Para comprender lo que esto implica, debemos seleccionar los estados entre los cuales puede producirse esta mezcla.

Elegir un punto de referencia y una base.

Las estructuras de bandas de los semiconductores suelen ser más interesantes cerca de un mínimo o máximo de banda. En el caso de un semiconductor de banda directa, como el GaAs, el mínimo de la banda de conducción y el máximo de la banda de valencia se producen en el centro de la zona de Brillouin, conocido como el punto Gamma (\(\Gamma\)). Para la explicación que sigue, por lo tanto, desarrollaremos el concepto en torno a \(\mathbf k=0\). La misma idea general puede aplicarse a otro punto de referencia cuando el extremo de banda relevante se encuentra en otro lugar de la zona de Brillouin.

En \(\mathbf k=0\), el término k·p desaparece. Supongamos que ya conocemos varios estados cristalinos que presentan periodicidad en la celda unitaria en ese punto:

\[ \hat H_0|u_{n0}\rangle=E_n(0)|u_{n0}\rangle. \]

Estos estados conocidos constituyen nuestra base. Un estado con un vector de onda cercano puede describirse entonces como una combinación de ellos:

\[ |u_{\mathbf k}\rangle =c_1|u_{10}\rangle+c_2|u_{20}\rangle+\cdots. \]

Los coeficientes \(c_1,c_2,\ldots\) indican la contribución de cada estado de referencia al nuevo estado. Son precisamente los valores que necesitamos determinar en nuestro cálculo. Para ello, introducimos la expansión en la ecuación k·p y la proyectamos sobre cada estado base.

El resultado es una ecuación matricial. Sus elementos son:

\[ \boxed{ H_{nm}(\mathbf k) =\left[E_n(0)+\frac{\hbar^2k^2}{2m_0}\right]\delta_{nm} +\frac{\hbar}{m_0}\mathbf k\cdot\mathbf p_{nm} } \]

\[ \mathbf p_{nm} =\langle u_{n0}|\hat{\mathbf p}|u_{m0}\rangle. \]

El símbolo \(\delta_{nm}\) es igual a uno cuando las dos etiquetas de banda son idénticas y a cero en caso contrario. En consecuencia, la diagonal de esta matriz contiene las energías de referencia de la banda y los términos cuadráticos de los electrones libres. Sus elementos fuera de la diagonal contienen los términos de acoplamiento del momento entre diferentes bandas.

Estos elementos de la matriz del momento son fundamentales para la teoría k·p. Si un término de acoplamiento es cero, los estados correspondientes no interactúan entre sí a través de ese término. Si el término es significativo, sus energías y funciones de onda pueden cambiar considerablemente a medida que nos alejamos del punto de referencia.

Un ejemplo práctico: ¿qué ocurre cuando dos bandas interactúan?

Antes de analizar ocho o diez bandas, es útil observar el comportamiento de un modelo de dos bandas. Imaginemos que conservamos solo un estado de la banda de conducción y un estado de la banda de valencia, con energías de referencia \(E_c\) y \(E_v\). Su separación en el punto de referencia es la banda prohibida, \(E_g=E_c-E_v\).

Para mayor claridad, consideraremos el movimiento a lo largo de una dirección cristalina, con un vector de onda \(k\), y elegiremos las fases de nuestros estados base de tal manera que el parámetro de acoplamiento \(P\) sea real. El hamiltoniano ilustrativo es el siguiente:

\[ \boxed{ H(k)= \begin{pmatrix} E_c+\dfrac{\hbar^2 k^2}{2m_0} & Pk\\[6pt] Pk & E_v+\dfrac{\hbar^2 k^2}{2m_0} \end{pmatrix} } \]

Aquí, \(P=\hbar\langle u_{c0}|\hat p|u_{v0}\rangle/m_0\) corresponde a la dirección seleccionada. Obsérvese que los dos términos que no se encuentran en la diagonal se anulan en \(k=0\), pero aumentan a medida que nos alejamos del punto de referencia. Por lo tanto, el modelo no describe dos parábolas independientes: los estados de la banda de conducción y la banda de valencia pueden combinarse.

Para obtener los valores de energía permitidos, resolvemos un problema de autovalores, tal como hicimos al determinar los estados confinados de un pozo cuántico:

\[ H(k)\begin{pmatrix}c_c\\c_v\end{pmatrix} =E(k)\begin{pmatrix}c_c\\c_v\end{pmatrix}. \]

En lugar de obtener una única energía, la matriz de dos por dos produce dos ramas de energía. En este ejemplo simplificado, estas son:

\[ E_{\pm}(k)= \frac{E_c+E_v}{2}+\frac{\hbar^2k^2}{2m_0} \pm\sqrt{\left(\frac{E_g}{2}\right)^2+P^2k^2}. \]

En \(k=0\), los dos resultados se reducen a \(E_c\) y \(E_v\), como se esperaba. A medida que \(k\) aumenta, el acoplamiento modifica tanto las energías como las funciones de base subyacentes. Esta dependencia de la raíz cuadrada también explica por qué una banda acoplada no necesita mantener una forma perfectamente parabólica lejos de su punto extremo.

La comprensión práctica de este concepto es más importante que simplemente memorizar la fórmula: la forma de una banda no solo depende de su propia energía, sino también de cómo interactúa con las bandas vecinas.

¿Cuál es el origen de la masa efectiva?

En el tutorial sobre la estructura cuántica parabólica, utilizamos la masa efectiva como parámetro de entrada. El ejemplo de las dos bandas ahora nos permite comprender de dónde proviene. Muy cerca de \(k=0\), el resultado de la banda de conducción puede aproximarse expandiendo la raíz cuadrada para valores pequeños de \(k\):

\[ E_+(k)\simeq E_c+ \left(\frac{\hbar^2}{2m_0}+\frac{P^2}{E_g}\right)k^2. \]

Compárelo con la expresión parabólica que ya conocemos:

\[ E(k)\simeq E_c+\frac{\hbar^2k^2}{2m_e^{*}}. \]

Ambos tienen la misma forma matemática. Al igualar sus coeficientes cuadráticos, se obtiene la masa efectiva de este modelo simplificado de dos bandas:

\[ \boxed{ \frac{1}{m_e^{*}}= \frac{1}{m_0}+\frac{2P^2}{\hbar^2E_g} } \]

Este es un resultado útil. La masa efectiva no es un sustituto arbitrario de la masa del electrón. Surge porque el estado del electrón está acoplado a otras bandas electrónicas dentro del cristal. En este ejemplo en particular, una menor diferencia de energía entre las bandas o un acoplamiento más fuerte producen una mayor curvatura de la banda de conducción y una masa efectiva menor.

Un semiconductor real posee muchas otras bandas, no solo las dos que se muestran en nuestro ejemplo. Si consideramos su interacción de forma perturbativa, la corrección correspondiente a la energía de una banda aislada es:

\[ E_n(\mathbf k)\simeq E_n(0) +\frac{\hbar^2k^2}{2m_0} +\frac{\hbar^2}{m_0^2} \sum_{m\ne n} \frac{|\mathbf k\cdot\mathbf p_{nm}|^2} {E_n(0)-E_m(0)}. \]

Cada banda vecina contribuye en función de su acoplamiento por momento y su separación en energía. La curvatura resultante depende generalmente de la dirección, por lo que la descripción más completa es un tensor de masa efectiva, en lugar de una única masa escalar. Una masa efectiva escalar es apropiada cuando la simetría o la aproximación elegida nos permiten tratar la curvatura como la misma en las direcciones de interés.

Existe una limitación importante: la expresión perturbativa deja de ser fiable cuando el denominador es pequeño, lo que significa que dos bandas energéticas están muy próximas entre sí. En esa situación, es mejor mantener ambas bandas explícitamente en el hamiltoniano, en lugar de ocultar su interacción dentro de una única masa efectiva.

De una matriz de dos bandas a una matriz de múltiples bandas.

El siguiente paso es conceptualmente sencillo. En lugar de empezar solo con dos estados cristalinos, conservamos varios estados relevantes en nuestra base:

\[ |u_{\mathbf k}\rangle =\sum_{n=1}^{N}c_n(\mathbf k)|u_{n0}\rangle. \]

Esto da como resultado un hamiltoniano de \(N\) por \(N\). Cada elemento de la diagonal describe una banda de referencia y su corrección cuadrática; cada elemento no diagonal permitido describe un acoplamiento entre dos estados base. Al resolver la matriz para un vector de onda elegido, se obtienen todas las energías de las bandas resultantes y la contribución de cada estado base en el vector propio correspondiente.

Esto es especialmente importante en la banda de valencia. Los estados de agujeros pesados y de agujeros ligeros pueden degenerar en el centro de la zona de Brillouin, y su mezcla no puede representarse con precisión asignando a cada uno una masa constante independiente. Un modelo de múltiples bandas permite que estos estados interactúen de forma natural a medida que cambia el vector de onda.

Todavía debemos decidir qué bandas conservar. El enfoque general consiste en mantener los estados que son más relevantes para las energías y la física que nos interesan. La interacción con estados más distantes, que inicialmente se excluyen, puede incluirse de forma aproximada mediante correcciones a los parámetros del hamiltoniano que se conserva. Por este motivo, los diferentes modelos k·p pueden tener un número diferente de bandas y diferentes parámetros de material.

Por ejemplo, un modelo común de zincblenda con ocho bandas conserva un estado de conducción similar a la función «s» y tres estados orbitales de valencia similares a la función «p», cada uno con dos componentes de espín. La selección detallada de la base, los términos de simetría y los elementos de la matriz se explica en nuestro capítulo base y hamiltonianos y en las páginas específicas del modelo para cada material.

¿Por qué necesitamos el concepto de espín y el acoplamiento espín-órbita?

Hasta ahora, nuestro sencillo ejemplo de dos bandas no ha tenido en cuenta el espín. Sin embargo, los electrones tienen dos componentes de espín. Esto significa que cada estado orbital debe representarse mediante estados base de espín ascendente y espín descendente (o una base de espín equivalente adecuada).

Si el espín no tuviera ningún efecto sobre las energías, esto simplemente duplicaría el problema. Los cristales semiconductores reales también presentan un acoplamiento espín-órbita, que relaciona el espín del electrón con su movimiento a través del potencial del cristal. En una descripción simplificada de Pauli, el hamiltoniano adicional es:

\[ \hat H_{\mathrm{so}}= \frac{\hbar}{4m_0^2c^2} \boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\nabla V_{\mathrm{crystal}}\times\hat{\mathbf p}\right), \]

donde \(c\) es la velocidad de la luz y \(\boldsymbol{\sigma}\) representa las matrices de Pauli. No es necesario que derivemos este término relativista aquí; lo importante es su consecuencia física. El carácter de espín y el carácter orbital ya no son independientes, y ciertos estados que, de otro modo, tendrían la misma energía, se separan.

En la conocida banda de valencia de tipo esfalerita, el acoplamiento espín-órbita da lugar a las ramas correspondientes a los huecos pesados, los huecos ligeros y la rama separada, siendo la energía de esta última comúnmente representada por \(\Delta_{\mathrm{so}}\). Estas no son simplemente tres parábolas independientes: su naturaleza e interacción dependen del vector de onda y de la simetría cristalina subyacente.

Esto explica el origen del nombre. modelo de ocho bandas k·p: cuatro estados base orbitales (uno de conducción y tres de valencia), cada uno con dos componentes de espín, dan como resultado una base de ocho componentes. El hamiltoniano real incluye el momento permitido y los acoplamientos espín-órbita entre ellos. Se demuestra un cálculo completo de un pozo cuántico utilizando este modelo en el Tutorial sobre el modelo de ocho bandas de GaAs/AlGaAs en la estructura de zincblenda..

¿Cómo se transforma esto en un cálculo basado en el modelo de pozo cuántico?

Hasta ahora, hemos estado describiendo un cristal masivo, en el que la energía de los electrones varía en función de un vector de onda tridimensional. Para describir un pozo cuántico, ahora debemos volver a la geometría que se presentó en la página anterior de este tutorial.

Supongamos que las capas semiconductoras se extienden en paralelo al plano \(x\)-\(y\) y están apiladas a lo largo de \(z\). El vector de onda en el plano, \(k_{\parallel}\), sigue siendo una referencia útil porque la estructura es aproximadamente uniforme a lo largo de las capas. Sin embargo, el electrón está confinado en la dirección \(z\), por lo que debemos determinar cómo varía su posición en el interior de la estructura.

El método estándar de la función envolvente sustituye el vector de onda en la dirección del crecimiento en el hamiltoniano de la estructura masiva k·p por un operador diferencial:

\[ \boxed{k_z\;\longrightarrow\;-i\frac{d}{dz}} \]

Los bordes de la banda y otros parámetros relevantes también pueden variar en función de \(z\), lo que refleja las diferentes capas semiconductoras. El problema ya no es simplemente una matriz finita ordinaria evaluada en un único vector de onda: se trata de un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas para las funciones de envolvente en todo el dispositivo. Cuando los parámetros varían en las interfaces, el orden de los operadores y las condiciones de concordancia deben elegirse de forma coherente para que el hamiltoniano siga siendo físicamente significativo y hermitiano.

El modelo parabólico más sencillo resuelve una ecuación de Schrödinger escalar para un electrón o una laguna. En cambio, un modelo multibanda k·p resuelve un conjunto de componentes de envolvente acoplados. Los valores propios resultantes indican los niveles de energía confinados, mientras que sus vectores propios nos muestran cómo los diferentes caracteres de banda contribuyen a cada estado.

Al repetir el cálculo con diferentes valores de \(k_{\parallel}\), construimos la estructura de las subbandas del pozo cuántico. A diferencia de un conjunto de parábolas independientes, estas subbandas pueden combinarse, curvarse de forma no parabólica y cambiar de comportamiento a medida que aumenta el vector de onda en el plano.

¿Qué cálculos adicionales nos permite realizar el conocimiento más profundo de la física?

La ventaja de realizar un cálculo multibanda no es simplemente que genera diagramas de bandas de aspecto más complejo. Lo que ofrece es una descripción más realista de los estados electrónicos que participan en los procesos de transporte y ópticos.

En nuestro tutorial sobre transiciones ópticaspresentamos la probabilidad de que un electrón realice una transición entre un estado ocupado y un estado vacío. La intensidad de la transición depende de un elemento de matriz entre las funciones de onda inicial y final. Un vector propio multibanda contiene información sobre el carácter orbital y de espín mixto de cada estado, lo cual es esencial al calcular la dirección y la intensidad de las transiciones ópticas.

Esto resulta especialmente útil al estudiar transiciones dependientes de la polarización, la ganancia óptica, la emisión espontánea y los sistemas en los que la mezcla de bandas de valencia es significativa. Los elementos detallados de la matriz óptica dependen del hamiltoniano y la base elegidos, pero su cálculo se realiza de forma natural una vez que se han obtenido los autoestados acoplados.

Modelos k·p en OghmaNano

OghmaNano ofrece varios modelos para diferentes estructuras de semiconductores. Todos ellos se basan en la filosofía general k·p desarrollada aquí, pero presentan diferentes estados electrónicos y utilizan los parámetros de material adecuados para cada sistema cristalino.

• Modelo de ocho bandas de tipo zincblenda k·p incluye los estados de conducción y los estados de valencia de tipo p, junto con el acoplamiento de espín y el acoplamiento espín-órbita.
• Modelo de diez bandas basado en la estructura de zincblenda conserva una base electrónica más amplia para resolver problemas que requieren estados acoplados adicionales.
• Modelo de ocho bandas de Wurtzite k·p utiliza la simetría y los parámetros de banda adecuados para los cristales de wurtzita.

El próximo capítulo presenta los estados base reales y explica cómo se organizan en las matrices hamiltonianas que utilizan estos algoritmos de resolución.