Autoestados, normalización y características del estado.

El solucionador de autovalores devuelve las energías y los vectores de envolvente. En esta página se explica cómo OghmaNano normaliza esas envolventes, cómo mide el carácter orbital de cada estado y cómo realiza un seguimiento de qué subbanda corresponde a cada una, a medida que se escanea el vector de onda en el plano; todo esto es necesario para las rutinas ópticas y de transporte que se utilizarán a continuación.

1. Normalización

Una envolvente multibanda tiene un componente por función base en cada nodo. OghmaNano normaliza la probabilidad total, que se calcula sumando los valores de todas las bandas e integrándolos en la cuadrícula, de modo que el resultado sea igual a 1:

\[ \sum_{z}\sum_{b} \big|\psi_b(z)\big|^2\,\Delta z = 1. \]

Esta normalización física determina \(|\psi_b(z)|^2\Delta z\) la probabilidad de encontrar la portadora en la banda \(b\) cerca del nodo \(z\), y garantiza que los elementos de la matriz óptica y las densidades de la lámina tengan su escala absoluta correcta. Los algoritmos escalares (parabólicos y de silicio) utilizan la misma regla con un único componente de banda.

2. Características del estado.

Dado que los estados multibanda combinan orbitales de tipo s y de tipo p, cada estado propio tiene un carácter definido, determinado por la fracción de su probabilidad en cada orbital. OghmaNano integra los componentes al cuadrado.

\[ w_S = \sum_z\big(|\psi_{S\uparrow}|^2+|\psi_{S\downarrow}|^2\big)\Delta z, \quad w_X, w_Y, w_Z \ \text{likewise}, \]

de modo que \(w_S+w_X+w_Y+w_Z=1\) (más un factor de ponderación del nitrógeno \(w_N\) en el modelo de 10 bandas). Un estado con un \(w_S\) grande se comporta como un estado de conducción (electrón); un estado dominado por \(w_X, w_Y, w_Z\) se comporta como un estado de valencia (hueco). Los factores de ponderación individuales \(X, Y, Z\) también revelan si un estado de valencia se asemeja a un hueco pesado (principalmente \(X, Y\)) o a un hueco ligero, lo que controla sus propiedades ópticas reglas de selección.

3. Clasificación de los estados según su carácter S.

Cuando los estados de conducción y de valencia se resuelven conjuntamente en un único espectro, deben clasificarse en electrones y huecos. OghmaNano utiliza el factor de ponderación S \(w_S\) para ello: un estado se considera similar a un electrón en proporción a \(w_S\) y similar a un hueco en proporción a \(1-w_S\). Esta ponderación continua es importante cerca del borde de la banda de los materiales de banda estrecha, donde la fuerte mezcla entre los estados de conducción y de valencia hace que la distinción entre electrones y huecos sea realmente fraccionaria. El mismo factor de ponderación se utiliza en el cálculo de ganancia, donde modula la emisión y la absorción de cada transición.

4. Seguimiento de las subbandas a lo largo de la dispersión.

La dispersión en el plano se calcula resolviendo el hamiltoniano en una secuencia de \(k_\parallel\) puntos. El solucionador de autovalores devuelve los estados ordenados por energía, pero este orden puede cambiar cuando las subbandas se cruzan o se separan, por lo que un simple ordenamiento por energía alteraría las etiquetas de las bandas. En cambio, OghmaNano realiza un seguimiento de los estados mediante el cálculo del solapamiento: en cada nuevo punto \(k_\parallel\), relaciona cada vector propio anterior con el nuevo vector propio con el que tiene el mayor solapamiento.

\[ \text{match}(i) = \arg\max_j \Big|\textstyle\sum_z\sum_b \psi^{(k-1)}_{i,b}(z)^\*\,\psi^{(k)}_{j,b}(z)\,\Delta z\Big|^2, \]

de modo que cada subbanda mantenga una identidad coherente a lo largo de toda la dispersión. Esta identificación continua es lo que determina las energías de la subbanda. \(E_n(k_\parallel)\) funciones suaves adecuadas para las integrales ópticas e integrales de transporte.

5. Interpretación de las funciones de onda.

Las funciones de onda confinadas tienen un significado físico directo. Su número de nodos indica el índice de la subbanda; su extensión espacial muestra el grado de confinamiento del estado y la distancia a la que se extiende hacia las barreras; y la superposición de las funciones de onda de los electrones y los huecos determina la intensidad de la transición óptica entre ellos. En estructuras con tensión o asimétricas, las funciones de onda de los electrones y los huecos pueden desplazarse hacia lados opuestos del pozo, lo que reduce su superposición y la eficiencia óptica; este efecto se refleja directamente en las funciones de onda multibanda y se utiliza en el cálculo de elemento de matriz.