Eigenzustände, Normalisierung und Zustandscharakterisierung

Der Eigenwertlöser gibt Energien und Hüllvektoren zurück. Auf dieser Seite wird erläutert, wie OghmaNano diese Hüllfunktionen normalisiert, wie es den Orbitalcharakter jedes Zustands misst und wie es verfolgt, welches Teilband welches ist, während der in der Ebene liegende Wellenvektor durchlaufen wird – all dies wird von den nachfolgenden optischen und Transportroutinen benötigt.

1. Normalisierung

Eine Multiband-Hüllkurve hat für jede Basisfunktion an jedem Knoten eine Komponente. OghmaNano normalisiert die GesamtWahrscheinlichkeit, die über alle Bänder summiert und über das Gitter integriert wird, auf den Wert 1:

\[ \sum_{z}\sum_{b} \big|\psi_b(z)\big|^2\,\Delta z = 1. \]

Diese physikalische Normalisierung bestimmt \(|\psi_b(z)|^2\Delta z\) die Wahrscheinlichkeit, den Ladungsträger im Band \(b\) in der Nähe des Knotens \(z\) zu finden, und sie stellt sicher, dass die optischen Matrixelemente und die Ladungsträgerdichten ihre korrekte absolute Größe haben. Die skalaren (parabolischen und auf Silizium basierenden) Solver verwenden die gleiche Regel mit einer einzelnen Bandkomponente.

2. Wesentliche Eigenschaften/Merkmale

Da sich die Zustände in den Mehrbandstrukturen aus s-ähnlichen und p-ähnlichen Orbitalen zusammensetzen, hat jeder Eigenzustand einen bestimmten Charakter, der durch den Anteil seiner Wahrscheinlichkeit in jedem Orbital bestimmt wird. OghmaNano berechnet die quadrierten Komponenten.

\[ w_S = \sum_z\big(|\psi_{S\uparrow}|^2+|\psi_{S\downarrow}|^2\big)\Delta z, \quad w_X, w_Y, w_Z \ \text{likewise}, \]

so dass \(w_S+w_X+w_Y+w_Z=1\) (plus eine Stickstoffkomponente \(w_N\) im 10-Band-Modell) vorliegt. Ein Zustand mit einem großen \(w_S\)-Wert ähnelt einem Leitungszustand (Elektron); ein Zustand, der von \(w_X, w_Y, w_Z\) dominiert wird, ähnelt einem Valenzzustand (Loch). Die einzelnen \(X, Y, Z\)-Werte zeigen auch, ob ein Valenzzustand eher einem schweren Loch (hauptsächlich \(X, Y\)) oder einem leichten Loch ähnelt, was seine optischen Eigenschaften Auswahlregeln bestimmt.

3. Einteilung von Zuständen nach ihrem S-Charakter

Wenn die Leitungs- und Valenzzustände zusammen in einem einzigen Spektrum gelöst werden, müssen sie in Elektronen und Löcher unterteilt werden. OghmaNano verwendet dafür die S-Charakter-Gewichtung \(w_S\): Ein Zustand wird in dem Verhältnis zu \(w_S\) als elektronisch und in dem Verhältnis zu \(1-w_S\) als löcherartig behandelt. Diese kontinuierliche Gewichtung ist in der Nähe des Bandrands von Materialien mit enger Bandlücke wichtig, wo eine starke Mischung von Leitungs- und Valenzzuständen die Unterscheidung zwischen Elektronen und Löchern tatsächlich zu einer fraktionierten Unterscheidung macht. Dieselbe Gewichtung wird in die Berechnung von gain einbezogen, wo sie die Emission und Absorption jeder Übergangsreaktion skaliert.

4. Verfolgung von Teilfrequenzbändern entlang der Dispersionskurve

Die In-Plane-Dispersion wird durch die Lösung des Hamilton-Operators an einer Reihe von \(k_\parallel\)-Punkten berechnet. Der Eigenwertlöser gibt die Zustände in Energie-Reihenfolge zurück, aber die Energie-Reihenfolge kann sich ändern, wenn sich Teilbänder schneiden oder nicht schneiden. Eine einfache Sortierung nach Energie würde daher die Bandbezeichnungen durcheinanderbringen. OghmaNano verfolgt stattdessen die Zustände anhand der Überlappung: An jedem neuen \(k_\parallel\)-Punkt wird jeder vorherige Eigenvektor dem neuen Eigenvektor zugeordnet, mit dem er die größte Überlappung aufweist.

\[ \text{match}(i) = \arg\max_j \Big|\textstyle\sum_z\sum_b \psi^{(k-1)}_{i,b}(z)^\*\,\psi^{(k)}_{j,b}(z)\,\Delta z\Big|^2, \]

so dass jedes Teilband über die gesamte Streuung hinweg eine einheitliche Identität beibehält. Diese kontinuierliche Kennzeichnung ist es, die die Energien der Teilbänder ausmacht. \(E_n(k_\parallel)\) glatte Funktionen, die sich für optische und Transportintegrale eignen.

5. Die Wellenfunktionen interpretieren

Die begrenzten Hüllfunktionen haben eine direkte physikalische Bedeutung. Ihre Anzahl an Knotenpunkten gibt den Index der Teilband an; ihre räumliche Ausdehnung zeigt, wie stark der Zustand lokalisiert ist und wie weit er in die Barrieren eindringt; und die Überlappung der Elektronen- und Lochhüllfunktionen bestimmt die Stärke des optischen Übergangs zwischen ihnen. In verspannten oder asymmetrischen Strukturen können die Elektronen- und Lochhüllfunktionen auf gegenüberliegende Seiten des Quantenbrunnens verschoben werden, wodurch sich ihre Überlappung und die optische Effizienz verringern – ein Effekt, den die Mehrbandhüllfunktionen direkt erfassen und der in die Berechnung des Matrixelements einfließt.