Das 8-Band-Wurtzit-k·p-Modell verstehen

Warum benötigen wir ein anderes Modell für Wurtzit?

In dem Tutorial zum achtfach-band-Zinkblende-Modell haben wir die Leitungs- und Valenzzustände so miteinander interagieren lassen, dass sie nicht mehr als unabhängige Parabeln behandelt wurden. Nun möchten wir denselben Ansatz auf Materialien wie GaN, AlN, InN und ihre Legierungen anwenden, die in großem Umfang in LEDs und Lasern eingesetzt werden.

Diese Materialien weisen üblicherweise die Wurtzit-Kristallstruktur auf. Im Gegensatz zur kubischen Zinkblende zeichnet sich die Wurtzit durch ihre hexagonale Symmetrie aus, die eine bestimmte Richtung hervorhebt: die c-Achse des Kristalls. Auf dieser Seite gehen wir davon aus, dass dies die \(z\)-Richtung ist, wobei \(x\) und \(y\) in der senkrechten Basisebene liegen. Diese Unterscheidung ist wichtig, da die elektronische Energie, die Mischung von Orbitalen und die Wechselwirkung mit Licht richtungsabhängig sein können.

Zunächst erläutern wir die physikalische Grundlage für jeden neuen Begriff und zeigen anschließend, wie der Acht-Band-Hamilton-Operator diesen beschreibt. Das Ergebnis wird einen direkten Bezug zu den Subbändern von Quantenpotentialtälern und zur Polarisation des emittierten Lichts herstellen.

Die c-Achse und die Kristallfeldaufspaltung

Betrachten Sie die drei p-ähnlichen Orbitalzustände, die zur Darstellung der oberen Valenzbänder verwendet werden. Wir bezeichnen sie entsprechend ihrer Orbitalcharakteristik als \(X\), \(Y\) und \(Z\). Es handelt sich dabei um elektronische Basisfunktionen und nicht um drei verschiedene Stellen in einem Bauelement. In der Wurtzit-Struktur stehen die Zustände \(X\) und \(Y\) in einer Symmetrierelation, während sich \(Z\) durch die c-Achse auszeichnet.

Dadurch kann das Kristallpotential die Energie des \(Z\)-ähnlichen Zustands relativ zu den \(X,Y\)-ähnlichen Zuständen verändern, und zwar bereits bevor der Spin berücksichtigt wird. Dieser Effekt wird als Kristallfeldaufspaltung bezeichnet und ist in ?? dargestellt. Die Spin-Bahn-Kopplung vermischt anschließend die Orbital- und Spineigenschaften und erzeugt drei Valenz-Dubletts, die oft als A-, B- und C-Bänder bezeichnet werden.

Ihre Orbitalcharakteristik ist von Bedeutung. Eine Band, die hauptsächlich einen Charakter auf der Ebene \(X,Y\) aufweist, koppelt sich im Allgemeinen anders an polarisiertes Licht als eine Band, die einen erheblichen Charakter entlang der c-Achse \(Z\) aufweist. Aus diesem Grund ist die durch das Kristallfeld verursachte Aufspaltung nicht nur eine geringfügige Korrektur der Bandlücke, sondern kann die optischen Eigenschaften von Nitrid-Quantenringen beeinflussen.

Woher stammen die acht Bänder?

Wie bei Zinkblende behalten wir ein hauptsächlich s-ähnliches Leitungsbandorbital \(S\) und drei hauptsächlich p-ähnliche Valenzbandorbitale \(X\), \(Y\) und \(Z\) bei. Jedes Orbital hat zwei Spin-Komponenten, was zu acht Basiszuständen führt:

\[ \begin{aligned} \{&|S\uparrow\rangle,\ |S\downarrow\rangle,\\ &|X\uparrow\rangle,\ |Y\uparrow\rangle,\ |Z\uparrow\rangle,\\ &|X\downarrow\rangle,\ |Y\downarrow\rangle,\ |Z\downarrow\rangle\}. \end{aligned} \]

Anstatt acht unabhängige Gleichungen zu lösen, fassen wir diese Zustände in einer einzigen Hamilton-Matrix zusammen. Die Diagonalelemente dieser Matrix beschreiben die den einzelnen Basiszuständen zugeordneten Energien; die nicht-diagonalen Elemente beschreiben, wie diese Zustände miteinander wechselwirken. Es ist sinnvoll, die Matrix in Leitungs-, Valenz- und Kopplungsblöcke zu unterteilen:

\[ H=\begin{pmatrix} H_{cc}&H_{cv}\\[3pt] H_{cv}^{\dagger}&H_{vv} \end{pmatrix}. \]

Der Leitfähigkeitsblock enthält zwei Spinzustände, der Valenzblock enthält sechs, und \(H_{cv}\) koppelt diese. Das Symbol \(\dagger\) bezeichnet die hermitische Konjugierte. Wenn wir diese Matrix diagonalisieren, erhalten wir Energien und Eigenvektoren, deren Leitfähigkeits-, Valenz-, Orbital- und Spinkomponenten miteinander kombiniert werden dürfen.

Warum gibt es zwei Leitungsbandmassen?

In dem Tutorial parabolic-band tutorial wurde die Krümmung eines Bandes durch eine effektive Masse gesteuert. Die Wurtzit-Struktur ermöglicht es uns, die Bewegung entlang der c-Achse von der Bewegung in der Basisebene zu unterscheiden. Mithilfe von \(k_{\parallel}^2=k_x^2+k_y^2\) kann eine einfache, richtungsabhängige Dispersionsrelation wie folgt formuliert werden:

\[ E_c(\mathbf{k})=E_c+ \frac{\hbar^2 k_{\parallel}^2}{2m_{e,\parallel}^{*}} +\frac{\hbar^2 k_z^2}{2m_{e,z}^{*}}. \]

Das Elektron kann daher je nachdem, ob seine Bewegung parallel oder senkrecht zu den Schichten verläuft, unterschiedliche Energiemengen aufnehmen. Dies ist insbesondere bei einer Quantenstruktur in der c-Ebene von Bedeutung, bei der die Einschränkung entlang \(z\) erfolgt, die Unterbänder jedoch gegen \(k_{\parallel}\) aufgetragen werden.

Innerhalb des mehrbandigen Hamilton-Modells verwendet OghmaNano zwei Leitfähigkeits-Parameter: \(S_1\) für die c-Achse und \(S_2\) für die Basisebene:

\[ H_{cc}=E_c+A_0(S_2k_{\parallel}^2+S_1k_z^2), \qquad A_0=\frac{\hbar^2}{2m_0}. \]

Diese Parameter beschreiben die Restkrümmung der Leitungsbandlücke. Die endgültigen Bandrandmassen hängen auch von der Kopplung an die Valenzzustände ab, die wir im Folgenden explizit berücksichtigen. Folglich müssen die Parameter so gewählt werden, dass der gleiche Beitrag zwischen den Bändern nicht doppelt gezählt wird.

Warum benötigt Wurtzit zwei Kane-Parameter?

In der Einführung in die k·p-Theorie sind wir auf Matrixelemente des Impulses gestoßen, die verschiedene Orbitalzustände miteinander verbinden. Beispielsweise koppelt ein s-ähnlicher Leitungszustand an die drei p-ähnlichen Valenzzustände. Die Stärke dieser Wechselwirkungen wird als Kane-Parameter bezeichnet.

Für Wurtzit sind unterschiedliche Kopplungsstärken für die c-Achse und die Basisebene erforderlich:

• \(P_2\): Kopplung zwischen \(S\) und den in der Ebene liegenden \(X,Y\)-Orbitalen über \(k_x,k_y\).
• \(P_1\): Kopplung zwischen \(S\) und der c-Achse \(Z\) über das \(k_z\)-Orbital.

In der hier verwendeten Konvention sind die repräsentativen Hamilton-Elemente:

\[ \begin{aligned} H_{SX}&=iP_2k_x,\\ H_{SY}&=iP_2k_y,\\ H_{SZ}&=iP_1k_z. \end{aligned} \]

Ihre hermiteschen Konjugierten erscheinen auf der anderen Seite der Matrix. Die Parameter werden häufig mithilfe der Kane-Energien festgelegt:

\[ P_1=\sqrt{A_0E_{p1}},\qquad P_2=\sqrt{A_0E_{p2}}. \]

Das Vorhandensein von zwei Kopplungen bedeutet, dass elektronische Zustände unterschiedlich auf Wechselwirkungen entlang und senkrecht zur c-Achse reagieren. Dies wird uns später auch eine direkte Erklärung für die TE- und TM-Auswahlregeln in der Optik liefern.

Warum benötigen wir sechs Valenzparameter?

Das Leitungsband beginnt mit einer einzigen, an ein s-Orbital erinnernden Orbital für jeden Spin. Der Valenzbereich enthält drei an ein p-Orbital erinnernde Orbitale pro Spin, die in ihrer Energie eng beieinander liegen. Wenn sich der Wellenvektor ändert, können sich diese Zustände vermischen, anstatt drei unabhängigen Parabeln zu folgen.

Das Wurtzit-Modell beschreibt die gerichtete Krümmung und das Mischen dieser Zustände mithilfe von sechs gängigen, tabellierten Parametern, \(A_1\) bis \(A_6\), die als Rashba-Sheka-Pikus-Parameter bekannt sind. Einige dieser Parameter bestimmen, wie sich die Bandenergien bei Bewegung entlang oder quer zur c-Achse verändern, während andere die Kopplung zwischen den Orbitalkomponenten steuern.

Wenn man den Spin und andere Größen vorübergehend vernachlässigt, hat der kartesische Valenzblock, der von der Wellenvektorkomponente abhängt, die folgende schematische Form:

\[ H_v^{\mathrm{kin}}= \begin{pmatrix} H_{XX}&N_1k_xk_y&N_2k_xk_z\\ N_1k_xk_y&H_{YY}&N_2k_yk_z\\ N_2k_xk_z&N_2k_yk_z&H_{ZZ} \end{pmatrix}. \]

Die Einträge auf der Diagonale beschreiben vorwiegend die Eigenschaften von \(X\), \(Y\) und \(Z\). Die Einträge außerhalb der Diagonale mischen diese Eigenschaften, wenn die entsprechenden Komponenten des Wellenvektors vorhanden sind. Diese Mischung ist einer der Gründe, warum die berechneten Valenzteilbänder im Allgemeinen nicht durch drei einfache Parabeln ersetzt werden können.

Wie OghmaNano die Parameter A1–A6 verwendet.

Die folgenden Definitionen beschreiben die in dem bestehenden OghmaNano-Wurtzit-Modell verwendete kartesische Koeffizientenkonvention. Zunächst definieren wir:

\[ \begin{aligned} L_1&=A_0(A_5+A_4+A_2-1),\\ L_2&=A_0(A_1-1),\\ M_1&=A_0(A_4+A_2-A_5-1),\\ M_2&=A_0(A_1+A_3-1),\\ M_3&=A_0(A_2-1),\\ N_1&=2A_0A_5,\\ N_2&=\sqrt{2}\,A_0A_6. \end{aligned} \]

Wenn der Beitrag der freien Elektronen \(A_0k^2\) separat angegeben wird, lauten die diagonalen Valenzwerte wie folgt:

\[ \begin{aligned} H_{XX}&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+L_1k_x^2+M_1k_y^2+M_2k_z^2,\\[3pt] H_{YY}&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+M_1k_x^2+L_1k_y^2+M_2k_z^2,\\[3pt] H_{ZZ}&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+M_3k_{\parallel}^2+L_2k_z^2. \end{aligned} \]

Die Elemente außerhalb der Hauptdiagonale sind \(H_{XY}=N_1k_xk_y\), \(H_{XZ}=N_2k_xk_z\) und \(H_{YZ}=N_2k_yk_z\), wobei die zugehörigen hermiteschen Elemente implizit berücksichtigt werden. Die Referenz \(E_{v,\mathrm{av}}\) wird so gewählt, dass sie mit den Kristallfeld- und Spin-Bahn-Termen übereinstimmt. Die Konventionen für die Parameter variieren je nach Veröffentlichung, daher sollten tabellarische Werte nicht zwischen verschiedenen Hamiltonian-Konventionen übertragen werden, ohne zu prüfen, wo Beiträge von freien Elektronen und interbandartigen Übergängen berücksichtigt wurden.

Die Einführung des Spins: Die drei Valenz-Doppelpaare

Wir können nun zum Kristallfeld-Diagramm zurückkehren. In der OghmaNano-Konvention werden die relevanten Aufspaltungsparameter mit \(\delta_1\), \(\delta_2\) und \(\delta_3\) bezeichnet. Der Kristallfeld-Term \(\delta_1\) unterscheidet die basalen Orbitale vom Orbital entlang der c-Achse. Die verbleibenden beiden Parameter beschreiben die Spin-Bahn-Kopplung, die die Orbital- und Spin-Eigenschaften vermischt.

Durch die Diagonalisierung des Valenzblocks am Zentrum der Brillouin-Zone entstehen drei eng beieinander liegende, zweifach entartete Valenzniveaus (A, B und C). Ihre Anordnung wird durch die Materialparameter bestimmt und nicht durch die Annahme, dass ein bestimmtes Orbital immer das höchste sein muss. OghmaNano legt seine Referenz für die Valenzenergie so fest, dass das höchste resultierende Valenzniveau am Zentrum der Brillouin-Zone mit dem gewählten Rand der Valenzbandstruktur übereinstimmt \(E_v\).

Dies hat optische Auswirkungen: Die Eigenschaften der äußersten Valenzschale bestimmen, welche Polarisation am stärksten mit den niedrigenergetischen Übergängen zwischen verschiedenen Energiezuständen wechselwirken kann.

Welche Auswirkungen hat eine Beanspruchung auf die Wurtzit-Struktur?

Eine Quantenwellenschicht wird üblicherweise auf einem anderen Halbleiter aufgebracht. Wenn die Materialien unterschiedliche natürliche Gitterkonstanten aufweisen, kann eine dünne Schicht dazu gezwungen werden, sich an den Gitterabstand ihrer Nachbarschichten anzupassen. Dadurch entstehen Spannungen, die die elektronischen Zustände verschieben und vermischen.

In einer c-Ebenen-Struktur können die in der Ebene liegenden Dehnungskomponenten ähnlich sein, während die Dehnung entlang der c-Achse unterschiedlich ist. Wurtzit benötigt daher richtungsabhängige Dehnungspotenziale. OghmaNano verwendet \(a_1,a_2\) für den Beitrag des Leitungsbandes und \(D_1\)–\(D_6\) für die Dehnungsmatrix des Valenzbandes.

Entsprechend den Konventionen der vorhandenen Modell-Dokumentation wird die Leitfähigkeitsänderung wie folgt angegeben:

\[ \Delta E_c=a_z\varepsilon_{zz} +a_{xy}(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}), \quad a_z=a_1+D_1,\quad a_{xy}=a_2+D_2. \]

Die Valenzdehnungskoeffizienten werden aus Kombinationen von \(D_i\) gebildet, ähnlich den gerichteten kinetischen Koeffizienten:

\[ \begin{aligned} l_1&=D_5+D_4+D_2,&l_2&=D_1,\\ m_1&=D_4+D_2-D_5,&m_2&=D_1+D_3,\\ m_3&=D_2. \end{aligned} \]

Für ein ideales, pseudomorphisches Wachstum auf der c-Ebene ohne Scherspannung verschwinden die Terme, die proportional zu den Scherspannungskomponenten sind. Sie bleiben jedoch für allgemeinere Wachstumsorientierungen und Spannungsfelder erforderlich. Das wichtige Ergebnis ist, dass Spannung die Bandlücke verändern und die oberen Valenzzustände neu anordnen kann, was Auswirkungen auf die optische Polarisation hat.

Von Orbitalcharakter zu TE- und TM-optischen Übergängen

Das optische-Übergänge-Tutorial erklärte, wie der Energieunterschied zwischen einem Leitungszustand und einem Valenzzustand die Energie des Photons bestimmt. Allein die Energieerhaltung gibt uns jedoch keine Auskunft darüber, wie stark ein Übergang mit Licht gekoppelt ist. Auch die Ausrichtung des elektrischen Feldes des Lichts spielt eine Rolle.

Für die übliche Konvention bezüglich Quantenringen in der c-Ebene unterscheiden wir:

• TE-Polarisation: Das elektrische Feld liegt innerhalb der Basisebene und steht senkrecht zur c-Achse. Sie untersucht hauptsächlich den Valenzcharakter von \(X,Y\) durch die \(P_2\)-Kane-Kopplung.
• TM-Polarisation: Das elektrische Feld verläuft entlang der c-Achse. Sie untersucht den Valenzcharakter von \(Z\) durch \(P_1\).

Für eine bestimmte Polarisationsebene \(\mathbf e\) beinhaltet die Amplitude des optischen Übergangs das Impulsmatrixelement:

\[ \mathcal{M}_{cv}(\mathbf e)= \langle\Psi_c|\mathbf e\cdot\mathbf p|\Psi_v\rangle, \qquad \text{transition strength}\propto |\mathcal{M}_{cv}(\mathbf e)|^2. \]

Das Matrixelement berücksichtigt sowohl die entsprechende richtungsabhängige Kane-Kopplung als auch die Überlappung der Hüllkurvenkomponenten von Elektronen und Löchern. Dies erklärt, warum dieselbe Quantenstruktur unterschiedliche TE- und TM-optische Stärken erzeugen kann, selbst bei Übergängen zwischen denselben Energieniveaus.

Wir können jetzt nachvollziehen, warum es sinnvoll war, zunächst die Aufspaltung des Kristallfeldes, die Spin-Bahn-Kopplung und die Verspannung zu betrachten: Sie bestimmen die Orbitalmischung der Valenzzustände, was wiederum beeinflusst, wie diese Zustände mit unterschiedlich polarisiertem Licht wechselwirken. Dies ist wichtig bei der Modellierung von Nitrid-LEDs und -Lasern. Die resultierenden TE- und TM-polarisierten Übergänge können in dem GaN/AlGaN-Tutorial zu einem achtfach degenerierten Wurtzit-k·p-Quantenpotential untersucht werden.

Wie wird das Modell auf einen Quantenbrunnen angewendet?

Bisher haben wir die Komponenten des Wellenvektors \(k_x,k_y,k_z\) verwendet, um die Bandstruktur des Materials zu beschreiben. In einer Quantenstruktur, die entlang der c-Achse gewachsen ist, sind Elektronen und Löcher entlang \(z\) eingeschränkt, können sich aber weiterhin innerhalb der \(x\)-\(y\)-Ebene bewegen. Wie im Zinkblende-Modell wird der Wellenvektor in Wachstumsrichtung zu einem Differentialoperator:

\[ k_z\longrightarrow -i\frac{d}{dz}. \]

Das achtfache Hamiltonian-System wird daher für acht gekoppelte Hüllkomponenten über die gesamte Schichtstruktur hinweg und für ausgewählte, in der Ebene liegende Wellenvektoren gelöst. Das Potential, die effektiven Masseparameter, die Kane-Kopplung und die Dehnung können sich jeweils zwischen den Materialien des Quantenbrunnens und der Barriere ändern. Positionsabhängige Koeffizienten und Ableitungsterme erfordern eine konsistente, hermitische Diskretisierung der Grenzfläche.

Auf einem Gitter mit \(N_z\) Punkten gibt es an jedem Punkt acht Komponenten, was zu einem gekoppelten numerischen Problem mit \(8N_z\) Unbekannten führt. Die Eigenwerte liefern die eingeschränkten Zustände; die Eigenvektoren beschreiben den räumlichen, orbitalen und Spin-Anteil dieser Zustände. Durch die wiederholte Anwendung der Lösung auf verschiedene Wellenvektoren in der Ebene entstehen die elektronischen Teilbänder. Diese werden dann verwendet, um polarisationsabhängige optische Übergänge zu berechnen.

Was hat das Modell mit acht Faktoren Neues gebracht?

Das parabolische Modell ist ein nützlicher Ausgangspunkt für die Beschreibung der Quanteneinschränkung, kann aber weder die Kopplung zwischen eng beieinander liegenden Valenzzuständen noch die vollständige richtungsabhängige optische Reaktion von Wurtzit beschreiben. Das Acht-Band-Modell behält das gleiche Gesamtbild der eingeschränkten Zustände und Nebenbänder bei und erweitert es um die physikalischen Eigenschaften, die für die hexagonale Kristallstruktur erforderlich sind.