Bandstruktur von Quantenpotentialtälern und die parabolische Bandnäherung

Von Quantenpotentialtälern zu elektronischen Bandstrukturen

Finite semiconductor quantum well showing three confined electron energy levels and their corresponding wavefunctions. — Elektronenbeschränkung in einem begrenzten Quantenpotentialtopf. Durch die Lösung der Schrödinger-Gleichung erhält man eine Reihe von zulässigen Elektronenenergien und den dazugehörigen Wellenfunktionen. Die Wellenfunktionen werden skaliert und vertikal verschoben, um sie den jeweiligen Energien zuzuordnen und die Darstellung zu vereinfachen.

In unserer Einführung in Quantenpotentialtöpfe haben wir die Schrödinger-Gleichung verwendet, um die zulässigen Energieniveaus und Wellenfunktionen eines Elektrons zu berechnen, das in einem Potentialtopf eingeschlossen ist. Ein Beispiel für diese Lösungen ist in ?? dargestellt.

Diese Berechnung beschreibt jedoch nur, wie sich das Elektron über die Breite des Potentialsprungs verhält. Ein Halbleiter-Quantenpotentialsprung besteht normalerweise aus einer sehr dünnen Materialschicht, die sich über eine viel größere Fläche erstreckt. Wenn wir die Richtung \(z\) als senkrecht zu den Halbleiterschichten definieren, dann ist die Bewegung des Elektrons entlang der Richtung \(z\) eingeschränkt, es kann sich aber weiterhin frei in den Richtungen \(x\) und \(y\) bewegen, also parallel zu den Schichten.

Anders ausgedrückt: Das Elektron ist auf eine Dimension beschränkt, kann sich aber dennoch in den anderen beiden Dimensionen bewegen. Aus diesem Grund werden Quantenpotentialtöpfe üblicherweise als zweidimensionale elektronische Systeme beschrieben.

Um die Auswirkungen dessen zu verstehen, müssen wir die einzelnen Energieniveaus, die sich aus der Schrödinger-Gleichung ergeben, mit der elektronischen Bandstruktur des Halbleiters in Verbindung bringen.

🧪 Probieren Sie dies in OghmaNano aus: Das Tutorial „GaAs/AlGaAs-parabolische Quantenwellen-Berechnung“ berechnet die eingeschlossenen Elektronenzustände und Lochzustände sowie die Wellenfunktionen und zweidimensionalen Teilbandstrukturen, die auf dieser Seite beschrieben werden. Eine Übersicht über die verfügbaren Quantenwellen- und Mehrbandmodelle finden Sie in k·p-Bandstruktur, Quantenwellen- und Mobilitätsberechnung.

Von begrenzten Energieniveaus zu parabelförmigen Bändern

Infinite quantum well showing three confined electron states and the corresponding parabolic two-dimensional electronic subbands. — Von den Energieniveaus in Quantenpotentialtälern zu den elektronischen Subbändern. Links: Die Lösung der Schrödinger-Gleichung über ein unendliches Quantenpotential erzeugt diskrete Einschlussenergien. Rechts: Wenn Elektronen sich parallel zu den Halbleiterschichten bewegen dürfen, entwickelt sich jeder eingeschlossene Zustand zu einem kontinuierlichen, parabelförmigen Subband.

Betrachten Sie das in ?? auf der linken Seite dargestellte Quantenpotential. Durch die Lösung der Schrödinger-Gleichung innerhalb dieses Potentials erhält man eine Reihe von lokalisierten Zuständen mit den Energien \(E_1\), \(E_2\) und \(E_3\).

Diese Energien beschreiben die räumliche Begrenzung des Elektrons in der \(z\)-Richtung. Das Elektron kann sich aber auch parallel zu den Schichten in den \(x\)- und \(y\)-Richtungen bewegen. Wenn es in dieser Ebene an Impuls gewinnt, steigt seine Gesamtenergie.

Um diese Bewegung zu beschreiben, führen wir den Wellenvektor in der Ebene ein, der als \(k_{\parallel}\) dargestellt wird. Seine Größe steht in Beziehung zu den Komponenten des Wellenvektors entlang der beiden Richtungen, in denen keine Begrenzung vorliegt:

\[ k_{\parallel}^{2}=k_x^2+k_y^2. \]

Für einen einfachen Halbleiter mit einem parabelförmigen elektronischen Band ist die zusätzliche Energie, die mit dieser Bewegung in der Ebene verbunden ist, wie folgt:

\[ E_{\mathrm{parallel}}= \frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2m^{*}}, \]

wobei \(m^{*}\) die effektive Masse des Elektrons ist. Die effektive Masse beschreibt, wie das Elektron auf Kräfte innerhalb des Kristalls reagiert, wobei die Einflüsse der elektronischen Struktur des Halbleiters berücksichtigt werden.

Wir können nun die durch Quanteneinschränkung gewonnene Energie mit der zusätzlichen Energie kombinieren, die mit der Bewegung parallel zu den Schichten verbunden ist:

\[ \boxed{ E_n(k_{\parallel})= E_n+\frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2m^{*}} } \]

Diese Gleichung zeigt uns, dass jede der begrenzten Energieniveaus zum Ausgangspunkt einer Parabel wird, wie auf der rechten Seite von ?? dargestellt. Diese Parabeln sind als elektronische Teilbänder bekannt.

Wenn der in der Ebene liegende Wellenvektor Null ist, entspricht der tiefste Punkt jeder Parabel genau der Energie, die durch die Lösung der Schrödinger-Gleichung über den gesamten Quantenbrunnen berechnet wird. Wenn der in der Ebene liegende Wellenvektor zunimmt, bewegt sich das Elektron die Parabel hinauf und gewinnt Energie, während es sich im selben begrenzten Zustand entlang \(z\) befindet.

Wir haben daher eine Reihe von diskreten Quantenwellen-Energieniveaus in eine Reihe von kontinuierlichen, zweidimensionalen elektronischen Unterbändern umgewandelt.

Warum verwenden wir Parabolische Bänder?

Um zu verstehen, warum die Energiebänder von Halbleitern oft durch Parabeln dargestellt werden, betrachten wir etwas viel Vertrauteres: das Werfen eines Cricketballs. Die kinetische Energie des Balls hängt von seiner Masse und Geschwindigkeit ab:

\[ E_{\mathrm{kinetic}}=\frac{1}{2}mv^2. \]

Das bedeutet, dass die kinetische Energie des Balls viermal so groß ist, wenn wir ihn doppelt so schnell werfen. Da der Impuls durch \(p=mv\) gegeben ist, können wir diese Beziehung auch wie folgt darstellen:

\[ E_{\mathrm{kinetic}}=\frac{p^2}{2m}. \]

Wenn wir die Energie unseres Cricketballs gegen seinen Impuls auftragen, erhalten wir eine Parabel. Der Ball hat seine niedrigste kinetische Energie, wenn sein Impuls null ist, und seine Energie nimmt quadratisch mit zunehmendem Impuls zu.

Interessanterweise können wir eine sehr ähnliche Beziehung verwenden, um ein Elektron in einem Halbleiter zu beschreiben. In der Quantenmechanik steht der Impuls in Beziehung zum Wellenvektor, wie in \(p=\hbar k\) dargestellt. Wenn wir dies in unseren vorherigen Ausdruck einsetzen, erhalten wir:

\[ E_{\mathrm{kinetic}}=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}. \]

Allerdings bewegt sich ein Elektron in einem Halbleiter nicht durch leeren Raum. Es interagiert mit dem periodischen Potenzial des Kristalls, wodurch sich die Beziehung zwischen seiner Energie und seiner Bewegung verändert. In der Nähe des unteren Bereichs vieler Leitungsbänder können wir dies berücksichtigen, indem wir die gewöhnliche Elektronenmasse durch eine effektive Masse \(m_e^{*}\) ersetzen.

Wir müssen außerdem die Energie am unteren Rand des Leitungsbandes, \(E_c\), berücksichtigen, was uns zur parabelförmigen Bandapproximation führt:

\[ \boxed{ E(k)=E_c+\frac{\hbar^2 k^2}{2m_e^{*}} } \]

Die effektive Masse bestimmt die Krümmung der Parabel. Eine kleinere effektive Masse führt zu einer stärker gekrümmten Bandstruktur, was bedeutet, dass das Elektron schneller Energie gewinnt, wenn sein Wellenvektor zunimmt. Eine größere effektive Masse führt zu einer flacheren Bandstruktur.

Der Vorteil dieser Näherung besteht darin, dass sie es uns ermöglicht, ein elektronisches Band allein durch seine Bandrandenergie und seine effektive Masse zu beschreiben. Sobald wir die Einschlussenergien mithilfe der Schrödinger-Gleichung berechnet haben, können wir diese Beziehung verwenden, um die entsprechenden Quantenwellen-Subbänder zu bestimmen. Diese Berechnung kann direkt im GaAs/AlGaAs-Tutorial zu parabolischen Quantenwellen nachvollzogen werden.

Wir stellen Elektronen und Löcher vor.

Parabolic conduction and valence bands showing electron and hole states, the semiconductor band gap and effective masses. — Parabolische Leit- und Valenzbänder. Das Leitband verläuft nach oben gebogen, während das Valenzband nach unten gebogen ist. Ihre Krümmung hängt von den effektiven Massen der Elektronen und Löcher ab, und die Energie, die ihre Bandränder trennt, ist die Bandlücke des Halbleiters.

Bisher haben wir nur die Elektronen im Leitungsband betrachtet. Ein Halbleiter enthält jedoch auch ein Valenzband, in dem das Fehlen eines Elektrons als positiv geladenes Teilchen beschrieben werden kann, das als „Loch“ bezeichnet wird.

In der Nähe des Minimums des Leitungsbandes kann die Elektronenenergie durch eine nach oben geöffnete Parabel angenähert werden:

\[ E_c(k)=E_c+\frac{\hbar^2 k^2}{2m_e^{*}}. \]

In ähnlicher Weise können wir in der Nähe des Maximums des Valenzbandes die Energien der Valenzelektronen durch eine nach unten geöffnete Parabel annähern:

\[ E_v(k)=E_v-\frac{\hbar^2 k^2}{2m_h^{*}}. \]

Diese beiden Parabeln sind in ?? dargestellt. Das Minimum des Leitungsbandes und das Maximum des Valenzbandes sind durch die Bandlücke des Halbleiters, \(E_g\), getrennt.

Genauso wie Elektronen in einem Quantenpotential des Leitungsbandes eingeschränkt werden können, können Löcher durch ein geeignetes Potential des Valenzbandes eingeschränkt werden. Die Lösung der Schrödinger-Gleichung für beide Trägertypen führt daher zu zwei Sätzen von eingeschränkten Energieniveaus, aus denen wir die entsprechenden Teilbänder für Elektronen und Löcher ableiten können.

Von Quantenpotentialtälern bis zur Lichtemission und -absorption

Quantum well conduction and valence band states showing electron and hole confinement, parabolic subbands and optical transitions at zero and finite in-plane wavevector. — Optische Übergänge zwischen den Unterbändern eines Quantenpotentialtopfs. Die Lösung der Schrödinger-Gleichung ergibt lokalisierte Elektronenzustände und Lochzustände (links), die parabolische Leitungs- und Valenzband-Unterbänder bilden, wenn die Bewegung parallel zu den Schichten berücksichtigt wird (rechts). Die roten Pfeile veranschaulichen einen optischen Übergang zwischen dem niedrigsten Elektronenzustand und dem niedrigsten Lochzustand bei einem Wellenvektor von Null und einem endlichen Wert in der Ebene.

Wir haben nun gesehen, dass die Lösung der Schrödinger-Gleichung für ein Elektron, das in einem Quantenpotentialtopf eingeschlossen ist, eine Reihe von Energieniveaus erzeugt, von denen jedes zu einer parabolischen Teilbandstruktur wird, wenn die Bewegung parallel zu den Halbleiterschichten berücksichtigt wird.

Wir können genau die gleiche Berechnung auch für Löcher durchführen. Dies wird in ?? veranschaulicht, wobei die oberen Diagramme die räumlich begrenzten Elektronenzustände im Leitungsband zeigen, während die unteren Diagramme die entsprechenden räumlich begrenzten Lochzustände im Valenzband darstellen. Zur besseren Übersicht ist das Valenzbandpotenzial umgekehrt dargestellt, wobei die Energie der räumlichen Begrenzung der Löcher von der Spitze des Valenzbandes aus nach unten gemessen wird.

Sobald wir beide Zustandsmengen berechnet haben, können wir beginnen, die Wechselwirkung des Quantenbrunnens mit Licht zu beschreiben. Beispielsweise kann sich ein Elektron, das sich in einem Zustand des Leitungsbandes befindet, mit einem Loch in einem Zustand des Valenzbandes rekombinieren und dabei Energie in Form eines Photons freisetzen. Der umgekehrte Prozess ist ebenfalls möglich: ein einfallendes Photon kann absorbiert werden, wodurch ein Elektron aus dem Valenzband in das Leitungsband angeregt wird.

Berechnung der Übergangsenergie

Betrachten Sie den durchgezogenen roten Pfeil in ??. Dieser veranschaulicht einen Übergang zwischen den niedrigsten Elektronen- und Loch-Subbändern bei einem Wellenvektor von Null in der Ebene.

Die für diesen Übergang benötigte Energie entspricht der Bandlücke des Halbleiters zuzüglich der Einschlussenergien des Elektrons und des Lochs:

\[ \boxed{ E_{\mathrm{photon}} = E_g+E_{e,n}+E_{h,m} } \]

Hierbei ist \(E_g\) die Bandlücke des Quantenwellen-Materials, während \(E_{e,n}\) und \(E_{h,m}\) die Energie sind, mit der Elektronen bzw. Löcher in ihren jeweiligen Bandrändern eingeschlossen werden, gemessen relativ zu diesen Bandrändern.

Für das in der Abbildung dargestellte Beispiel beträgt die Bandlücke \(1.42\,\mathrm{eV}\), die niedrigste Energie, bei der Elektronen lokalisiert werden, \(39\,\mathrm{meV}\), und die niedrigste Energie, bei der Löcher lokalisiert werden, \(7\,\mathrm{meV}\). Die resultierende Übergangsenergie ist daher:

\[ E_{\mathrm{photon}} = 1.42+0.039+0.007 = 1.466\,\mathrm{eV}. \]

Beachten Sie, dass dies etwas größer ist als die Bandlücke des Halbleitermaterials. Indem wir die Elektronen und Löcher in einem Quantenpotential einschränken, haben wir die für den optischen Übergang erforderliche Energie erhöht. Dies ermöglicht es uns, die Absorptions- und Emissionswellenlänge einfach durch Veränderung der Breite des Quantenpotentials einzustellen.

Was geschieht bei höherem Impuls in der Ebene?

Elektronen und Löcher sind nicht auf die untersten Bereiche ihrer jeweiligen Teilbänder beschränkt. Sie können sich auch parallel zu den Halbleiterschichten bewegen und dabei zusätzliche Energie gewinnen, wenn sich ihre Wellenvektorkomponente in der Ebene erhöht.

Dies wird durch den gestrichelten roten Pfeil in der Abbildung veranschaulicht. Bei einem direkten optischen Übergang bleibt der Kristallwellenvektor in der Ebene in etwa erhalten, da der von einem Photon übertragene Impuls vergleichsweise gering ist.

In unserem einfachen parabelförmigen Bandmodell ergibt sich die Übergangsenergie daher wie folgt:

\[ \boxed{ E_{\mathrm{photon}}(k_{\parallel}) = E_g+E_{e,n}+E_{h,m} + \frac{\hbar^2 k_{\parallel}^{2}}{2\mu} } \]

Hierbei ist \(\mu\) die reduzierte effektive Masse des Elektron-Loch-Paares, definiert durch:

\[ \frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_e^{*}} + \frac{1}{m_h^{*}}. \]

Wenn die Wellenvektorkomponente in der Ebene zunimmt, steigt auch die Übergangsenergie. Das bedeutet, dass ein optischer Übergang zwischen zwei Teilbändern nicht auf eine einzige Photonenenergie beschränkt ist: verschiedene besetzte Zustände entlang der Parabeln können zu einem breiteren Spektrum optischer Übergänge beitragen.

Wie genau ist die parabolische Approximation?

GaAs band structure showing the Gamma-point conduction-band minimum, heavy-hole and light-hole valence bands, split-off band and nearby L and X conduction-band valleys. — Elektronische Bandstruktur von GaAs. Das Leitungsband ist in der Nähe seines Minimums bei Gamma annähernd parabolisch, aber die vollständige Bandstruktur ist deutlich komplexer. Die Banden für schwere Löcher, leichte Löcher und abgespaltene Banden veranschaulichen die zusätzlichen physikalischen Eigenschaften, die in einem einfachen Einzelbandmodell nicht berücksichtigt werden.

Das von uns entwickelte Modell ist bewusst einfach gehalten. Es geht davon aus, dass jedes elektronische Band durch eine Parabel mit einer geeigneten effektiven Masse dargestellt werden kann. Dies ist oft eine nützliche Näherung in der Nähe eines Minimums des Leitungsbandes, wo die Beziehung zwischen Energie und Wellenvektor annähernd quadratisch ist.

Die tatsächlichen Bandstrukturen von Halbleitern sind jedoch komplexer. Ein Beispiel ist in ?? dargestellt, wo die berechnete elektronische Bandstruktur von GaAs veranschaulicht wird.

Beachten Sie, dass das Leitungsband in der Nähe seines Minimums am Gamma-Punkt annähernd parabolisch verläuft, aber von dieser einfachen Form abweicht, je weiter wir uns davon entfernen. Das Valenzband ist noch komplexer und besteht aus Schwerloch-, Leichtloch- und abgespaltenen Bändern, die miteinander wechselwirken können.

Es ist auch wichtig zu erkennen, dass die horizontale Achse dieser Abbildung einem Pfad im reziproken Raum folgt, von L über Gamma bis X. Es handelt sich nicht um eine Darstellung der Position innerhalb einer Halbleiteranordnung. Sie beschreibt, wie sich die zulässigen Energien der Elektronen in Abhängigkeit vom Kristallwellenvektor verändern.

Wenn bei der Bandmischung Nicht-Parabolizität, Dehnung oder starke räumliche Begrenzung eine Rolle spielen, müssen wir über die einfache effektive-Massen-Näherung hinausgehen. Eine Möglichkeit, dies zu erreichen, ist die Verwendung der Multiband-k·p-Theorie, die es ermöglicht, mehrere elektronische Bänder gemeinsam zu behandeln, anstatt jedes einzelne als unabhängige Parabel zu approximieren.