Das Sechsbänder-Luttinger-Kohn-Valenzbandmodell verstehen

Warum benötigen wir ein separates Modell für Löcher?

In dem Parabelband-Tutorial haben wir Elektronen und Löcher mithilfe separater Parabeln behandelt. Das ist ein guter Ausgangspunkt, aber die oberen Valenzbänder vieler Halbleiter sind deutlich komplexer. Anstelle eines einzelnen Lochbandes finden wir mehrere, eng beieinander liegende Bänder, die miteinander interagieren können.

Diese werden üblicherweise als schwere Lochbanden (HH), leichte Lochbanden (LH) und abgespaltene Banden (SO) bezeichnet, wie in ?? dargestellt. Die Bezeichnungen „schwer“ und „leicht“ beziehen sich auf ihre unterschiedlichen Bandkrümmungen und somit auf ihre unterschiedlichen effektiven Massen; sie bedeuten nicht, dass es zwei verschiedene physikalische Arten von Löchern gibt.

Das sechsbandige Luttinger-Kohn-Modell (LK-Modell) beschreibt diese Valenzzustände zusammen. Es ist besonders nützlich für Quantenpotentialtöpfe aus Silizium, Germanium und SiGe, bei denen die Leitungszustände mit einem separaten Silizium-Tal-Modell behandelt werden können. Im Gegensatz zu einem achtbandigen Modell berücksichtigt das sechsbandige LK-Modell das Leitungsband nicht explizit: Es konzentriert sich auf die Physik der Löcher.

Woher stammen die sechs Zustände?

Um die Bedeutung der Zahl sechs zu verstehen, ist es hilfreich, mit den Valenzbandorbitalen zu beginnen. In der Nähe des Zonenmittelpunkts weisen die relevanten Zustände in Diamant- und Zinkblendesemikonduktoren drei p-ähnliche Orbitalkomponenten auf, die wir mit X, Y und Z bezeichnen können. Ein Elektron hat außerdem zwei mögliche Spinkomponenten. Drei Orbitalkomponenten multipliziert mit zwei Spinkomponenten ergeben somit sechs Zustände.

Die Spin-Bahn-Kopplung des Kristalls verknüpft den Bahndrehimpuls und den Spindrehimpuls. Es ist daher zweckmäßig, die einzelnen Bezeichnungen für den Bahndrehimpuls und den Spindrehimpuls durch Zustände des gesamten Drehimpulses zu ersetzen, die als J und seine Projektion mJ dargestellt werden. Die sechs Zustände lassen sich in eine Gruppe von vier mit J = 3/2 und eine Gruppe von zwei mit J = 1/2 unterteilen:

\[ \underbrace{4\text{ states}}_{J=3/2} \quad+\quad \underbrace{2\text{ states}}_{J=1/2} \quad=\quad 6\text{ states}. \]

Die vier Zustände mit J = 3/2 bilden das Band aus schweren und leichten Löchern im Zentrum der Brillouin-Zone. Das verbleibende Paar bildet das abgespaltene Band, das aufgrund der Spin-Bahn-Kopplungsenergie nach unten verschoben ist \(\Delta_{\mathrm{so}}\). Dabei handelt es sich nicht um sechs voneinander unabhängige Parabeln: Wenn sich ein Ladungsträger vom Zentrum der Brillouin-Zone entfernt, können sich die verschiedenen Komponenten vermischen, weshalb sie zusammen betrachtet werden müssen.

Die Auswahl der Basis mit sechs Frequenzbändern

OghmaNano verwendet die Basis des totalen Drehimpulses, wobei die Zustände in folgender Reihenfolge angeordnet sind:

\[ \begin{aligned} &\left|\tfrac32,+\tfrac32\right\rangle,\quad \left|\tfrac32,+\tfrac12\right\rangle,\quad \left|\tfrac32,-\tfrac12\right\rangle,\\[4pt] &\left|\tfrac32,-\tfrac32\right\rangle,\quad \left|\tfrac12,+\tfrac12\right\rangle,\quad \left|\tfrac12,-\tfrac12\right\rangle. \end{aligned} \]

Der erste und vierte Zustand weisen einen starken Lochcharakter auf, die beiden mittleren Zustände der J = 3/2-Gruppe weisen einen schwachen Lochcharakter auf, und die letzten beiden Zustände sind abgespaltene Zustände. Diese Anordnung ist nützlich, da die Spin-Bahn-Aufspaltung bereits in der Basis enthalten ist: im Zentrum der Brillouin-Zone liegen die abgespaltenen Zustände \(\Delta_{\mathrm{so}}\) unterhalb der oberen Valenzbandzustände.

Wir können daher eine 6 × 6-Hamilton-Matrix erstellen, eine Matrix, die die einzelnen Zustände und die Wechselwirkungen zwischen ihnen beschreibt. Die zulässigen Energien erhält man durch die Berechnung ihrer Eigenwerte, während die Eigenvektoren uns den Charakter jedes resultierenden Zustands als schweres Loch, leichtes Loch oder abgespaltenes Band angeben.

Wie beschreiben wir die Bewegung eines Lochs?

In einem einzigen parabelförmigen Band bestimmt eine einzige effektive Masse, wie schnell sich die Energie mit dem Wellenvektor ändert. Hier haben wir jedoch mehrere gekoppelte Valenzzustände, sodass eine einzige Masse nicht mehr ausreicht. Stattdessen verwendet das Luttinger-Kohn-Modell drei Materialparameter, \(\gamma_1\), \(\gamma_2\) und \(\gamma_3\), um die Krümmung und das Mischen der Bänder zu beschreiben.

Diese Parameter werden zu vier übersichtlichen mathematischen Größen zusammengefasst, die traditionell als \(P\), \(Q\), \(R\) und \(S\) bezeichnet werden. Ihre physikalische Bedeutung lässt sich leichter verstehen, bevor man ihre vollständigen Formeln betrachtet:

• \(P\): der gemeinsame Beitrag zur Krümmung der Valenzzustände.
• \(Q\): ermöglicht die Unterscheidung verschiedener Ausrichtungen der Schwerloch- und Leichterloch-Zustände und kann deren Energien trennen.
• \(R\): Koppelt die Valenzkomponenten durch Bewegung in der Ebene der Halbleiterschichten.
• \(S\): Die einzelnen Zustände werden durch eine Kombination aus Bewegung in der Ebene und Bewegung zwischen den Schichten erreicht.

Der zugrunde liegende Wellenvektor hat drei Komponenten: \(k_x\) und \(k_y\) beschreiben die Bewegung parallel zu den Quantenwellenschichtebenen, während \(k_z\) die Wachstumsrichtung, also die Richtung senkrecht zu diesen, angibt. Wir definieren außerdem \(A_0=\hbar^2/(2m_0)\), wobei \(m_0\) die Masse eines freien Elektrons ist.

In der in der mitgelieferten OghmaNano-Formulierung verwendeten Konvention werden die kinetischen Beiträge wie folgt definiert:

\[ \begin{aligned} P_k &= -A_0\gamma_1(k_x^2+k_y^2+k_z^2),\\[5pt] Q_k &= -A_0\gamma_2(k_x^2+k_y^2-2k_z^2),\\[5pt] R_k &= \sqrt{3}A_0\left[\gamma_2(k_x^2-k_y^2) -2i\gamma_3k_xk_y\right],\\[5pt] S_k &= 2\sqrt{3}A_0\gamma_3(k_x-ik_y)k_z. \end{aligned} \]

Wir müssen uns diese Ausdrücke nicht merken, um das Modell zu verstehen. Vielmehr sollten wir beachten, dass einige Terme von \(k_x\) und \(k_y\) in anderer Weise abhängen als von \(k_z\). Dies ist die Mathematik, die es dem Modell ermöglicht, unterschiedliches Verhalten von schweren und leichten Löchern in verschiedenen Kristallrichtungen zu beschreiben. Die imaginären Faktoren in \(R\) und \(S\) sind Teil der gewählten Quantenbasis; der vollständige Hamilton-Operator bleibt hermitesch und hat reelle Energien.

Ein nützliches Beispiel: Eine sich entlang der Wachstumsrichtung bewegende Öffnung.

Bevor wir uns die vollständige Matrix ansehen, betrachten wir den einfachen Fall, in dem der Wellenvektor in der Ebene Null ist, also \(k_x=k_y=0\). Die Terme, die die kinetische Energie beschreiben, vereinfachen sich dann zu:

\[ \begin{aligned} P_k &=-A_0\gamma_1k_z^2,\\[3pt] Q_k &=+2A_0\gamma_2k_z^2,\\[3pt] R_k &=0,\qquad S_k=0. \end{aligned} \]

Daraus folgt, dass die Hauptdiagonale des schweren Lochs \(P+Q\) enthält, während die Hauptdiagonale des leichten Lochs \(P-Q\) enthält. Selbst ohne die vollständigen Eigenwerte zu berechnen, können wir erkennen, wie unterschiedliche Krümmungen entstehen:

\[ \begin{aligned} E_{\mathrm{HH}}(k_z)&=E_v-A_0(\gamma_1-2\gamma_2)k_z^2,\\[4pt] E_{\mathrm{LH,diag}}(k_z)&=E_v-A_0(\gamma_1+2\gamma_2)k_z^2. \end{aligned} \]

Diese Ausdrücke zeigen die unterschiedlichen Krümmungsskalen entlang der Wachstumsrichtung. Dabei ist eine wichtige Einschränkung zu beachten: Der Anteil der leichten Löcher im vollständigen sechsbandigen Hamilton-Operator kann weiterhin über \(Q\) mit den abgespaltenen Zuständen wechselwirken. Daher stellt der zweite Ausdruck einen diagonalen Beitrag dar und nicht im Allgemeinen den exakten Eigenwert der leichten Löcher des sechsbandigen Modells. Dies verdeutlicht genau, warum wir eine Matrix lösen müssen, anstatt davon auszugehen, dass jedes Valenzband unabhängig voneinander parabolisch ist.

Die sechs Bundesstaaten zusammenbringen.

Da die einzelnen Terme nun eine physikalische Bedeutung haben, können wir den vollständigen Hamilton-Operator zusammensetzen. Seine Zeilen und Spalten entsprechen in der Reihenfolge den zuvor eingeführten sechs Zuständen. Wir messen die Energien relativ zum Referenzpunkt des Valenzbandes \(E_v\) und schreiben \(\Delta=\Delta_{\mathrm{so}}\):

\[ \small H=E_v\mathbb{1}+ \begin{pmatrix} P+Q & S & R & 0 & -S/\sqrt2 & -\sqrt2 R\\ S^\dagger & P-Q & 0 & R & \sqrt2 Q & \sqrt{3/2}S\\ R^\dagger & 0 & P-Q & -S & \sqrt{3/2}S^\dagger & -\sqrt2 Q\\ 0 & R^\dagger & -S^\dagger & P+Q & \sqrt2 R^\dagger & -S^\dagger/\sqrt2\\ -S^\dagger/\sqrt2 & \sqrt2 Q & \sqrt{3/2}S & \sqrt2 R & P-\Delta & 0\\ -\sqrt2 R^\dagger & \sqrt{3/2}S^\dagger & -\sqrt2 Q & -S/\sqrt2 & 0 & P-\Delta \end{pmatrix}. \]

Dies sieht zwar viel komplizierter aus als eine einzelne Schrödinger-Gleichung, aber seine Struktur ist recht einfach. Die ersten vier Zeilen und Spalten beschreiben den Bereich der schweren und leichten Löcher. Die letzten beiden beschreiben das abgespaltene Paar. Die Einträge auf der Diagonale beschreiben die Energien der einzelnen Komponenten, während die Einträge außerhalb der Diagonale diese miteinander vermischen. Das Dolchsymbol kennzeichnet die hermitesche Konjugierte eines Terms; für einen skalaren Koeffizienten bedeutet dies seine komplex konjugierte Form.

Im Zentrum der Brillouin-Zone und ohne äußere Einwirkung verschwinden die kinetischen Terme: Die vier Zustände mit J = 3/2 teilen sich den Rand des Valenzbandes, und das abgespaltene Paar liegt \(\Delta\) darunter. Abseits des Zentrums der Brillouin-Zone verändert die Mischung die Energien und die Eigenschaften der resultierenden Bänder.

Was passiert, wenn das Halbleitermaterial unter Spannung gesetzt wird?

Silizium- und Germanium-Quantenpotentialtöpfe werden häufig auf einem Substrat mit einer geringfügig abweichenden Gitterkonstante aufgebracht. Dadurch entstehen Spannungen, die die Valenzenergien verändern und die Entartung der Zustände für schwere und leichte Löcher aufheben können.

Ein nützliches Merkmal der Luttinger-Kohn-Formulierung ist, dass eine Verformung durch die Verwendung einer weiteren Menge von \(P,Q,R,S\)-Termen eingeführt werden kann. Wir kombinieren einfach die Beiträge der kinetischen Energie und der Verformung:

\[ \begin{aligned} P&=P_k+P_{\varepsilon}, &Q&=Q_k+Q_{\varepsilon},\\ R&=R_k+R_{\varepsilon}, &S&=S_k+S_{\varepsilon}. \end{aligned} \]

Beispielsweise reagiert der Beitrag der hydrostatischen Spannung auf die gesamte Volumenänderung, während die biaxiale Komponente zwischen der Verformung in Wachstumsrichtung und der Verformung in der Ebene unterscheidet:

\[ \begin{aligned} P_{\varepsilon}&=a_v(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}),\\[4pt] Q_{\varepsilon}&=\frac{b}{2} (\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}-2\varepsilon_{zz}). \end{aligned} \]

Die verbleibenden Komponenten der Dehnung tragen zu \(R_{\varepsilon}\) und \(S_{\varepsilon}\) bei und ermöglichen so, dass die Scherbeanspruchung die Valenzzustände vermischt. Ihre vollständigen Ausdrücke und die Konventionen für das Dehnungspotenzial werden auf der Seite Bir–Pikus-Dehnungsseite erläutert. Anschließend können wir dieselbe Matrix mit sechs Bändern unter Berücksichtigung der Dehnungsterme lösen.

Anwendung des Modells auf einen Quantenbrunnen

Bisher haben wir die Bandstruktur mithilfe von drei Wellenvektorkomponenten beschrieben. In einem Quantenpotential sind die Ladungsträger entlang der Wachstumsrichtung \(z\) eingeschränkt, während sie sich weiterhin frei entlang \(x\) und \(y\) bewegen können. Die in der Ebene liegenden Wellenvektoren werden daher weiterhin als Zahlen dargestellt, aber die Bewegung entlang \(z\) muss durch einen Operator beschrieben werden:

\[ k_z\longrightarrow-i\frac{d}{dz}. \]

Alle Terme, die \(k_z\) enthalten, werden zu Ableitungen der Hüllwellenfunktionen. Das Problem mit den sechs Bändern wird dann über die Halbleiterschichten hinweg gelöst, wobei das Potentialprofil, die Materialparameter und die Verspannung berücksichtigt werden. Das Ergebnis ist eine Reihe von räumlich begrenzten Valenzteilbändern, von denen jedes eine Hüllwellenfunktion mit sechs Komponenten aufweist. Diese Komponenten geben an, wie viel schweres Loch, leichtes Loch und abgespaltenes Loch in jedem Zustand vorhanden ist.

Wenn das Gitter, das die Wachstumsrichtung beschreibt, \(N_z\) räumliche Punkte enthält, hat der diskrete Hamilton-Operator die Dimensionen \(6N_z\) x \(6N_z\). OghmaNano verwendet diese Mehrbandberechnung für die Valenzzustände, während der Silizium-Δ-Tal-Solver die Leitungszustände separat behandelt. Im Gegensatz zu einer einfachen parabolischen Näherung kann dieser Ansatz die Mischung der Valenzbänder beschreiben, die sich mit dem Wellenvektor in der Ebene ändert. Eine vollständige Si/SiGe-Berechnung unter Verwendung dieses Modells wird in der Sechs-Band-Luttinger-Kohn-Quantenwellen-Anleitung demonstriert.

Inwiefern steht dies im Zusammenhang mit dem Acht-Band-Modell?

Das sechsbandige LK-Modell und das achtfache Zinkblende-k·p-Modell beschreiben verwandte physikalische Phänomene, treffen aber unterschiedliche Entscheidungen darüber, welche Zustände explizit berücksichtigt werden. Beide Modelle behalten die wechselwirkenden Valenzzustände bei. Das achtfache Modell fügt außerdem die beiden spingetrennten, s-ähnlichen Leitungszustände und deren Kane-Kopplung zur Valenzband hinzu.

In einem Halbleiter wie Silizium, bei dem die tiefsten Leitungsminima nicht im Zentrum der Brillouin-Zone liegen, stellt ein zentrierter Acht-Band-Hamilton-Operator keine direkte Beschreibung dieser sechs Täler dar. Es ist daher sinnvoll, das Valenzband mit dem sechs-Band-LK-Modell und das Leitungsband mit dem speziellen Talsmodell zu behandeln.