Das 8-Band-Zinkblende-k·p-Modell verstehen

Warum brauchen wir acht Frequenzbänder?

In unserem Parabelband-Tutorial haben wir die Leitungs- und Valenzbänder als unabhängige Parabeln behandelt. Dies ist ein guter Ausgangspunkt: Durch das Lösen der Schrödinger-Gleichung über das Potentialminimum hinweg erhält man die eingeschränkten Zustände, und wenn man den Ladungsträgern erlaubt, sich parallel zu den Schichten zu bewegen, werden diese Zustände zu elektronischen Teilbändern. Dabei wird jedoch davon ausgegangen, dass eine einzige effektive Masse jedes Band beschreiben kann.

Reale Halbleiterbänder sind nicht voneinander unabhängig. Wenn sich der Wellenvektor des Elektrons ändert, können Zustände, die von verschiedenen atomaren Orbitalen abgeleitet sind, miteinander interagieren, wodurch sich ihre Energien und die Form ihrer Wellenfunktionen verändern. Dieser Effekt ist besonders wichtig im Valenzband, wo die Bänder für schwere Löcher, leichte Löcher und abgespaltene Bänder eng beieinander liegen. Ein Acht-Band-k·p-Modell beschreibt diese Wechselwirkungen direkt, anstatt zu versuchen, sie alle in einer einzigen effektiven Masse zusammenzufassen.

Hier betrachten wir Zinkblende-Halbleiter, einschließlich Materialien wie GaAs, InAs und InP. Ziel ist es, das Acht-Band-Modell schrittweise aufzubauen: Zuerst werden die Zustände identifiziert, dann wird untersucht, wie diese miteinander interagieren, und schließlich wird analysiert, was die Lösung der resultierenden Matrix über ein Quantenpotential aussagt.

Welche sind die acht Bundesstaaten?

In der Nähe des Zentrums der Brillouin-Zone (dem Gamma-Punkt) ist es sinnvoll, den Zustand des Leitungsbandes als überwiegend S-ähnliche Symmetrie zu beschreiben. Die Valenzzustände weisen überwiegend eine p-ähnliche Symmetrie auf, die wir mit X, Y und Z bezeichnen, um ihre kartesischen Ausrichtungen anzugeben. Dies sind Kristallzustände, nicht einzelne atomare Orbitale, aber die Bezeichnungen der Orbitale helfen uns, die Wechselwirkungen zwischen ihnen zu verstehen.

Wenn wir den Spin außer Acht lassen, haben wir also vier Zustände:

\[ |S\rangle,\qquad |X\rangle,\qquad |Y\rangle,\qquad |Z\rangle. \]

Jeder Zustand kann entweder mit „Spin nach oben“ oder „Spin nach unten“ auftreten. Die tatsächlich verwendete Basis in dieser kartesischen Darstellung ist:

\[ \begin{gathered} |S\uparrow\rangle,\quad |S\downarrow\rangle,\\[3pt] |X\uparrow\rangle,\quad |Y\uparrow\rangle,\quad |Z\uparrow\rangle,\\[3pt] |X\downarrow\rangle,\quad |Y\downarrow\rangle,\quad |Z\downarrow\rangle. \end{gathered} \]

Hieraus leitet sich der Name „achtbändige Struktur“ ab: vier Orbitalfunktionen, multipliziert mit zwei Spin-Komponenten. Zunächst werden wir die Spin-Wechselwirkung vernachlässigen, um das einfachere Vier-Zustände-Problem besser zu verstehen. Die Spin-Bahn-Kopplung wird erst dann eingeführt, wenn die Orbitalwechselwirkungen klar sind.

Was bedeutet es, wenn sich zwei Bands zusammenschließen?

Stellen Sie sich vor, wir kennen die Energien der S- und X-Zustände am Gamma-Punkt. Wenn die beiden Zustände niemals miteinander interagieren würden, würde eine Änderung des Wellenvektors lediglich ihre jeweiligen Energien verändern. In einem realen Kristall kann jedoch die Bewegung durch das periodische Potential dazu führen, dass sie miteinander gekoppelt werden. Die Wellenfunktion des Elektrons kann dann eine Mischung aus S-ähnlichen und X-ähnlichen Eigenschaften enthalten, anstatt ausschließlich einem der beiden Zustände zuzugehören.

Wir stellen dies dar, indem wir die Wellenfunktion als Summe von Basiszuständen schreiben. Für ein Beispiel mit vier Orbitalen:

\[ |\Psi\rangle = c_S|S\rangle+c_X|X\rangle+c_Y|Y\rangle+c_Z|Z\rangle. \]

Die Koeffizienten geben an, in welchem Maße jeder der Basiszustände zu einer bestimmten Lösung beiträgt. Anstatt für jedes Orbital eine separate Gleichung zu lösen, lösen wir eine Matrix-Schrödinger-Gleichung, die alle Koeffizienten zusammen bestimmt:

\[ H\,\mathbf{c}=E\,\mathbf{c},\qquad \mathbf{c}=\begin{pmatrix}c_S\\c_X\\c_Y\\c_Z\end{pmatrix}. \]

Die Einträge entlang der Diagonale beschreiben die Energie jedes Zustands. Einträge, die nicht auf der Diagonale liegen, beschreiben die Wechselwirkungen zwischen verschiedenen Zuständen. Wenn diese nicht-diagonalen Einträge Null sind, bleiben die Zustände unabhängig voneinander. Wenn sie von Null abweichen, verändert die Lösung der Matrix sowohl die zulässigen Energien als auch die Zusammensetzung der resultierenden Wellenfunktionen.

Die Kane-Kopplung: Verbindung von Leitungs- und Valenzbändern

In der k·p-Theorie hängt die Wechselwirkung zwischen dem S-ähnlichen Leitungszustand und den X-, Y- und Z-Valenzzuständen vom Wellenvektor des Elektrons ab. Diese Wechselwirkung wird durch die Kane-Kopplung beschrieben. Beispielsweise sind die S- und X-Zustände durch einen Term gekoppelt, der proportional zur Wellenvektorkomponente entlang der x-Achse ist; die entsprechenden S-zu-Y- und S-zu-Z-Kopplungen hängen von den y- und z-Komponenten ab.

Wenn wir die Konvention „Energie mal Zeit mal Länge“ für den Kane-Parameter P anwenden, können wir die Kopplungen schematisch wie folgt darstellen:

\[ H_{SX}\propto iPk_x,\qquad H_{SY}\propto iPk_y,\qquad H_{SZ}\propto iPk_z. \]

Hierbei steuert P die Stärke der Wechselwirkung. Ihre Größe wird häufig durch die Kane-Energie \(E_p\) ausgedrückt:

\[ P=\sqrt{A_0E_p},\qquad A_0=\frac{\hbar^2}{2m_0}, \]

wobei \(m_0\) die Masse eines freien Elektrons ist. Ein größerer Kane-Parameter führt zu einer stärkeren Vermischung der Leitungs- und Valenzzustände, wenn sich der Wellenvektor vom Gamma-Punkt entfernt. Die imaginären Faktoren und Vorzeichen in dem vollständigen Hamilton-Operator hängen von der gewählten Basisdarstellung ab; die wichtige physikalische Idee ist, dass die nicht-diagonalen Terme die Bänder miteinander verbinden.

Ein Beispiel für ein Zwei-Staaten-Modell

Bevor wir alle acht Zustände betrachten, ist es hilfreich, sich das einfachste mögliche Beispiel anzusehen. Nehmen wir an, wir behalten nur einen Leitfähigkeitszustand und einen Valenzzustand bei. Wenn ihre ungekoppelten Energien \(E_c\) und \(E_v\) sind, ist ein geeignetes hermitisches Modell:

\[ H=\begin{pmatrix} E_c & Pk\\ Pk & E_v \end{pmatrix}. \]

In diesem anschaulichen Zwei-Zustands-Modell haben wir die Phasen der Basisfunktionen so gewählt, dass die Kopplung reell ist. Durch das Lösen der Matrix erhält man zwei Energiewerte:

\[ E_{\pm}(k)=\frac{E_c+E_v}{2} \pm\sqrt{\left(\frac{E_c-E_v}{2}\right)^2+P^2k^2}. \]

Bei einem Wellenvektor von Null verschwindet die Kopplung, und wir erhalten die ursprünglichen Bandränder zurück. Abweichend von Null entfernen sich die obere und untere Lösung voneinander. Die Trennung hängt von der Kopplungsstärke P ab, und die entsprechenden Wellenfunktionen werden zu Mischungen der beiden ursprünglichen Basiszustände. Dieses einfache Beispiel veranschaulicht das zentrale Prinzip der vollständigen Acht-Band-Berechnung: Die Kopplung verändert die Bandstruktur, anstatt lediglich eine bestehende Parabel zu verschieben.

Warum verändert die Kopplung die effektive Masse?

Erinnern Sie sich an die parabolische Bandgleichung aus der vorherigen Lektion. In der Nähe eines Minimums des Leitungsbandes hängt die Energie näherungsweise vom Quadrat des Wellenvektors ab, und die effektive Masse bestimmt die Krümmung. Das oben beschriebene Zwei-Zustands-Modell erklärt, warum andere Bänder diese Masse beeinflussen können.

Wenn die Kopplung \(Pk\) im Vergleich zur Bandlücke \(E_g=E_c-E_v\) gering ist, kann die obere Lösung in der Nähe von \(k=0\) entwickelt werden:

\[ E_+(k)\simeq E_c+\frac{P^2}{E_g}k^2. \]

Beachten Sie, dass der zusätzliche Term proportional zu \(k^2\) ist: Obwohl wir eine Kopplung eingeführt haben, die linear von k abhängt, ist ihre Auswirkung auf die Energie in der Nähe des Bandrandes quadratisch. Daher verändert sie die Krümmung des Leitungsbandes und folglich die effektive Masse des Elektrons.

Im aktuellen Modell gibt es auch einen direkten Beitrag der kinetischen Energie sowie eine Kopplung an verschiedene Valenzzustände, einschließlich der durch die Spin-Bahn-Kopplung aufgespaltenen Zustände. Diese Beiträge müssen kombiniert werden, um die beobachtete Masse am Bandrand zu reproduzieren. Aus diesem Grund ist die effektive Masse nicht einfach ein beliebiger Ersatz für die Masse eines freien Elektrons: Sie fasst den Einfluss der umgebenden Kristallbänder auf die Bewegung eines Elektrons in der Nähe eines bestimmten Bandrandes zusammen.

Warum gibt es drei Valenzorbitale?

Der Leitfähigkeitszustand allein ist relativ einfach. Das Valenzband erfordert jedoch mehr Aufmerksamkeit, da es Zustände aufweist, die X-, Y- und Z-ähnlich sind und miteinander interagieren können. Ihr Verhalten hängt von der Richtung des Wellenvektors ab, nicht nur von seiner Größe. Eine einzelne nach unten geöffnete Parabel erfasst daher nicht alle wichtigen Merkmale der Valenzbandstruktur.

In der kartesischen Darstellung konstruieren wir einen Block für das Valenzband, wobei für jedes Orbital ein diagonales Element und für die Beschreibung ihrer Kopplung nicht-diagonale Elemente verwendet werden. Unter Verwendung der Koeffizienten L, M und N hat ein typischer Orbitalblock die folgende Form:

\[ H_{vv}^{\mathrm{orb}}= \begin{pmatrix} D_X & Nk_xk_y & Nk_xk_z\\ Nk_xk_y & D_Y & Nk_yk_z\\ Nk_xk_z & Nk_yk_z & D_Z \end{pmatrix}, \]

wobei die Diagonalelemente die folgende Form haben:

\[ \begin{aligned} D_X&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+Lk_x^2+M(k_y^2+k_z^2),\\[3pt] D_Y&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+Lk_y^2+M(k_x^2+k_z^2),\\[3pt] D_Z&=E_{v,\mathrm{av}}+A_0k^2+Lk_z^2+M(k_x^2+k_y^2). \end{aligned} \]

Wir müssen uns diese Matrix nicht merken, um ihren Zweck zu verstehen. L und M bestimmen, wie sich die Energien der einzelnen Orbitalbestandteile in Abhängigkeit von der Richtung verändern; N steuert die Mischung zwischen den verschiedenen Orbitalbestandteilen. Die vollständige Acht-Band-Berechnung berücksichtigt diesen Valenzblock für beide Spin-Komponenten und koppelt ihn mit den Leitungszuständen.

Woher stammen die Valenzbänder, die Leitungsbänder und das abgespaltene Band?

Bisher haben wir S, X, Y und Z als Orbitalzustände beschrieben. Das Elektron besitzt außerdem einen Spin, der sich in eine Spin-Up- und eine Spin-Down-Komponente für jedes Orbital aufteilt. Eine einfache Verdopplung der Basis wäre unkompliziert, wenn der Spin niemals mit der Orbitalbewegung interagieren würde. Ein Halbleiter enthält jedoch eine zusätzliche Wechselwirkung, die als Spin-Bahn-Kopplung bezeichnet wird.

Im Valenzband führt diese Kopplung zu einer Vermischung der Orbital- und Spin-Komponenten. Am Gamma-Punkt eines nicht verzerrten Zinkblende-Kristalls spalten sich die sechs p-artigen Spin-Orbital-Zustände in eine vierfache Gruppe auf, die die Zustände der schweren und leichten Löcher enthält, und in eine zweifache Gruppe, die als abgespaltene Band bezeichnet wird. Die Energiedifferenz wird mit \(\Delta_{\mathrm{so}}\) bezeichnet.

Die Bezeichnungen „stark gekrümmtes Band“ und „schwach gekrümmtes Band“ beziehen sich auf die unterschiedlichen Krümmungen dieser Bänder in der Nähe von Gamma und somit auf ihre unterschiedlichen effektiven Massen. Die Bänder müssen nicht unbedingt unabhängig voneinander bleiben, sobald sich der Wellenvektor ändert. In einem Quantenpotential können Einschränkung und Spannung diese Bänder noch stärker miteinander vermischen, was einer der Hauptgründe für die Verwendung des vollständigen Mehrbandmodells ist.

Wenn das Maximum des Valenzbandes als Referenzenergie gewählt wird, wird die durchschnittliche, nicht gestörte Valenzenergie in der kartesischen Darstellung häufig wie folgt dargestellt:

\[ E_{v,\mathrm{av}}=E_v-\frac{\Delta_{\mathrm{so}}}{3}. \]

Die Spin-Bahn-Matrix trennt dann die oberen Valenzzustände von den abgespaltenen Zuständen und reproduziert deren erforderliche Energien am Gamma-Punkt. OghmaNano behält diese Kopplung explizit bei, anstatt zu versuchen, alle Valenzbänder mit einer einzigen effektiven Masse für Löcher zu modellieren.

Die Acht-Band-Hamilton-Funktion zusammensetzen

Nun können wir erkennen, wie die einzelnen Teile zusammenpassen. Es gibt zwei S-ähnliche Leitfähigkeitszustände (einen für jeden Spin) und sechs p-ähnliche Valenzzustände. Der Hamilton-Operator ist in vier Blöcke unterteilt:

\[ \boxed{ H=\begin{pmatrix} H_{cc} & H_{cv}\\[3pt] H_{cv}^{\dagger} & H_{vv} \end{pmatrix} } \]

Der Leitungsblock \(H_{cc}\) enthält den Rand des Leitungsbandes und dessen kinetische Energie. Der Valenzblock \(H_{vv}\) enthält die Orbitalterme für X/Y/Z und die Spin-Bahn-Wechselwirkung. Der Kopplungsblock \(H_{cv}\) enthält die Kane-Wechselwirkungen, die die Leitungs- und Valenzzustände miteinander verbinden. Das Symbol \(\dagger\) bezeichnet die hermitesche Konjugierte und stellt sicher, dass der Hamilton-Operator die erforderliche hermitesche Struktur aufweist.

Obwohl die vollständige Matrix bei einem homogenen Material und einem festgelegten Wellenvektor acht Zeilen und acht Spalten aufweist, sind ihre einzelnen Elemente nun weniger rätselhaft: Jedes Element ordnet entweder einem Grundzustand eine Energie zu oder beschreibt eine Wechselwirkung zwischen zwei Zuständen. Wir lösen das Eigenwertproblem der Matrix, um die zulässigen Bandenergien und die Zusammensetzung ihrer Wellenfunktionen zu ermitteln.

Woher stammen die Parameter des Modells?

Experimentelle und theoretische Daten zu Halbleitern werden üblicherweise anhand der Bandlücke \(E_g\), der effektiven Masse für die Leitungsbandelektronen, der Kane-Energie \(E_p\), der Spin-Bahn-Aufspaltung \(\Delta_{\mathrm{so}}\) und der Luttinger-Parameter \(\gamma_1\), \(\gamma_2\) und \(\gamma_3\) ausgedrückt. Diese Größen bestimmen die diagonalen Dispersionsbeziehungen des Modells und die Stärke der Wechselwirkungen zwischen den Zuständen.

Es gibt ein wichtiges Problem bei der Buchführung. Im parabolischen Modell ist die gemessene effektive Masse bereits um den Einfluss benachbarter Bänder korrigiert. In einem Acht-Band-Modell werden einige dieser benachbarten Bänder nun explizit durch die Kane-Kopplung berücksichtigt. Wir müssen daher die verbleibenden Koeffizienten für die kinetische Energie so anpassen, dass dieselbe physikalische Wechselwirkung nicht zweimal gezählt wird.

In der Parametrisierung von OghmaNano wird der Leitfähigkeitskoeffizient für das entfernte Band mit \(A_c\) bezeichnet, und die Koeffizienten für die Valenzorbitale werden mit L, M und N dargestellt. Die Umrechnung von gemessenen Materialparametern ist Teil der Modelldefinition; die resultierenden Koeffizienten sollten nicht mit den reinen effektiven Massen unabhängiger parabolischer Bänder verwechselt werden.

Die Korrektur der Leitfähigkeitsbandstruktur

Eine Formel, die zur Berechnung des Beitrags der leitenden Fernbandkomponente verwendet wird, lautet:

\[ A_c=A_0\left( \frac{m_0}{m_e^{*}} -\frac{2E_p}{3E_g} -\frac{E_p}{3(E_g+\Delta_{\mathrm{so}})} \right), \]

wobei \(A_0=\hbar^2/(2m_0)\) verwendet wird. Der erste Term legt die gemessene Krümmung des Bandrands fest, während die beiden Terme, die \(E_p\) enthalten, den Teil entfernen, der durch die Valenzzustände erzeugt wird, die nun explizit gekoppelt sind. Hierbei ist \(m_e^{*}\) eine Masse mit SI-Einheiten; wenn eine Materialdatenbank die relative Masse \(m_e^{*}/m_0\) speichert, wird stattdessen deren Kehrwert verwendet.

Ähnliche Korrekturen werden über die Luttinger-Parameter in L, M und N eingebracht. Es ist unbedingt darauf zu achten, dass die verwendeten Parameterkonventionen mit der gewählten Basis und dem Hamiltonian übereinstimmen; die Verwendung von Mischkoeffizienten aus unterschiedlichen Konventionen kann selbst dann zu einer falschen Bandkrümmung führen, wenn die Matrixdimensionen korrekt erscheinen.

Welche Veränderungen treten auf, wenn wir das Modell in eine Quantenwanne einbetten?

Bisher ging es um einen Halbleiter mit einem bestimmten, dreidimensionalen Kristallwellenvektor. Für einen Quantenbrunnen wählen wir erneut \(z\) senkrecht zu den Schichten und \(x\) und \(y\) parallel zu ihnen. Ladungsträger können sich frei entlang der Schichten bewegen, daher bleiben \(k_x\) und \(k_y\) gewöhnliche, in der Ebene liegende Wellenvektorkomponenten.

Über die verschiedenen Schichten hinweg müssen wir jedoch die eingeschränkten Wellenfunktionen bestimmen. Die z-Komponente wird daher durch einen Differentialoperator dargestellt:

\[ \boxed{k_z\longrightarrow -i\frac{d}{dz}} \]

Dies ist die Mehrbanderweiterung des auf den vorherigen Seiten vorgestellten Schrödinger-Gleichungsansatzes. Anstatt nur eine einzelne skalare Hüllfunktion zu berechnen, berechnen wir acht gekoppelte Hüllenkomponenten:

\[ \boldsymbol{\Psi}(z)= \begin{pmatrix} \psi_{S\uparrow}(z)\\ \psi_{S\downarrow}(z)\\ \psi_{X\uparrow}(z)\\ \psi_{Y\uparrow}(z)\\ \psi_{Z\uparrow}(z)\\ \psi_{X\downarrow}(z)\\ \psi_{Y\downarrow}(z)\\ \psi_{Z\downarrow}(z) \end{pmatrix}. \]

An jedem numerischen Gitterpunkt über dem Quantenbrunnen sind acht gekoppelte Werte gespeichert. Bei N räumlichen Gitterpunkten hat der diskretisierte Hamilton-Operator somit die Dimension \(8N\). Durch die Lösung dieser Gleichung erhält man die eingeschränkten Energien sowie die Orbital- und Spin-Zusammensetzung jeder berechneten Subbande. Ein vollständiges Beispiel für diese Berechnung findet sich in GaAs/AlGaAs – Acht-Band-Zinkblende-k·p-Quantenbrunnen-Tutorial.

Materialparameter können sich auch entlang einer Grenzfläche ändern. Wenn Koeffizienten mit Differentialoperatoren multipliziert werden, muss ihre Reihenfolge sorgfältig gewählt werden, um die Hermitizität und das korrekte Verhalten an der Grenzfläche zu gewährleisten. Beispielsweise wird ein räumlich veränderlicher Kane-Koeffizient üblicherweise durch einen symmetrisierten Operator eingeführt, anstatt ihn außerhalb der Ableitung als Konstante zu behandeln.

Wo wirkt die Belastung?

Wenn eine Halbleiterschicht auf einer anderen Schicht mit einer unterschiedlichen Gitterkonstante aufgebracht wird, kann es zu einer Kompression oder Dehnung der Schicht kommen. Dadurch entstehen Spannungen, die die relativen Energieniveaus der Leitungs- und Valenzbänder verändern.

Das Leitungsband erfährt eine hydrostatische Energieverschiebung, während sich die Valenzbänder relativ zueinander bewegen und sich vermischen können. In Zinkblende-Modellen werden diese Effekte üblicherweise mithilfe des Bir–Pikus-Dehnungs-Hamiltonians dargestellt. Durch das Hinzufügen dieses Terms zum Achtband-Hamiltonian können wir berechnen, wie Einschränkung und Dehnung zusammenwirken, anstatt die Bänder unabhängig voneinander zu korrigieren, nachdem die Quantenstruktur gelöst wurde.

Warum ist das für optische Berechnungen von Bedeutung?

Das optische-Übergänge-Tutorial erklärte, wie die Teilbanden für Elektronen und Löcher die möglichen Photonenenergien bestimmen. In der parabolischen Näherung können die Übergangsstärken mithilfe der Überlappung zweier skalarer Hüllfunktionen und eines optischen Matrixelements des Materials abgeschätzt werden.

Im Acht-Band-Modell besteht jeder Zustand stattdessen aus einer Mischung der Komponenten S, X, Y und Z. Seine optische Reaktion hängt von diesen Komponenten und von der Polarisation des Lichts ab. Aus diesem Grund kann eine Mehrbandberechnung Veränderungen in der Übergangsstärke und der TE/TM-Reaktion vorhersagen, die in einer Einzelmassenbeschreibung nicht berücksichtigt werden.

Die wichtigste Verbesserung besteht nicht einfach darin, dass wir mehr Kurven berechnen. Wir berechnen, woraus die Zustände bestehen, einschließlich der Art und Weise, wie sich ihr Orbitalcharakter mit dem Wellenvektor, der räumlichen Begrenzung und der Beanspruchung verändert.