Das k·p-Modell verstehen: Von parabelförmigen Bandstrukturen zu Mehrbandmodellen

Warum brauchen wir ein weiteres Modell zur Beschreibung der Bandstruktur?

In unserer Einführung in die parabolischen Quantenwellenbandstrukturen haben wir die Energie eines Elektrons mithilfe einer einfachen Parabel dargestellt. Die Krümmung dieser Parabel wurde durch eine effektive Masse bestimmt, was uns ermöglichte, jeden einzelnen Quantenwellenzustand in eine zweidimensionale elektronische Subbandstruktur umzuwandeln. Dies ist eine sehr nützliche Näherung, insbesondere in der Nähe des unteren Bereichs eines einfachen Leitungsbandes.

Ein echter Halbleiter enthält jedoch mehrere elektronische Bänder. Diese können eng beieinander liegen, sich von einer parabelförmigen Form abweichen und miteinander interagieren. Dies ist besonders wichtig für die Valenzbänder, wo die Zustände mit schweren Löchern, leichten Löchern und abgespaltenen Löchern nicht immer als unabhängige Teilchen mit einer einzigen Masse behandelt werden können.

Die k·p-Methode bietet eine Möglichkeit, diese Effekte zu beschreiben, ohne bei jedem Wellenvektor die vollständige elektronische Struktur auf atomarer Ebene neu zu berechnen. Wir beginnen mit elektronischen Zuständen an einem gut verstandenen Punkt in der Bandstruktur des Kristalls und berechnen, wie sich diese Zustände verändern, wenn sich der Wellenvektor von diesem Punkt entfernt. Vor allem ermöglichen wir, dass verschiedene elektronische Bänder miteinander interagieren.

Ziel dieser Seite ist es, zu erklären, woher die k·p-Gleichungen stammen, warum die effektive Masse auf natürliche Weise auftritt und wie eine Reihe gekoppelter Gleichungen zu dem Mehrband-Hamilton-Operator wird, der in einem Quantenwellen-Solver verwendet wird.

Beginnend mit einem Elektron in einem Kristall.

Für ein Elektron, das sich in einem Halbleiterkristall bewegt, beginnen wir mit der uns bekannten, zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung:

\[ \hat H_0\Psi(\mathbf r)=E\Psi(\mathbf r), \qquad \hat H_0=\frac{\hat{\mathbf p}^{\,2}}{2m_0}+V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r). \]

Hierbei ist \(m_0\) die gewöhnliche (freie-Elektronen-)Masse, \(\hat{\mathbf p}=-i\hbar\nabla\) der Impulsoperator und \(V_{\mathrm{crystal}}\) das Potenzial, dem das Elektron aufgrund der periodischen Anordnung der Atome ausgesetzt ist. Wir haben bewusst \(m_0\) verwendet und nicht die effektive Masse des Halbleiters: in diesem Stadium wurde der Einfluss des Kristalls noch nicht in eine Näherungsmasse einbezogen.

Eine wesentliche Eigenschaft eines idealen Kristalls ist, dass sein Potential sich von einer Elementarzelle zur nächsten wiederholt. Wenn \(\mathbf R\) eine Gittertranslation beschreibt, dann gilt:

\[ V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r+\mathbf R) =V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r). \]

Wir könnten versuchen, Schrödingers Gleichung direkt für dieses sich wiederholende Potential zu lösen, aber der Satz von Bloch bietet uns eine viel nützlichere Methode, um seine Lösungen darzustellen.

Blochs Theorem: Die Trennung der Welle vom Kristall

Blochs Theorem besagt, dass ein elektronischer Zustand in einem periodischen Kristall als Produkt einer ebenen Welle und einer Funktion dargestellt werden kann, die sich mit dem Kristallgitter wiederholt.

\[ \boxed{ \Psi_{n\mathbf k}(\mathbf r) =e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}\,u_{n\mathbf k}(\mathbf r) } \]

Die beiden Teile haben unterschiedliche Funktionen. Der Faktor für die ebene Welle beschreibt, wie sich die Gesamtphase ändert, wenn wir uns durch den Kristall bewegen. Die Funktion \(u_{n\mathbf k}(\mathbf r)\) beschreibt die Details der Welle innerhalb jeder Einheitszelle und hat die gleiche Periodizität wie der Kristall:

\[ u_{n\mathbf k}(\mathbf r+\mathbf R) =u_{n\mathbf k}(\mathbf r). \]

Das Kennzeichen \(n\) gibt an, welche elektronische Band wir betrachten, während \(\mathbf k=(k_x,k_y,k_z)\) der Kristallwellenvektor ist. Die Größe \(\hbar\mathbf k\) wird als Kristallimpuls bezeichnet. Sie steht in engem Zusammenhang mit dem Impuls, der in unserer früheren Analogie mit einem Cricketball verwendet wurde, obwohl die beiden Begriffe in einem periodischen Kristall nicht verwechselt werden sollten.

Dies ist die erste wichtige Vereinfachung: Anstatt für jedes \(\mathbf k\) eine neue, auf atomarer Ebene definierte Wellenfunktion für das gesamte Kristall zu beschreiben, können wir mit den zellperiodischen Funktionen \(u\) arbeiten. Die k·p-Methode untersucht, wie sich diese Funktionen und ihre Energien verändern, wenn wir eine kleine Strecke im Wellenvektorraum zurücklegen.

Woher stammt der k·p-Term?

Setzen wir den Ausdruck von Bloch in die Schrödinger-Gleichung ein. Wenn der Impulsoperator auf das Produkt der ebenen Welle und der zellperiodischen Funktion wirkt, ergibt sich folgendes Ergebnis:

\[ \hat{\mathbf p}\left(e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}u\right) =e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r} \left(\hat{\mathbf p}+\hbar\mathbf k\right)u. \]

Anders ausgedrückt, die Anwendung auf eine Bloch-Welle entspricht der Ersetzung des Impulsoperators, der auf \(u\) wirkt, durch \(\hat{\mathbf p}+\hbar\mathbf k\). Wendet man dies auf den Term für die kinetische Energie an und kürzt den gemeinsamen Faktor der ebenen Welle, so erhält man:

\[ \left[ \frac{(\hat{\mathbf p}+\hbar\mathbf k)^2}{2m_0} +V_{\mathrm{crystal}}(\mathbf r) \right]u_{n\mathbf k} =E_n(\mathbf k)u_{n\mathbf k}. \]

Die Erweiterung des Quadrats ist der entscheidende Schritt. Da \(\mathbf k\) ein Parameter und keine räumliche Ableitung ist, erhalten wir:

\[ \boxed{ \left[ \hat H_0 +\frac{\hbar}{m_0}\mathbf k\cdot\hat{\mathbf p} +\frac{\hbar^2 k^2}{2m_0} \right]u_{n\mathbf k} =E_n(\mathbf k)u_{n\mathbf k} } \]

Der erste Term ist unser ursprünglicher Kristall-Hamilton-Operator. Der letzte Term ist ein einfacher quadratischer Energieterm. Der mittlere Term, \(\hbar\mathbf k\cdot\hat{\mathbf p}/m_0\), ist derjenige, der der Methode ihren Namen gibt: k·p.

Physikalisch betrachtet bedeutet dies, dass eine Abweichung von unserem gewählten Referenzwellenvektor dazu führen kann, dass sich elektronische Zustände durch den Impulsoperator vermischen. Um zu verstehen, was das bedeutet, müssen wir die Zustände auswählen, zwischen denen diese Vermischung stattfinden kann.

Die Wahl eines Bezugspunkts und einer Grundlage

Die Bandstrukturen von Halbleitern sind oft besonders interessant in der Nähe eines Bandminimums oder -maximums. Bei einem Halbleiter mit direkter Bandlücke, wie z. B. GaAs, treten das Minimum des Leitungsbandes und das Maximum des Valenzbandes am Zentrum der Brillouin-Zone auf, dem sogenannten Gamma-Punkt (\(\Gamma\)). Für die folgende Erklärung gehen wir daher von \(\mathbf k=0\) aus. Das gleiche allgemeine Prinzip kann auf einen anderen Referenzpunkt angewendet werden, wenn das relevante Bandextremum sich an einer anderen Stelle in der Brillouin-Zone befindet.

An der Stelle \(\mathbf k=0\) verschwindet der k·p-Term. Nehmen wir an, wir kennen bereits mehrere zellperiodische Kristallzustände an dieser Stelle:

\[ \hat H_0|u_{n0}\rangle=E_n(0)|u_{n0}\rangle. \]

Diese bekannten Zustände bilden unsere Grundlage. Ein Zustand, der einem nahegelegenen Wellenvektor entspricht, kann dann als Kombination dieser Zustände beschrieben werden:

\[ |u_{\mathbf k}\rangle =c_1|u_{10}\rangle+c_2|u_{20}\rangle+\cdots. \]

Die Koeffizienten \(c_1,c_2,\ldots\) geben an, in welchem Umfang jeder der Referenzzustände zum neuen Zustand beiträgt. Genau diese Werte benötigt unsere Berechnung, um das Ergebnis zu ermitteln. Wir erreichen dies, indem wir die Entwicklung in die k·p-Gleichung einsetzen und sie auf jeden Basiszustand projizieren.

Das Ergebnis ist eine Matrixgleichung. Ihre Elemente sind:

\[ \boxed{ H_{nm}(\mathbf k) =\left[E_n(0)+\frac{\hbar^2k^2}{2m_0}\right]\delta_{nm} +\frac{\hbar}{m_0}\mathbf k\cdot\mathbf p_{nm} } \]

\[ \mathbf p_{nm} =\langle u_{n0}|\hat{\mathbf p}|u_{m0}\rangle. \]

Das Symbol \(\delta_{nm}\) ist gleich eins, wenn die beiden Bandbezeichnungen identisch sind, und null, wenn sie unterschiedlich sind. Folglich enthält die Diagonale dieser Matrix die Referenzbandenergien und die quadratischen Terme für freie Elektronen. Die Elemente außerhalb der Diagonale enthalten die Kopplungen zwischen dem Impuls verschiedener Bänder.

Diese Elemente der Impulsmatrix sind von zentraler Bedeutung für die k·p-Theorie. Wenn eine Kopplung gleich Null ist, vermischen sich die entsprechenden Zustände nicht durch diesen Term. Wenn die Kopplung jedoch einen signifikanten Wert hat, können sich ihre Energien und Wellenfunktionen erheblich verändern, wenn wir uns vom Bezugspunkt entfernen.

Ein anschauliches Beispiel: Was passiert, wenn zwei Bands zusammenarbeiten?

Bevor man acht oder zehn Bänder in Betracht zieht, ist es hilfreich, sich anzusehen, wie ein Modell mit zwei Bändern funktioniert. Stellen Sie sich vor, wir behalten nur einen Zustand im Leitungsband und einen Zustand im Valenzband bei, wobei die Referenzenergien \(E_c\) und \(E_v\) sind. Ihre Trennung am Referenzpunkt entspricht der Bandlücke \(E_g=E_c-E_v\).

Zur Verdeutlichung betrachten wir die Bewegung entlang einer bestimmten Kristallrichtung mit dem Wellenvektor \(k\) und wählen die Phasen unserer Basiszustände so, dass der Kopplungsparameter \(P\) eine reelle Zahl ist. Der hier verwendete Hamilton-Operator lautet:

\[ \boxed{ H(k)= \begin{pmatrix} E_c+\dfrac{\hbar^2 k^2}{2m_0} & Pk\\[6pt] Pk & E_v+\dfrac{\hbar^2 k^2}{2m_0} \end{pmatrix} } \]

Hier ist \(P=\hbar\langle u_{c0}|\hat p|u_{v0}\rangle/m_0\) für die ausgewählte Richtung angegeben. Beachten Sie, dass die beiden nicht-diagonalen Terme bei \(k=0\) verschwinden, aber zunehmen, wenn wir uns vom Referenzpunkt entfernen. Das Modell beschreibt daher nicht zwei unabhängige Parabeln: Die Zustände des Leitungs- und des Valenzbandes können sich vermischen.

Um die zulässigen Energiewerte zu ermitteln, lösen wir ein Eigenwertproblem, so wie wir es bereits bei der Bestimmung der gebundenen Zustände eines Quantenpotentials getan haben:

\[ H(k)\begin{pmatrix}c_c\\c_v\end{pmatrix} =E(k)\begin{pmatrix}c_c\\c_v\end{pmatrix}. \]

Anstatt eine einzige Energieform zu finden, erzeugt die 2x2-Matrix zwei verschiedene Energiebereiche. Für dieses vereinfachte Beispiel sind dies:

\[ E_{\pm}(k)= \frac{E_c+E_v}{2}+\frac{\hbar^2k^2}{2m_0} \pm\sqrt{\left(\frac{E_g}{2}\right)^2+P^2k^2}. \]

Bei \(k=0\) lassen sich die beiden Ergebnisse wie erwartet auf \(E_c\) und \(E_v\) reduzieren. Wenn \(k\) zunimmt, verändert sich die Kopplung, was sowohl die Energien beeinflusst als auch die zugrunde liegenden Basiszustände vermischt. Diese Abhängigkeit von der Quadratwurzel zeigt auch, warum ein gekoppeltes Band nicht unbedingt perfekt parabolisch bleiben muss, wenn es sich von seinem Extrempunkt entfernt.

Die praktische Übung ist wichtiger als das bloße Auswendiglernen dieser Formel: Die Form eines Bandes hängt nicht nur von der Energie dieses Bandes selbst ab, sondern auch von seiner Wechselwirkung mit benachbarten Bändern.

Woher stammt die effektive Masse?

In der Anleitung zum parabolischen Quantenpotential verwendeten wir die effektive Masse als Eingabeparameter. Das Beispiel mit den zwei Bändern ermöglicht es uns nun, zu verstehen, woher diese Masse stammt. Sehr nahe an \(k=0\) kann das Ergebnis für das Leitungsband durch eine Reihenentwicklung der Quadratwurzel für kleine \(k\)-Werte angenähert werden:

\[ E_+(k)\simeq E_c+ \left(\frac{\hbar^2}{2m_0}+\frac{P^2}{E_g}\right)k^2. \]

Vergleichen Sie dies mit unserer bekannten Parabelgleichung:

\[ E(k)\simeq E_c+\frac{\hbar^2k^2}{2m_e^{*}}. \]

Beide haben die gleiche mathematische Form. Wenn man ihre quadratischen Koeffizienten anpasst, erhält man die effektive Masse dieses vereinfachten Zwei-Band-Modells:

\[ \boxed{ \frac{1}{m_e^{*}}= \frac{1}{m_0}+\frac{2P^2}{\hbar^2E_g} } \]

Dies ist ein nützliches Ergebnis. Die effektive Masse ist keine willkürliche Ersetzung für die Masse des Elektrons. Sie entsteht, weil der Zustand des Elektrons mit anderen elektronischen Banden innerhalb des Kristalls gekoppelt ist. In diesem speziellen Beispiel führt eine geringere Bandlücke oder eine stärkere Kopplung zu einer größeren Krümmung des Leitungsbandes und einer geringeren effektiven Masse.

Ein echter Halbleiter weist viele weitere Energiebänder auf, nicht nur die beiden in unserem Beispiel. Wenn wir ihre Wechselwirkung als eine kleine Störung behandeln, ergibt sich die entsprechende Korrektur der Energie eines einzelnen, isolierten Bandes wie folgt:

\[ E_n(\mathbf k)\simeq E_n(0) +\frac{\hbar^2k^2}{2m_0} +\frac{\hbar^2}{m_0^2} \sum_{m\ne n} \frac{|\mathbf k\cdot\mathbf p_{nm}|^2} {E_n(0)-E_m(0)}. \]

Jedes benachbarte Band trägt entsprechend seiner Impulskopplung und seiner Energiedifferenz bei. Die resultierende Krümmung ist im Allgemeinen richtungsabhängig, daher ist eine umfassendere Beschreibung durch einen effektiven Massentensor als durch eine einzelne skalare Masse gegeben. Eine skalare effektive Masse ist dann angemessen, wenn Symmetrie oder die gewählte Näherung es uns ermöglichen, die Krümmung in den relevanten Richtungen als gleich zu behandeln.

Es gibt eine wichtige Einschränkung: Der perturbative Ausdruck wird unzuverlässig, wenn der Nenner klein ist, was bedeutet, dass zwei Energieniveaus sehr nahe beieinander liegen. In dieser Situation ist es besser, beide Energieniveaus explizit im Hamilton-Operator beizubehalten, anstatt ihre Wechselwirkung in einer einzigen effektiven Masse zu verstecken.

Von zwei Bandstrukturen zu einer Mehrband-Hamilton-Funktion

Der nächste Schritt ist konzeptionell einfach. Anstatt mit nur zwei Kristallzuständen zu beginnen, behalten wir mehrere relevante Zustände in unserer Basis bei:

\[ |u_{\mathbf k}\rangle =\sum_{n=1}^{N}c_n(\mathbf k)|u_{n0}\rangle. \]

Dadurch entsteht ein Hamilton-Operator der Form \(N\) x \(N\). Jedes diagonale Element beschreibt ein Referenzband und dessen quadratische Korrektur; jedes zulässige nicht-diagonale Element beschreibt eine Kopplung zwischen zwei Basiszuständen. Durch das Lösen der Matrix für einen gewählten Wellenvektor erhält man alle resultierenden Bandenergien und den Beitrag jedes Basiszustands zum entsprechenden Eigenvektor.

Dies ist insbesondere im Valenzband von Bedeutung. Schwerloch- und Leichtloch-Zustände können am Zentrum der Brillouin-Zone entartet sein, und ihre Mischung lässt sich nicht zuverlässig darstellen, indem jedem Zustand eine unabhängige konstante Masse zugewiesen wird. Ein Mehrbandmodell ermöglicht es diesen Zuständen, auf natürliche Weise miteinander zu interagieren, wenn sich der Wellenvektor ändert.

Wir müssen noch entscheiden, welche Banden wir beibehalten wollen. Der allgemeine Ansatz besteht darin, die Zustände beizubehalten, die für die betrachteten Energien und die Physik am relevantesten sind. Die Kopplung an weiter entfernte, ausgeschlossene Zustände kann durch Korrekturen an den Parametern des beibehaltenen Hamilton-Operators näherungsweise berücksichtigt werden. Aus diesem Grund können verschiedene k·p-Modelle unterschiedliche Anzahlen von Banden und unterschiedliche Materialparameter aufweisen.

Beispielsweise behält ein gängiges Acht-Band-Modell für Zinkblende eine s-ähnliche Leitfähigkeitszustand und drei p-ähnliche Valenzorbitalzustände bei, von denen jeder zwei Spin-Komponenten aufweist. Die detaillierte Auswahl der Basis, der Symmetrieterme und der Matrixeinträge wird in unserem Kapitel Basis und Hamilton-Operatoren und auf den materialspezifischen Modellseiten erläutert.

Warum benötigen wir Spin und Spin-Bahn-Kopplung?

Bisher hat unser einfaches Zwei-Band-Modell den Spin vernachlässigt. Elektronen besitzen jedoch zwei Spin-Komponenten. Das bedeutet, dass jeder Orbitalzustand durch einen Spin-up- und einen Spin-down-Basiszustand (oder eine geeignete äquivalente Spinbasis) dargestellt werden muss.

Wenn der Spin keinen Einfluss auf die Energien hätte, würde dies im Wesentlichen das Problem wiederholen. Reale Halbleiterkristalle weisen ebenfalls eine Spin-Bahn-Kopplung auf, die den Spin des Elektrons mit seiner Bewegung durch das Kristallpotential verbindet. In einer vereinfachten Pauli-Beschreibung lautet der zusätzliche Hamilton-Operator:

\[ \hat H_{\mathrm{so}}= \frac{\hbar}{4m_0^2c^2} \boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\nabla V_{\mathrm{crystal}}\times\hat{\mathbf p}\right), \]

wobei \(c\) die Lichtgeschwindigkeit und \(\boldsymbol{\sigma}\) die Pauli-Matrizen bezeichnet. Wir müssen diesen relativistischen Term hier nicht ableiten; der wichtige Punkt ist seine physikalische Konsequenz. Spin und orbitaler Charakter sind nicht mehr unabhängig voneinander, und bestimmte Zustände, die ansonsten die gleiche Energie hätten, werden getrennt.

In dem bekannten Valenzband der Zinkblende-Struktur führt die Spin-Bahn-Kopplung zur Entstehung der Zweige für schwere Löcher, leichte Löcher und abgespaltene Zustände, wobei die Energie der abgespaltenen Zustände üblicherweise mit \(\Delta_{\mathrm{so}}\) bezeichnet wird. Dabei handelt es sich nicht einfach um drei voneinander unabhängige Parabeln: ihre Eigenschaften und Wechselwirkungen hängen vom Wellenvektor und der zugrunde liegenden Kristallsymmetrie ab.

Dies erklärt die Bezeichnung „acht-Band-k·p“-Modell: Vier Orbital-Basiszustände (einer für die Leitungsbandelektronen und drei für die Valenzbandelektronen), von denen jeder zwei Spin-Komponenten aufweist, ergeben eine Basis mit acht Komponenten. Der tatsächliche Hamilton-Operator berücksichtigt die zulässigen Impuls- und Spin-Bahn-Kopplungen zwischen diesen Zuständen. Eine vollständige Quantenwellenberechnung unter Verwendung dieses Modells wird in der GaAs/AlGaAs-Tutorial zum acht-Band-Zinkblende-k·p-Modell demonstriert.

Wie wird daraus eine Quantenwellenberechnung?

Bisher haben wir ein Volumenkristall beschrieben, bei dem sich die Elektronenenergie mit einem dreidimensionalen Wellenvektor ändert. Um ein Quantenpotential zu beschreiben, müssen wir nun zu der in der vorherigen Lektion eingeführten Geometrie zurückkehren.

Nehmen wir an, die Halbleiterschichten erstrecken sich parallel zur \(x\)-\(y\)-Ebene und sind entlang der \(z\)-Achse gestapelt. Der Wellenvektor in der Ebene, \(k_{\parallel}\), bleibt eine nützliche Kennzeichnung, da die Struktur entlang der Schichten annähernd gleichförmig ist. Das Elektron ist jedoch in \(z\)-Richtung eingeschränkt, daher müssen wir seine räumliche Variation über die gesamte Schicht berechnen.

Der übliche Ansatz mit der Hüllwellenfunktion ersetzt den Wellenvektor in Wachstumsrichtung im Hamilton-Operator k·p des Festkörpers durch einen Differentialoperator:

\[ \boxed{k_z\;\longrightarrow\;-i\frac{d}{dz}} \]

Die Bandränder und andere relevante Materialparameter können sich ebenfalls mit \(z\) ändern, was die unterschiedlichen Halbleiterschichten widerspiegelt. Das Problem ist nicht mehr eine gewöhnliche, an einem einzelnen Wellenvektor ausgewertete, endliche Matrix: Es handelt sich um ein System gekoppelter Differentialgleichungen für die Hüllfunktionen über das gesamte Bauelement. Wenn sich die Parameter an den Grenzflächen ändern, müssen die Reihenfolge der Operatoren und die Anpassungsbedingungen konsistent gewählt werden, damit der Hamilton-Operator weiterhin physikalisch sinnvoll und hermitesch bleibt.

Das einfachste parabolische Modell löst eine einzelne skalare Schrödinger-Gleichung für ein Elektron oder ein Loch. Ein Mehrband-k·p-Modell löst stattdessen Gleichungen für mehrere gekoppelte Hüllkomponenten. Die resultierenden Eigenwerte geben die diskreten Energieniveaus an, während die zugehörigen Eigenvektoren zeigen, wie die Eigenschaften der beteiligten Bänder zu jedem Zustand beitragen.

Indem wir die Berechnung mit verschiedenen Werten von \(k_{\parallel}\) wiederholen, erstellen wir die Subbandstruktur des Quantenbrunnens. Im Gegensatz zu einer Sammlung unabhängiger Parabeln können sich diese Subbänder vermischen, nicht-parabolisch verlaufen und ihre Eigenschaften verändern, wenn der in der Ebene liegende Wellenvektor zunimmt.

Was ermöglicht uns die zusätzliche Physik, zu berechnen?

Der Vorteil einer Mehrbandberechnung besteht nicht einfach darin, dass sie komplexere Bandstrukturen liefert. Sie ermöglicht eine realistischere Beschreibung der elektronischen Zustände, die an Transport- und optischen Prozessen beteiligt sind.

In unserem Tutorial zu optischen Übergängen haben wir die Wahrscheinlichkeit eines Übergangs eines Elektrons zwischen einem besetzten und einem unbesetzten Zustand erläutert. Die Übergangsstärke hängt von einem Matrixelement zwischen der Anfangs- und der Endwellenfunktion ab. Ein Eigenvektor mit mehreren Banden enthält Informationen über den gemischten Orbital- und Spincharakter jedes Zustands, was bei der Berechnung der Richtung und Stärke optischer Übergänge von entscheidender Bedeutung ist.

Dies ist besonders nützlich bei der Untersuchung von polarisationsabhängigen Übergängen, optischer Verstärkung, spontaner Emission und Systemen, bei denen das Mischen von Valenzbandzuständen eine wesentliche Rolle spielt. Die detaillierten optischen Matrixelemente hängen von dem gewählten Hamilton-Operator und der Basis ab, ihre Berechnung ergibt sich jedoch auf natürliche Weise, sobald die gekoppelten Eigenzustände ermittelt wurden.

k·p-Modelle in OghmaNano

OghmaNano bietet verschiedene Modelle für unterschiedliche Halbleiterstrukturen an. Diese basieren auf der hier entwickelten allgemeinen k·p-Methode, weisen aber unterschiedliche elektronische Zustände auf und verwenden die für jedes Kristallsystem geeigneten Materialparameter.

• Acht-Band-Zinkblende-k·p-Modell umfasst die Leitungs- und p-artigen Valenzzustände sowie die Spin- und Spin-Bahn-Kopplung.
• Zehn-Band-Zinkblende-k·p-Methode behält eine erweiterte elektronische Basis für Probleme bei, die zusätzliche gekoppelte Zustände erfordern.
• Acht-Band-Wurtzit-k·p-Methode verwendet die für Wurtzit-Kristalle geeignete Symmetrie und die entsprechenden Bandparameter.

In dem nächsten Kapitel werden die eigentlichen Basiszustände vorgestellt und erläutert, wie diese in den Hamilton-Matrizen angeordnet sind, die von diesen Algorithmen verwendet werden.