Silizium-Quantenpotentialtöpfe und die sechs Valenzbandminima

Warum unterscheidet sich Silizium von Galliumarsenid?

In dem parabolisches-Band-Tutorial haben wir ein Quantenpotential beschrieben, wobei wir ein Leitungsbandminimum und eine einzige effektive Masse verwendet haben. Dies ist ein nützlicher Ausgangspunkt für ein direktes Bandlückenmaterial wie GaAs, dessen niedrigster Leitungszustand sich im Zentrum der Brillouin-Zone befindet (der Gamma-Punkt). Silizium erfordert eine zusätzliche Idee: Seine niedrigsten Leitungszustände befinden sich nicht in der Nähe von Gamma.

Anstatt nur ein einziges Minimum im Leitungsband zu haben, besitzt Silizium sechs äquivalente Minima, die üblicherweise als Delta-„Täler“ (Δ) bezeichnet werden. Wie in ?? dargestellt, liegen diese entlang der positiven und negativen Richtungen der drei kubischen Achsen: +x, −x, +y, −y, +z und −z. Jeder „Tal“ ist ein Bereich der Bandstruktur, in dem Elektronen Zustände in der Nähe eines lokalen Energie-Minimums einnehmen können.

In einem unbelasteten, massiven Siliziumkristall führt die Symmetrie dazu, dass alle sechs Energieminima den gleichen Wert haben. Wenn Silizium jedoch zu einem Quantenpotential geformt wird, hebt seine endliche Dicke eine bestimmte Richtung hervor. Einige dieser Minima reagieren dann unterschiedlich auf die Einschränkung, obwohl sie im massiven Material zur gleichen Energiegruppe gehörten.

Was stellt ein Tal eigentlich dar?

Ein Tal ist keine physische Vertiefung im Silizium. Es ist ein Minimum in einem Diagramm, das die Elektronenenergie gegen den Kristallwellenvektor aufträgt. Wenn wir die Bandstruktur in der Nähe eines solchen Minimums untersuchen, zeigt sich, dass die Energie wiederum annähernd parabolisch verläuft. Im Gegensatz zur einzelnen isotropen Parabel, die in unserem einführenden Modell verwendet wird, hängt die Krümmung eines Siliziumtals jedoch von der Richtung ab, in der wir uns im reziproken Raum bewegen.

Wir können uns die Oberfläche konstanter Energie um jedes Minimum als ein längliches Ellipsoid vorstellen, das in der obigen Abbildung schematisch dargestellt ist. Die lange Achse dieses Ellipsoids definiert die Talachse. Die entsprechende effektive Masse wird als Längsmasse bezeichnet, während die Massen in den beiden senkrechten Richtungen als Quer massen bezeichnet werden.

Es ist wichtig, die Position eines Tals im reziproken Raum von der Flugbahn eines Elektrons im realen Raum zu unterscheiden. Ein +z-Tal bedeutet nicht, dass sich Elektronen nur aufwärts durch eine Vorrichtung bewegen können; es bedeutet, dass sich das beschriebene Minimum entlang der +z-Achse der Bandstruktur des Kristalls befindet. Die Bewegung der Elektronen um dieses Minimum hat weiterhin drei Richtungsanteile mit unterschiedlichen effektiven Massen.

Längs- und Querrichtungseffektive Masse

In der Nähe eines gegebenen Talminimums kann die Elektronenenergie mithilfe einer anisotropen parabolischen Näherung dargestellt werden. Für ein Tal, dessen Achse entlang der z-Achse verläuft, können wir Folgendes schreiben:

\[ E(\mathbf{q})=E_{c,\Delta} +\frac{\hbar^2 q_x^2}{2m_t} +\frac{\hbar^2 q_y^2}{2m_t} +\frac{\hbar^2 q_z^2}{2m_l}. \]

Hierbei wird \(\mathbf{q}\) als der Wellenvektor relativ zum Zentrum des jeweiligen Tals und nicht relativ zu Gamma gemessen. Das Symbol \(E_{c,\Delta}\) steht für die Energie am Minimum des Tals. Silizium besitzt zwei charakteristische Massen:

• Longitudinale Masse, \(m_l\): die effektive Masse entlang der Talsymmetrieachse, ungefähr \(0.916m_0\).
• Transversale Masse, \(m_t\): die effektive Masse in einer der beiden senkrechten Richtungen, ungefähr \(0.190m_0\).

Die Längsmasse ist deutlich größer als die Quer masse. Folglich nimmt die Energie in unterschiedlichem Tempo zu, je nach Bewegungsrichtung. Die gleiche Formel gilt auch für ein in x- oder y-Richtung ausgerichtetes Tal, nachdem die Längsmasse der entsprechenden Achse zugeordnet wurde.

Gerade dieser Unterschied macht Silizium-Quantenpotentialtöpfe so interessant: die effektive Masse, die für die Einschränkung relevant ist, hängt davon ab, welches Energietief wir betrachten.

Was passiert, wenn wir eine Silizium-Quantenstruktur herstellen?

Betrachten wir eine Siliziumschicht, die zwischen geeigneten Barrieren eingeschlossen ist, beispielsweise eine Si/SiGe-Heterostruktur. Wir nehmen an, dass ihre dünne, in Richtung des Wachstums verlaufende Dimension die z-Achse ist, wobei sich die Halbleiterschichten über die x-y-Ebene erstrecken. Wie in unserer früheren Einführung in Quantenpotentialtöpfe wird die Bewegung innerhalb der Schicht quantisiert, während die Bewegung parallel zur Schicht weiterhin frei ist. Aber jetzt haben die sechs Täler nicht alle die gleiche Masse in der eingeschränkten Richtung.

Die beiden Täler, deren Längsachsen entlang der +z- und -z-Achse verlaufen, weisen eine hohe Längsdichte auf. \(m_l\) in Richtung der Einschränkung. Die anderen vier Täler, die sich entlang der Achsen ±x und ±y erstrecken, weisen eine geringere transversale Masse auf. \(m_t\) in diese Richtung. Für das Wachstum in [001]-Richtung werden diese beiden Gruppen wie folgt bezeichnet:

• Δ₂: die beiden Täler sind parallel zur Wachstumsrichtung ausgerichtet (+z und −z).
• Δ₄: die vier Täler, deren Längsachsen parallel zur Schicht verlaufen (±x und ±y).

Warum ist dieser Unterschied von Bedeutung? Erinnern wir uns an das Ergebnis für die niedrigste Energie eines unendlichen Quantenpotentials:

\[ E_1=\frac{\pi^2\hbar^2}{2m_z L^2}. \]

Hier \(m_z\) ist die effektive Masse über die gesamte Breite des Quantenbrunnens. \(L\) ist die Breite des Bohrlochs. Die Gleichung zeigt uns, dass ein eine größere Masse, die stärker gebunden ist, führt zu einer geringeren Bindungsenergie.Unter sonst gleichen Bedingungen weisen die Δ₂-Zustände daher niedrigere Einschlussenergien auf als die Δ₄-Zustände in einem [001]-Quantenpotential. Allein der Einschluss kann ihre Subbandminima voneinander trennen, und das schon bevor wir eine Spannung einbringen.

Beachten Sie, dass wir nicht sagen, dass ein Tal entweder vollständig eingeschränkt oder vollständig frei ist. Alle sechs Täler erfahren eine Einschränkung entlang der z-Achse; sie erfahren diese Einschränkung lediglich mit unterschiedlichen effektiven Massen. Auch ihre Energieverteilungen parallel zu den Schichten sind unterschiedlich, da jedes Tal seine eigene Zuordnung von Längs- und Transversalmassen hat.

Wie beeinflusst eine Verformung die Energiewerte im Tal?

Es gibt eine weitere wichtige Möglichkeit, diese Täler zu beeinflussen. Wenn eine dünne Siliziumschicht auf einem Material mit einer anderen Gitterkonstante aufgebracht wird, kann sich das Kristallgitter dehnen oder zusammenziehen. Dies wird als Verspannung bezeichnet. Da die Verspannung die Kristallumgebung verändert, verschiebt sie die Minima des Leitungsbandes. Diese Verschiebung muss nicht für jedes Tal gleich sein.

Im Silizium-Δ-Tal-Modell wird die Energieverschiebung wie folgt beschrieben:

\[ \boxed{ \Delta E_{c,i}= \Xi_d\,\operatorname{Tr}(\varepsilon) +\Xi_u\,\varepsilon_{ii} } \]

Obwohl die Notation kompliziert aussieht, beschreibt diese Gleichung nur zwei physikalische Effekte. Der Dehnungstensor \(\varepsilon\) gibt an, wie sich der Kristall verformt, und seine Spur ist die Summe der drei Komponenten der Normaldehnung:

\[ \operatorname{Tr}(\varepsilon) =\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}. \]

• \(\Xi_d\), das Potenzial für die volumetrische Verformung: Es multipliziert die gesamte, auf das Volumen bezogene Dehnung und verschiebt alle sechs Minima um den gleichen Betrag.
• \(\Xi_u\), das uniaxiale Deformationspotential: Es verstärkt die Dehnung entlang der jeweiligen Achse jedes Tals, wodurch unterschiedliche Tallaussrichtungen um unterschiedliche Beträge verschoben werden können.

Im zweiten Durchlauf identifiziert der Index \(i\) die Talachse: Ein in x-Richtung ausgerichtetes Tal verwendet \(\varepsilon_{xx}\), ein in y-Richtung ausgerichtetes Tal verwendet \(\varepsilon_{yy}\) und ein in z-Richtung ausgerichtetes Tal verwendet \(\varepsilon_{zz}\). Die positiven und negativen Täler auf derselben Achse erhalten in diesem Modell die gleiche Verschiebung.

Warum treten die Aufspaltungen Δ₂ und Δ₄ auf?

Das häufigste Beispiel ist eine [001]-Siliziumschicht, die einer biaxialen Spannung ausgesetzt ist. Die Spannung ist in beiden Richtungen, die parallel zu den Schichten verlaufen, gleich, also \(\varepsilon_{xx}=\varepsilon_{yy}=\varepsilon_{\parallel}\). Die Spannung, die senkrecht zu ihnen wirkt, \(\varepsilon_{zz}\), ist in der Regel unterschiedlich, da sich der Kristall in dieser Richtung elastisch entspannt.

Unsere Formel für die Dehnung ergibt daher eine Verschiebung für die beiden Δ₂-Minima und eine weitere Verschiebung für die vier Δ₄-Minima:

\[ \begin{aligned} \Delta E_{\Delta_2} &=\Xi_d\operatorname{Tr}(\varepsilon) +\Xi_u\varepsilon_{zz},\\[5pt] \Delta E_{\Delta_4} &=\Xi_d\operatorname{Tr}(\varepsilon) +\Xi_u\varepsilon_{\parallel}. \end{aligned} \]

Wenn man diese beiden Ausdrücke voneinander subtrahiert, wird der Grund für die Aufspaltung besonders deutlich: der gemeinsame Beitrag zur Volumenänderung hebt sich auf, sodass übrig bleibt:

\[ \boxed{ \Delta E_{\Delta_2}-\Delta E_{\Delta_4} =\Xi_u\big(\varepsilon_{zz}-\varepsilon_{\parallel}\big) }. \]

Im typischen Fall einer Zugbeanspruchung in der Ebene von Silizium ist die senkrechte Beanspruchung eine Druckbeanspruchung. Bei dem üblichen positiven Wert von \(\Xi_u\) verschieben sich die Δ₂-Minima relativ zu Δ₄ nach unten, wie in ?? dargestellt. Dies verändert die Verteilung der Elektronen auf die verfügbaren Minima.

Wir können nun erkennen, dass ein Silizium-Quantenpotential durch zwei unterschiedliche Mechanismen beeinflusst wird: die oben beschriebene, von der Orientierung abhängige Einschlussenergie und die ebenfalls von der Orientierung abhängige Verschiebung, die durch eine Spannung verursacht wird. Beide tragen zu den endgültigen Positionen der Teilbanden Δ₂ und Δ₄ bei.

Wie berechnet OghmaNano Silizium-Quantenpotentialtöpfe?

Die Beschreibung der sechs Täler mag zunächst wie ein komplexes Problem mit mehreren Bändern erscheinen, aber jedes Tal kann mit derselben skalaren effektiven Masse behandelt werden, wie sie auf unserer parabolische-Band-Seite vorgestellt wurde. Der wesentliche Unterschied besteht darin, dass jedes Tal eine andere Richtungsmasse und potenziell eine andere durch Dehnung verschobene Bandkante aufweist.

Für ein bestimmtes Tal löst OghmaNano die eindimensionale Gleichung für die Hüllfunktion über die gesamte Quantenwanne:

\[ -\frac{\hbar^2}{2}\frac{d}{dz} \left[\frac{1}{m_z(z)}\frac{d\psi(z)}{dz}\right] +V_{\Delta}(z)\psi(z)=E\psi(z). \]

Die effektive Masse \(m_z(z)\) wird entsprechend der Ausrichtung des Tals und des lokalen Halbleitermaterials ausgewählt, während \(V_{\Delta}(z)\) das relevante Bandprofil und die durch Spannung verursachte Verschiebung berücksichtigt. Anschließend wird die Bewegung in der Ebene mit den entsprechenden Massen für die x- und y-Richtung hinzugefügt:

\[ E_n(k_x,k_y)=E_n(0,0) +\frac{\hbar^2 k_x^2}{2m_x} +\frac{\hbar^2 k_y^2}{2m_y}. \]

In einer [001]-Struktur haben die +z- und -z-Täler in dieser unabhängigen Taler-Approximation die gleiche Massenzuordnung, und ebenso können die ±x- und ±y-Paare nach ihrer Ausrichtung gruppiert werden. Die Berechnung liefert daher die Einschlussenergien und die In-Plane-Dispersionswerte, die den sechs Siliziumtälern zugeordnet sind, ohne dass ein einziger großer gekoppelter Hamilton-Operator erforderlich ist. Ein vollständiges Si/SiGe-Beispiel unter Verwendung dieses Modells wird in silicon Δ-valley quantum-well tutorial dargestellt.

Es gibt jedoch eine wichtige Einschränkung. In diesem Modell werden die beiden gegenüberliegenden Täler auf derselben Achse als äquivalente, voneinander unabhängige Zustände behandelt. Eine zusätzliche Aufspaltung, die durch atomar scharfe Grenzflächen verursacht wird und die +z- und -z-Täler miteinander verbindet, wird durch die oben genannte einfache Gleichung für Masse und Spannung nicht beschrieben. Dies erfordert eine explizite Behandlung der Kopplung zwischen den Tälern.

Warum ist die Aufteilung in verschiedene Bereiche (Valley Splitting) sinnvoll?

Die gegenseitige Verschiebung der Δ₂- und Δ₄-Gruppen verändert, welche Elektronenenergieniveaus bei einer bestimmten Temperatur und Trägerdichte besetzt sind. Da die Talgruppen unterschiedliche Transportmassen aufweisen, kann eine Änderung ihrer relativen Populationsdichte den Transport parallel zu den Halbleiterschichten beeinflussen. Dies ist eine der wichtigen physikalischen Grundlagen von Silizium mit aufgebrachter Spannung und Si/SiGe-Heterostrukturen.

Silizium veranschaulicht auch eine allgemeinere Erkenntnis im Bereich der Quantenwellenmodellierung: Es reicht nicht immer aus, lediglich die Dicke und die Bandverschiebung einer Schicht zu kennen. Wir müssen auch wissen, wo die Bandminima im reziproken Raum auftreten, wie die effektive Masse von der Richtung abhängt und wie sich die Kristallstruktur unter Belastung verändert.